1. Находим опр-ль матр. Если δ ≠0, то матр a-1 сущ-т.

2. Составим матрицу a* алгебраических дополнений элементов исходной матрицы а. Т.Е. В матрице a* элементом I - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исх матрицы.

3. Транспонируем матрицу a* и получим a*t

4)

5 проверка A^-1*A=E

7.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матр. Ранг матр и его св-ва. Теорема о ранге матр. Вычисление ранга.

А - прямоуг матрица размеров m*n.

Выбираем в матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля, называется рангом матрицы. (обозначается r(A))

нек. св-ва: 1) r(A)=0 => A=0

2)

3) ранг верхней треугольной м. = числу диагональных эл-тов гл. диагонали неравных нулю.

ранг трапециевидной матрицы= числу диагональных эл-тов главного базисного минора.

Ранг матр не изменится от след преобр-й, наз элемент преобраз-ми матрицы

: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой =0; - умножения строки на число, отличное от 0; - прибавления к эл-м строки соответствующих Эл-ов другой строки, умнож на одно и то же число. Ранг находят привидением её к треуг(трапециев) виду с пом этих элемент преобраз-ий

Теорема о ранге: наивысший порядок отличных от 0 миноров матрицы равен рангу этой матрицы

8. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.

В общ виде сист m-лин Ур-ий с n неизв-ми имеет вид

Если b1 = b2 = bm = ……..= 0, то такая система наз однор, если одно хотя бы из этих чисел не 0, то это система неоднор.

Введём обозначения:

a11 a12 ….. a1n

a21 a22…….. a2n

am1 am2…… amn

- основная матрица системы

A=

x1

x2

…..

xn

- матрица-столбец неизвестных

X=

b1

b2

…..

bm

- матрица-столбец свободных членов или правая часть системы

B=

AX = B

a11 a12 ….. a1n

a21 a22…….. a2n

am1 am2…… amn

b1

b2

…..

bm

(A/B)=

О. Упорядоч набор чисел (с1, с2, ……. cn ) таких, что будучи подставл в каждое из ур-й сист, они обр-т их в верные рав-ва (тожд-ва), наз решением системы.

О. Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной (решений нет).

О. Если совместная сист имеет единств реш-е, то она наз опред. Если же реш-й много (не один набор), то неопределённой.

Метод обратной матрицы.

Т.: Пусть задана СЛАУ AX=B n ур-й с n неизв-ми (матр А – кв, разм-ти n*m), след-но, если опр-ль матр отличен от 0 (det A ≠ 0, A – неособ, невырожд), то СЛАУ имеет реш-е, кот можно найти по ф-ле: X=A‾¹*B

Док-во:

A‾¹*А*Х = A‾¹*B, т.к. A‾¹*А=Е

Е*Х= A‾¹*B

9.Метод Крамера.

Т: Пусть задана СЛАУ AX=B, m Ур-й с n неизв-ми, где осн матр А невырожд-я, то реш-я м. б. найдены по ф-лам:

xi = ∆i / ∆ , i =1; n

∆= detA, ∆i – это знач-е опр-ля, получ из матр А заменой i-того столбца на матрицу-столбец В.

Док-во:

Т.к. матр невырожд, то сущ обр матр A‾¹, то согласно вышеизлож т-ме, можно реш-е записать в виде:

a11 a21 ….. am1

a12 a22…….. am2

…………………………..

a1n a2n…… amn

b1

b2

…..

bn

Х= A‾¹*B

a11 b1 + a21 b2 + . ………. + an1 bn

a12 b1 + a22 b2 + … …… + an2 bn

a1n b1 + a2nb2 + ………… + ann bn

X=B*(1/detA)* A ^т = (1/detA)* * * = (1/detA) *

det = ∆

с учётом определителя матрицы n-го порядка получаем

∆1/∆

∆2/∆

…….

∆n/∆

и это = = (1/∆) *