- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •4.Опред-ль 1,2,3 порядков.
- •1. Находим опр-ль матр. Если δ ≠0, то матр a-1 сущ-т.
- •2. Составим матрицу a* алгебраических дополнений элементов исходной матрицы а. Т.Е. В матрице a* элементом I - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исх матрицы.
- •3. Транспонируем матрицу a* и получим a*t
- •7.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матр. Ранг матр и его св-ва. Теорема о ранге матр. Вычисление ранга.
- •8. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •9.Метод Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •12.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •3.Ассоциативный закон относительно умножения чисел
- •4. Дистрибутивный закон относительно сложения векторов ,отн-но сложения чисел
- •8. Базисомn-мерного пространства наз-ся любая совокупность n-лин. Независимых векторов n-мерного пространства.
- •15.Необх и достат условие компланарности в-ов. Скал произв-е в-ов, его св-ва. Критерий перпенд в-ов, угол м/д ними, длина в-ов.
- •16.Собственные векторы и собственные числа матрицы. Св-ва.
- •17.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •18.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •21.Расстояние от точки до прямой
- •22.Окружность
- •22А.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •22Б. Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •23.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •24.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •25.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •26. Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •27.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •1)Степенные:
- •31.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •32. Теоремы о непрерывных функциях
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.
- •3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).
- •34.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •35. Правила дифферен-я. Таб-ца произв-ых.
- •36.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •37. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.
- •38.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.
- •40)Экстрему ф-ии.Необх усл-е экс-ма ф-ии. Достаточное (1е и 2е) усл-я экс-ма. Нахожд-е наимень и наиболь знач-ий ф-ии на отр-ке.
- •41)Выпук-ть ф-ции вверх(вниз).Необх-ое и достат-ое усл-я перегиба ф-ии.
- •42) Асимптоты графика ф-ии (вертик, гориз-е,наклонныые).
- •43)Общ схема исслед-я ф-и и постр-я гр-ка.
- •44)Дифференц-л ф-ии, его геометр смысл. Примен-е дифф-ла в приближ вычисл-ях.
26. Предел числовой последовательности (чп).
ЧП – это ф-ия натур аргумента xn=f(n),где n принадлежит N.
X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
Число а наз пределом посл-ти, если для любого малого положит числа ξ > 0 сущ такой номер N, зависящий от ξ, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |xn-а|< ξ.
Замечание. |xn-а|< ξ=> а- ξ<x1<а+ ξ, Xn- ξ<a<xn+ ξ – ξ окрестности т.а
Если число а-предел ЧП(1), то все члены посл-ти, начиная с некот номера N, попадают в ξ-окрестность т.а.Чем больше N,тем ниже а.
Если а-предел числ. послед-ти(1), то пишут: lim xn=a или xn→a, n→∞
Свойства числ. последовательности:
1.Если ЧП с общ членом xn имеет предел, то она наз сходящейся.Всякая сход посл-ть огран, т.е. сущ M>0, что все члены этой П по модулю не превосх это число. |xn |<М
2. Пусть заданы 3 П, xn, yn, zn-общие члены. Причем lim xn= lim zn=а и выполняется неравенство: xn ≤yn≤zn, то lim yn=а.
3. Пусть послед. xn, yn имеют конечные пределы lim xn=а lim yn=в -∞<а,в<+∞. Тогда:
lim(xn±yn)= limxn ± lim yn)-справ для люб кон числа П
lim(xn*yn)= limxn*limyn
lim(Cxn)=C limCxn=C*a.
lim==, b≠0.
Посл αn наз бескон малой, если ее предел = 0, т.е. limαn=0
Послед. βn наз бесконечно большой, если ее предел = ∞.
Утверждение.Если послед. αn-беск. малая, то послед. - беск. большая и наоборот.
В курсах матанализа док-ся, что П {Хn}=монот и огранич.По теореме: для того, чтобы монот сходилась, необхмо и достаточно, чтобы она была огранич. След-но, эта П имеет предел. Он обозначается буквой е: е=lim, причем е=2,718.
27.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
Рассм мн-во Х, сост из эл-ов х, и мн-во У, сост из эл-ов у. Если кажд Эл-ту х из Х по опред правилу f поставлен в соответствие единств эл-т f(x) из У, то гов-т, что на мн-ве Х задана ф-я y=f(x) со знач-ми в мн-ве У; пишут также:f:ХУ или хf(x). При этом у наз завис перем-й, х-незав перем-й (или арг-м). Мн-во Х наз обл-тью опред-я(или сущ-я) ф-ии.
Пусть на некот мн. Х опр-на ф-я f(x), тогда знач-е этой ф-и, соответствующее некот знач-ю арг-та , обозн-ся. Например,f(x)=, то f(2)=8, f(-2)=-8.
Ф-я у=f(x) наз неубыв (невозраст) на мн-ве Х, если для люб , удовлетв усл-ю, справ-во нер-воНеубыв и невозраст ф-и наз монотонными.
Если для люб , удовлетв усл-ю, справ-во нер-во, то ф-яy=f(x) наз возраст (убыв) на мн-ве Х. Возраст и убыв ф-и наз строго монотонными.
Ф-я, все знач-я кот = между собой, наз пост-й. Ф-я, опред на мнве Х, наз огранич на этом мн-ве, если найдется число М>0, такое, что Напр, ф-яy=sinx огран на всей числовой прямой, т.к.для любого х.
На пл-ти ф-я изобр-ся в виде графика-мн-ва точек (х,у), корд-ы кот связаны соотношением y=f(x), наз ур-м гр-ка.
Ф-ия наз сложной, если ее арг-т в свою очередь явл ф-ей др переем-й, т.е. если на некот мн-ве Х опред-на ф-я с мн-ом значенийZ, а на мн-ве Z опред-на ф-я y=f(z), то наз сложной ф-ей от х, а переменнаяz-промежут переменной сложной ф-ии. Прим-ся также и др названия: композиция ф-й иf, суперпозиция ф-й иf. Напр, ф-я y=sin3x-сложная ф-я, опред на всей числ прямой, т.к. y=f(z)=sinz, z=(x)=3x.
Пусть ф-я y=f(x) задана на мн-ве Х=, а У=-мн-во ее знач-й. Тогда кажд хХ по з-нуf став-ся в соответствие единств значение уУ. С др стороны, кажд уУ будет соотв-ть одно или несколько значений хХ. В случае, когда кажд зн-ю уУ соотв-т только 1 зн-е хХ, для котf(x)=y, на мн-ве У можно опред ф-ю х=(у), мн-ом значений кот явл мн-во Х.
Эту ф-ю наз обр по отношению к ф-и y=f(x).
Эти функции называются взаимнообратными.
Из опред-я обр ф-и следует, что мн-во зн-й У ф-и f явл обл-ю опред-я обр ф-и , а обл опред-я Х ф-и f-мн-вом знач обр функціі .
Ф-и, получ посредством кон числа арифмет действий над простейшими элемент ф-ми, а также путем суперпозиции этих функций, составляют класс элементарных функций.
Существует 5 классов элементарных функций: