Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

9.y 3y 10y sin x 3cos x, y(0) 1013 , y (0) 1311;

10.y 16y 24sin 4x; 11. y 5y 4y 3sin x;

12.y 4y 3y 12sin x 4cosx; 13. 4y 12y 9y ex;

14.y y sin x; 15. y y xe x; 16. y 3y 2y e3x (x2 x);

17.y y x 2ex; 18. y 2y y 3ex x 1;

19.y 6y 8y ex e2x; 20. y 2y 3y 2xe 3x (x 1)ex

Ответы

1.	y		C e4x C						e3x		1		x			7		; y		1	e4x	7	e3x		1	x	7	;
		îáù						2
			1						12					144				÷	2		12			12		144
2.	y		(C C			x)e2x				1		x2e2x;
		îáù			2
			1						2
3.	y	îáù	C ex	C			2	e x x 1;						y		÷	ex		4e x x 1;
			1

			4. y				îáù						C e4x					C								2		ex xe4x ; y e4x																															xe4x;
														1																																				÷
			5. y										(C C									x)e3x																1			x2e3x;
							îáù												2
														1																								2
			6.		y		îáù						ex (C					cosx C																		2		sin x) 4e2x;
																	1
			7. y										C e x C													e 2x															9				e2x					;
							îáù																2
														1																								4
			8. y										C e2x					C										e 3x																1				x2					1			x			1	;
							îáù																			2
														1																								6												18									3
			9. y								C e5x						C							e 2x															2				sin x								3				cos x ;
						îáù														2
														1																								13												13
y			3	e	5x					4			e	2x			2	sin x													3				cos x;
	÷
			7							7					13													13
			10.				yîáù							C1 cos4x C2 sin x 3x cos4x;
			11.				y							C e2x C																	e x						C e 2x C																					e x			3	sin x;
									îáù																			2																													4
															1																							3																					10
			12.				y		îáù					C e3x C													2			ex 2sin x 2cosx;
															1
																																3			x
			13.				y		îáù					(C			C				2				x)e 2													e x;
															1
			14.				y							C sin x C																			cos x															1	x cos x;
									îáù																				2
															1																							2
			15.				y							C e x				C									e x										(					1				x2						1		x)e x;
									îáù																	2
															1																							4												4

16. y		C e2x C		e x (	1	x2	x 1);
	îáù		2
		1		2

17.	y	îáù	C cos x C						2	sin x x ex;
			1
18.	y		(C	C		x)e x					3	x2e x x 3);
		îáù			2
			1								2
19.	y		C e4x C						e2x				1	e2			1	xe2x;
		îáù						2
			1								3					2
20.	y		C e x C					e 3x (							1	x2			1	x)e 3x (	1	x2	3	x)e x
		îáù					2
			1								4					8					8	16

Тема 4. РЯДЫ

4.1. Основные понятия. Сходимость ряда

Выражение вида

u1 u2 u3 un un ,	(4.1)

n 1

где u1 , u2 , u3 , - члены некоторой бесконечной числовой последовательности, называется бесконечным рядом или просто рядом.

Член	un называется общим или n- ым членом ряда.
Обозначим сумму n первых членов ряда (4.1) через Sn , т.е.
	Sn u1 u2 u3 u4 un .
Сумма Sn называется частичной суммой ряда. При изменении n меня-
ется и Sn . При этом возможны два случая:
1)	величина Sn при n имеет предел S , т.е. lim Sn S ;
	n

2)величина Sn при n предела не имеет или предел равен ∞.

В первом случае ряд называется сходящимся, а число S lim Sn - его

n

суммой. Во втором случае ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

П р и м е р. Доказать, что ряд

1		1 ...		1	...
1 2		2 3		n(n 1)	n 1

сходится, и найти его сумму. Р е ш е н и е.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда

1

n(n 1)

Sn .

Общий член ряда u			1	представим в виде	1		1		1	.
	n
			n (n 1)		n (n 1)		n		n 1
Тогда

	S			1		1
		1		2		2 3
	n

1

2

						1						1				1
...										1
				n (n 1)
												2						2
1					1		1			...			1				1
2				3			3						n				n

1			1							1
			...
										1
3			n					n
	1		1			1			.
n 1
					n		1

Отсюда lim Sn	lim (1				1		) 1. Следовательно, данный ряд сходится и
n	n				n 1
его сумма равна 1:
		1			1		...	1	... 1.
	1 2				2 3			n(n 1)

П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд n .

n 1

	Р е ш е н и е.
	n-ая частичная сумма этого ряда S					1 2 3 n			1 n	n .
					n
								2
	Так как lim Sn	lim	1 n	n , такой ряд является расходящимся.
			2
	n	n
								1 n .
	П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд
							n 1

Р е ш е н и е.

Последовательность частичных сумм: S1 1, S2 0, S3 1, S4 0,… Предел последовательности таких частичных сумм не существует, то есть, данный ряд расходится.

П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд

1 1 ... 1 ...,.

Р е ш е н и е.
Для этого ряда	S	n	1 1 ... 1 n	и	lim	S	n		lim	n . Следовательно,
			n		n				n

данный ряд расходится.

Рассмотрим некоторые свойства сходящихся рядов:

1.Если ряд (4.1) сходится и его сумма равна S , то ряд

cun cu1 cu2 cun ,

n 1

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS .

2.	Если ряды (4.1) и vn сходятся и их суммы равны	S1 и S2 соответст-

n 1

венно, то сходится и ряд un vn , а его сумма равна S1 S2 .

n 1

3.Если к сходящемуся ряду (4.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд будет также сходиться.

Из свойства 3 следует, что если ряд (4.1) сходится, то его остаток

rn S Sn un 1 un 2 стремится к нулю при n , т.е. lim rn 0 .

n

Теорема 4.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (4.1) сходится, то его общий член un стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

			lim un 0.	(4.2)
			n
Доказательство теоремы следует из того, что un				Sn Sn 1 , и если S –
сумма ряда (4.1), то
lim un	lim (Sn	Sn 1 ) lim Sn	lim Sn 1 S S 0.
n	n	n	n

Условие (4.2) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при n , то это не значит, что ряд сходится.

В качестве примера рассмотрим гармонический ряд

1 1 1

... 1 ... 1 .

2

3

n

n 1 n

Очевидно,

что lim un

lim

1

0, однако, как будет показано ниже,

n

n n

этот ряд расходится.

Следствие 1.1. (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда un

не стремится к нулю при n , то этот ряд

расходится.

П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд

2 3 4

5

... n 1 ... n 1.

2 3

4

n

n 1

n

Р е ш е н и е.

Для этого ряда lim un lim

n 1

lim (1

1

) 1 0.

n

n

n

n

n

Следовательно, данный ряд расходится.

4.2. Достаточные признаки сходимости для знакопостоянных рядов

Приведем несколько признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его членов на (-1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).

Признаки сравнения рядов.

Признак сравнения 1.
Если 0 un	vn , начиная с некоторого n n0 , и ряд
	v1 v2 v3 vn vn	(4.3)

n 1

сходится, то сходится и ряд (4.1). Если ряд (4.1) расходится, то расходится и ряд (4.3).

Признак сравнения 2.

Если существует конечный и отличный от нуля предел lim un ,

n vn

то оба ряда (4.1) и (4.3) сходятся или расходятся одновременно. Для сравнения удобно использовать следующие ряды:

- ряд, составленный из членов любой убывающей геометрической про-

грессии aqn a 0 ,который сходится при

q

1 и расходится при

q

1;

n 0

1

- ряд Дирихле

, который сходится при

1 и расходится при

n

n 1

1. При 1 имеем расходящийся ряд, называемый гармоническим:

1

.

n 1 n

П р и м е р.

Исследовать сходимость ряда

ln n 1

.

n 1

n

Р е ш е н и е.

Каждый член данного ряда, начиная с n0

2, больше соответствующего

1

члена расходящегося гармонического ряда

. Следовательно, по первому

n 1

n

признаку сравнения исходный ряд расходится.

1

П р и м е р.

Исследовать сходимость ряда

.

n 1 3n n2

2n

Р е ш е н и е.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом

1

(ряд Дирихле при

2

n 1 n

2 1). Так как предел

1

1

lim 3

1

2

3 0,

lim

:

n n2

3n n2 2n

n

n

то данный ряд сходится по второму признаку сравнения. Признак Даламбера. Пусть un 0 и существует конечный предел

lim un 1 q.

n un

Тогда ряд (4.1) сходится, если q 1 и расходится, если q 1. При q 1 вопрос о сходимости ряда (4.1) остается открытым.

3n 4

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда .

n 1 5n

Р е ш е н и е.

Так как un

3n 4

, то

un 1

3 n 1 4

3n 7

5

n

5

n 1

5

n 1

ламбера, получим:

lim

un 1

lim

3n 7 5n

1

lim

3 7 n

1

1.

3n 4 5n 1

3 4

n

un

n

5 n

n

5

Следовательно, данный ряд сходится.

П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд

1 1

1

... 1

...

1!

2!

3!

n!

n 1

Р е ш е н и е.

Применим признак Даламбера.

. Применяя признак Да-

n1!.

u			1		; u			1	;
	n					n 1
			n!					(n 1)!

q lim

un 1

lim

n!

lim

1 2 3 ...n

lim

1

0 1.

2

3 ...n (n 1)

n u

n

n (n 1)!

n 1

n n 1

Следовательно, исходный ряд сходится.

Предельный признак Коши.

Пусть члены знакоположительного ряда (4.1) таковы, что существует

предел lim n un q. Тогда, при q < 1 ряд (4.1) сходится, при q > 1 ряд (4.1)

n

расходится. При q = 1 вопрос о сходимости ряда (4.1) остается открытым. П р и м е р. Исследовать на сходимость ряд

1 12

13

... 1n ... 1n .

2

3

n

n 1 n

Р е ш е н и е.

Применим предельный признак Коши.

1

1

lim

1

0 1.

un

; q lim n un

lim n

nn

nn

n

n

n n

Следовательно, исходный ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

x непрерывна,

Если un f n , а функция

f

положительна и моно-

тонно убывает при x a 1, то ряд (4.1) и интеграл

f (x)dx сходятся или

a

расходятся одновременно.

1

П р и м е р.Исследовать сходимость ряда

.

n 2

n ln n

Р е ш е н и е.

Здесь x 2

и f n un

1

. Так как интеграл

n ln n

dx

d ln x

b

lim

ln ln 2 lim ln ln b

x ln x

ln x

ln ln x

2

2

2

b

b

расходится, то и данный ряд расходится.

4.3. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

u1 u2 u3	u4 ... ( 1)n 1 un	... ( 1)n 1 un ,	(4.4)
		n 1
где u1 , u2 , u3 , -	положительные числа.
Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует
весьма простой достаточный признак.
Теорема Лейбница. Если члены ряда (4.4) монотонно убывают по аб-
солютной величине и общий член un		стремится к нулю при n , то ряд

сходится.
Таким образом, если u1 u2	u3	..., и lim un	0, то знакочередую-
		n
щийся ряд (4.4) сходится.
П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

1 1		1			1		... ( 1)n 1 1		... ( 1)n 1 1 .
2		3			4			n	n 1	n

Р е ш е н и е.

	Так как	1	1		1			1		1	и lim un 0 ,
			2		3			4		n
											n

то согласно теореме Лейбница данный ряд сходится.

Замечание. Признак Лейбница используется для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с определенной точностью. Сумма отброшенных членов знакочередующегося ряда Лейбница не превосходит первого из них.

П р и м е р. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумму ряда

	1 n 1	найти с точностью 0,001?
	S
n 1	n

Р е ш е н и е.

Представим сумму ряда в виде

S Sk	, где Sk	k
		un	,
		n 1

un по признаку Лейбница.

n k 1

	По условию задачи uk 1	1		0,001, откуда	k 999 нужно взять
		k 1
	1000 членов ряда.

4.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Если среди членов ряда un имеются как положительные, так и отри-

n 1

цательные, то такие ряды называют знакопеременными.

Различают два вида сходимости знакопеременного ряда. Возьмем ряд с произвольными членами

u1

u2 ... un

... un ,

(4.5)

n 1

где un

любого знака,

и составим ряд из абсолютных величин членов ряда

(4.5):

u1

u2

...

un

...

un

.

(4.6)

n 1

Если ряд (4.6) сходится, то исходный ряд (4.5) называют абсолютно

сходящимся.

Если ряд (4.5) сходится, а ряд из абсолютных величин расходится, то

данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

1

1

1

1

1

Например, сходящийся ряд 1

... ( 1)n 1

...

( 1)n 1

2

3

4

n

n 1

n

сходится

условно,

так

как

ряд

из

абсолютных

величин

1

1

1

1

1

...

...

есть расходящийся гармонический ряд.

2

3

n

n 1

n

Замечание. Всякий сходящийся ряд с положительными членами есть

абсолютно сходящийся, так как при un

0

un

un

.

4.5. Функциональные ряды.

Пусть дан ряд

f1 x f2 x f3 x ... fn x ... fn	x ,	(4.7)

n 1

членами которого служат не числа, а функции аргумента x . Такой ряд назы-

вается функциональным.

Примером функционального ряда может служить ряд

1 x x2 x3 ... xn ... xn ,

n0

представляющий собой геометрическую прогрессию. Если придать аргументу x какое-либо численное значение, то функциональный ряд обратится в числовой.

Функциональный ряд при одних значениях x может сходиться, а при других расходиться.

Совокупность всех значений x , при которых функции fn x определены и ряд (4.7) сходится, называется областью сходимости ряда.

В пределах сходимости ряда, сумма его членов будет функцией от x .

Обозначив эту сумму через f x , можно записать f x f1 x f2 x f3 x ... fn x ....

Это равенство справедливо только для значений x в области сходимости ряда.

П р и м е р. Найти область сходимости ряда

1 x x2 x3 ... xn ... xn .

n0

Р е ш е н и е.

При

x

1 ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей гео-

метрической прогрессии и поэтому является сходящимся; при

x

1

ряд

представляет собой

сумму бесконечно возрастающей геометрической про-

грессии и является расходящимся. Данный ряд расходится и при

x

1,

так

как не выполняется необходимый признак сходимости.

Таким образом,

областью сходимости исходного ряда является

x

1

или промежуток 1 x 1.

П р и м е р. Найти область сходимости ряда e nx .

n 1

Р е ш е н и е.

Так как. члены ряда положительны, то применим признак Даламбера

lim

un 1

lim

e n 1 x

lim

e nxe x

lim

1

0 1 при x 0; , т.е. ряд сходится

e nx

n u

n

n e nx

n

n ex

в этом интервале.

4.6. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

	x x0	n ,
cn			(4.9)

n0