18.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.

θ=α₂- α₁

tgθ=tg(α₂-α₁)= (tgα₂ – tgα₁)/(1+ tgα₂*tgα₁)= (k₂-k₁)/(1+k₂*k₁)

tgθ=(k₂-k₁)/(1+k₂*k₁) – формула для вычисления угла между двумя пересекающимися прямыми

1. пусть θ=0, тогда прямые параллельны, tgθ=0 след-но k₁=k₂ – условие параллельности прямых

2. θ=90^о, то tg θ= ∞ или не существует

1+k₁* k₂=0

k₁* k₂= -1 – условие перпендикулярности прямых

19-20. Пусть задано ур-е пр Ах+Ву+С=0, А,В,С не равно 0

Ах+Ву=-С, (А/-С)х+(В/-С)у=1, х/(-С/А)+у/(-С/В)=1,

-С/А=a ,-С/В=b ; х/a+у/b=1 – ур-е пр в отрезках, где a,b – отрезкики, отсек прямой на осях ОУ и ОХ.

Пусть на пр, не проход через нач корд-т, опущен перп-р ОР, длина кот = р, а угол, составл им с осью ОХ, равен α.М(х;у) – произвольная точка на прямой.

х=р*cos α,у=р*sin α

ОР перпендикулярно РМ, то k_ОР*k_РМ= -1

k_ОР=tg α=sin α/cos α

k_ОМ=(у_М-у_Р)/(х_М-х_Р)=(у-р*sin α)/(x-р*cos α)

Подставим k_ОМ и k_ОР в равенство k_ОР*k_РМ= -1

(sin α/cos α)* (у-р*sin α)/(x-р*cos α)= -1

у*sin α-р* sin² α= -х*cos α+р* cos² α

у*sin α+ х*cos α-р=0 – нормальное уравнение прямой

Пусть Ах+Ву+С=0 – общее уравнение прямой, а у*sin α+ х*cos α-р=0 – её нормальное уравнение, т.к. оба уравнения определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны:

μА= cos α μВ= sin α μС=-р

Первые два равенства возведём в квадрат и сложим: μ²(А²+В²)= cos²α+sin² α =1 .След-но:

Число μ, после умножения на которое уравнение прямой преобретает нормальный вид, называется нормирующим множителем.

21.Расстояние от точки до прямой

Пусть задана прямая Ах+Ву+С=0 и точка М₀(х₀;у₀), не лежащая на прямой. Нужно найти расстояние от точки М₀ до прямой. коллинеарна. (;)=А(х₁ – х₀)+В(у₁-у₀). (;)=cos=. А(х₁ – х₀)+В(у₁-у₀)= .

d= =------- формула для вычисления расстояния от точки до прямой, С=Ах₁ +Ву₁.

ИЛИ Не из конспекта: d=.

22.Окружность

Это частный случай эллипса. Формула: (х-х₀)²+(у-у₀)²=R², где (х₀;у₀)- координаты центра окружности.

Эллипс, его характеристики, геометрические свойства.

Э.—это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (и равна 2а).

. …b²=а²-с²

--каноническое уравнение, где a-большая полуось, b-меньшая полуось.

--- эксцентриситет эллипса. с²=а²-b². .

Прямые называются директрисами Э., параллельны Оу, лежат вне Э.

F₁(-c;0), F₂(c;0) координаты фокусов Э. =1 также каноническое уравнение Э. с центром в т.( х₀;у₀).

22А.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства

Г.—это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная ( и равна 2а).

Пусть М(х;у) произвольная точка гиперболы, тогда согласно определнию:

=2а ... с²-а²=в²

--- каноническое уравнение Г.

а—действительная полуось, 2а—ось; в—мнимая полуось, 2в—ось.

F₁(-c;0), F₂(c;0) -- фокусы Г.-- эксцентриситет Г..

--директрисы Г. --асимптоты Г. с²=а²+в²

--Г. ориентированная по оси Оу. х²-у²=а² –уравнение равносторонней Г.