Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

и)

z ln tg

x

;

к) u xyz ;

y

л) u 3 x3 y3 z3 ;

м) u z exy .

4.6. Найти приближенные значения:

а)

1,02 2 0,99 3 ;

б) sin 32 cos59 ;

;

в)

4,04 2 2,97 2

г) 1,03 8,99 ;

1,98

2

e

0,15

д)

arctg

1 ;

е) 1,95

.

0,97

4.1.4. Экстремум функции нескольких переменных
Пусть дана функция z f x, y , имеющая частные производные	z	и
	x

yz . Частные производные от этих производных называются частными про-

изводными 2-го порядка и обозначаются:

z

2 z

z

2 z

;

;

x2

x y

x

x

y x

z

2 z

z

2 z

;

2

.

y x

y

x

y

y

y

Аналогично определяются и обозначаются частные производные 3-го порядка и других высших порядков.

Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны, если они непрерывны:

	2 z		2 z	,	3 z		3 z		3 z	и т.д.
	x y		y x		x2 y		x y x		y x2

Таблица производных высших порядков выглядит следующим образом:

	2 z		2 z				2 z
2-го порядка	x2	,		,			y2 .
			x y
3-го порядка	3 z	,	3 z			,		3 z	,	3 z	и т.д.
	x3		x2 y					x y2		y3

Полный дифференциал второго порядка определяется так:

	d 2 z	2 z dx2	2	2 z	dxdy	2 z dy2	. По-иному данное равенство можно за-
				x y
		x2				y2

											2
писать символически:			d 2 z				dx		dy		z .
								y
				x
							3
Аналогично d 3 z			dx			dy z и т.д.
		x		y
Точка M 0 x0 , y0	называется						точкой максимума (минимума) функции
z f x, y , если существует такая окрестность точки M 0 , что для всех точек
M x, y из этой окрестности,						отличных от точки M 0 , выполняется неравен-
ство f M f M 0 ( f M f M 0 ). Точки максимума и минимума функции
называются точками экстремума этой функции.
Необходимые условия экстремума.											Если функция z f x, y в точке

M0 x0 , y0 имеет экстремум, то либо все ее частные производные первого порядка в этой точке (если они существуют) равны нулю, т.е.

z	0 ,	z	0 ,	(4.2)
x		y

либо хотя бы одна из них не существует.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z f x, y равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются

критическими.

Аналогично определяются необходимые условия экстремума функции большего числа переменных.

Достаточные условия экстремума.

Пусть A

2 z

,

B

2 z

и

x2

x y

C

2 z в критической точке M

x , y

и

B

0

A

AC B2 .

y 2

0

0

B

C

Тогда, если:

1)0 , A 0 , то функция имеет в точке M 0 максимум;

2)0 , A 0, то функция имеет в точке M 0 минимум;

3)0 , то в точке M 0 экстремума нет;

4)0 , то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополнительные исследования).

Пр и м е р. Исследовать на экстремум функцию

zx3 3xy2 15x 12y .

Ре ш е н и е. Найдем частные производные и составим систему урав-

нений (4.2):	z	3x2 3y2	15 0 ,	z	6xy	12 0	или	x2	y2 5 0		.
				y
	x							xy		2 0
Решая систему,		получим	четыре	критические		точки: M1 1; 2 ,				M 2 2; 1 ,

	M 3 1; 2 ,		M 4 2; 1 .			Найдем производные	2-го порядка z ,
	2 z	6 y , A	2 z		0,4	и составим определитель	AC B2 для каж-
			x2
	x y				M
дой критической точки.

					M1 1; 2 :		2 z		6 ,
1)				Для точки		A	x2
								M
								1
	2 z
C		2
	y
			M
				1

	2 z
B			12 ,
	x y M
		1

6 , AC B2 36 144 0 . Значит, в точке M						1	экстремума нет.
2)	Для точки M 2 2; 1 : A 12 , B 6, C 12 , 144 36 0 ,							A 0.
В точке M 2 функция имеет минимум. Этот минимум равен значению функ-
ции при x 2,		y 1: zmin 8 6 30 12 28.
3)	Для точки M :		A 6,	B 12,	C 6 ,	36 144 0 . Значит, в
точке M 3 экстремума нет.
4)	Для точки M 4 2; 1 :			A 12,	B 6,		C 12 , 144 36 0,
A 0 .	В	точке	M 4	функция	имеет		максимум,	равный

zmax 8 6 30 12 28.

Задачи и упражнения.

4.7. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) z x2 xy y2 9x 6y 20 ;
			б) z y x y2 x 6 y ;
				x
в) z x3 8y3 6xy 4 ;			г) z e		x y2 ;
				2
д) z x2 y2 2 ln x 18ln y ;			е) z x2 xy y2 2x y ;
2
ж) z 1 x2 y2		;	з) z 2xy 4x 2y .
	3

4.1.5. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных

Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или в точке границы области.

П р и м е р. Определить наибольшее и наименьшее значения функции

z x2 y2 xy x y в области x 0, y 0 , x y 3.

Р е ш е н и е. Указанная область – это треугольник (рис. 8.3).

1) Найдем критические точки. Для этого решим систему уравнений

z 2x y 1 0 ,

z 2 y x 1 0.

x

y

1

3,0

,0

2

1

0,

2

3

3

,

2

2

0, 3

Рис. 4.3

В результате получаем точку

M 1; 1 .

В точке

M значение функции

zM 1.

2) Исследуем функцию на границах области.

Если x 0 , то z y2

y , и задача сводится к отысканию наибольшего и

наименьшего

значений

этой

функции

одного

аргумента

на

отрезке

3 y 0. Проводя исследование,

находим:

zнаиб x 0

6

в точке

0; 3 ;

zíàèì x 0

1

1

в точке

0;

.

4

2

Если y 0,

то z x2 x .

По аналогии находим:

z

наиб

y 0

6

в точке

3; 0 ; zíàèì

y 0

1

1

в точке

; 0 .

4

2

Если x y 3,

т.е.

y 3 x , функция имеет вид

z 3x2

9x 6 . По

аналогии находим: zнаим

x y 3

3

3

;

3

zíàèá x y 3

6 сов-

в точке

;

4

2

падает с zнаиб x 0

и zнаиб y 0 .

2

Сопоставляя все полученные значения функции z , делаем вывод, что

zнаиб 6 в точках 0; 3 и 3; 0 ,

zнаим 1 в критической точке М .

Задачи и упражнения

4.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в указанной области:

а)

z x2 y

в области

x2 y2 1;

б)

z x2 y2

3xy в области:

0 x 2 ,

1 y 2 ;

в)

z xy x y в области: x 1, x 2 ,

y 2 ,

y 3;

г)

z x2 y2 6x 4 y 2

в области: 1 x 4 ,

3 y 2 ;

д)

z x2 y2

2xy 4x в области: x 3,

y 0 ,

x y 1 0.

Ответы

4.1.

а)

x 2 y 2

9; б)

y x;

в)

y x;

г) 1 y 1,

х – любое;

д)

2 x 2, 2 y 2;

е)

1

x

1;

ж) x 4 , x 4, 4 y 4; з)

y

y 0

или

y 0

;

и) y 2 x ; к) xy

1, xy 1;

y x , y x;

м)

л)

cos x 0

cos x

0

2n x2 y 2

(2n 1)

(n 0,1, 2,3, ); н)

y x ;

о)

x 5, y 0.

4.2. а) 6;

б) 27; в) – 4; г) – 1;

д) е;

е) 1; ж) предел не существует; з) предел

не существует; и) 0; к) 0.

4.3. а) О (0; 0) – точка разрыва; б)

x2 y2 9 – окружность; в)

y x – пря-

мая; г)

x 0 или

y 0 – ось Ох и ось Оу; д) М (2; – 3) – точка разрыва;

е)

y x – прямая;

ж) z x y – плоскость;

з) x 0

или

y 0 или z 0

– координатные плоскости.

z

z

z 2x sin(2x 4 y) x cos(2x 4 y) ;

4.4. а)

3x2 3y;

3y2

3x; б)

x

x

y

z

4x2 cos(2x 4 y);

в)

z

4 y

;

z

4x

;

г)

z yx y 1 ;

y

x

(x 3y)

2

y

(x 3y)

2

x

z

x

y

ln x; д)

z

y4

z

4 y3

;

;

y

x

y

x

2

x

esin

x

xesin

x

cos

x

cos

x

y

y

е)

z

y

;

z

y

;

ж)

z

2 2 xy

;

x

y

y

y2

x

2

y

2

3

x

z

x a

x a

z

2 2x2

;

з)

z

1

ctg

x a

;

ctg

;

y

x

y

2

y

2

3

y

y

2 y3

y

x

2

z

z

z

5 x 2 y

z

5xy

и)

y

;

1

;

к)

;

;

x

y

x

x2

y x

2

3

2

3

2 x y

x y

л)

z

y

z

x

м)

z

2x sin x2

z

cos x2

;

;

x

;

;

x

y

y

y

x

2

y

2

x

2

y

2

y

2

н)

u

yz(xy) z 1 ;

u xz(xy) z 1 ;

u (xy) z ln( xy);

x

y

z

о)

u

yz xy

ln z ;

u

xz xy ln z ;

u

(xy) z xy 1 .

x

y

z

4.5. а)

dz

2

3

5x

2

б)

dz

2

3x

10xy dx 4 y

dy;

xy 2 y

dx 3xy dy ;

в)

dz

4xy

ydx 3x dy ;

г) dz sin 2x dx sin 2y dy ;

2

y

2

2

x

2

dx y

2

3 x

dy

д) dz y2 x y 1 dx x y (1 y ln x) dy; е) dz

;

x3 y3

1

x

ж) dz

dx

dy

;

y

x y

з) dz 2( y dx x dy) ; и) dz x2 y 2

	л) du	x2 dx y2 dy z 2 dz								;
		3		3	y	3	z	3 2
			x

2				x
			dx		dy ; к) du yz dx xz dy xy dz ;
				y
y sin	2x
	y

м) du exy ( yz dx xz dy dz).

4.6. а) 1,01; б) 0,272; в) 5,014; г) 9,26; д) 0,805; е) 4,40;

4.7. а)

zmin ( 4;1) 1; б) zmax (4; 4) 12; в) zmin (1;

1

) 3;

2

г) z

( 2; 0)

2

; д) z

(1;3) 10 18ln 3;

е) z

( 1;0) 1;

min

e

min

min

ж) zmax (0;0) 1; з) экстремума нет.

4.8. а)

z

2

при x

2

,

y

1

,

íàèá

3

3

3

3

z

2

при x

2

,

y

1

; б) z

13 при x 2,

y 1 (краевой

наим

наиб

3

3

3

3

максимум), zнаим 1 при

x y 1

(внутренний минимум)

и при x 0 ,

y 1(краевой минимум);

в) zнаим 1; 2 5 ,

zнаиб 2; 3 11;

г) zнаим 3; 2 11, zнаиб 1; 2 9; д)

zнаим 2; 0 4, zнаиб 3; 3 6.

(x) .

Тема 3. . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.1. Основные понятия и определения

При решении многих задач математики, физики, биологии, экономики часто приходится находить неизвестную функцию из соотношения, которая связывает независимую переменную х, искомую функцию y y(x) и ее про-

изводные y (x), y (x),...,y(n)

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называ-

ется уравнение вида F(x, y, y , y ,...,y(n) ) 0, которое связывает независимый

аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные y', y'',…, y(n). Напри-

мер, y x, y ex .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение вместе со своими производными обращает его в тождество.

Решение F(x, y) 0 , заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется инте-

гральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называ-

ется функция y=φ(x,C1,С2,…,Сn), зависящая от х и n произвольных независимых постоянных C1,С2,…,Сn, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде Ф(x,у,C1,С2,…,Сn)=0, назы-

вается общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения

произвольным постоянным, т.е. решение вида: y (x,C 0 ,C							0 ,...,C 0 ) , где
					1	2	n
C 0 ,C 0 ,...,C 0 – фиксированные числа.
1	2		n
	Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего
путем фиксирования произвольных постоянных:					Ф(x,C 0	,C	0 ,...,C 0 ) 0,
					1	2	n
где	C	0 ,C	0 ,...,C 0 – фиксированные числа.
	1	2	n
	Для		дифференциального	уравнения	n-го		порядка

y( n) f (x, y, y , y ,...,y( n 1) ) задача Коши формулируется следующим обра-

зом:				для		заданных		начальных	условий
y	0	y(x ), y		y (x ),...,y		( n 1)	y( n 1) (x )	найти решение уравнения,	удовле-
		0	0	0	0		0

творяющее начальным условиям.

3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y ) 0 .

Если это уравнение разрешимо относительно y', то y f (x, y) или dy f (x, y)dx . Это уравнение в дифференциалах можно записать следующим образом: P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 .

Общим решением уравнения первого порядка называется функция y=φ(x,C) от х и производной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде Ô(x, y,C) 0, называется

общим интегралом.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.

Частным решением уравнения первого порядка называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С=c0: y=φ(x,c0), где c0 – фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф(x, y, c0 ) 0 .

Задача Коши. Найти решение y=φ(x,C) дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y y0 при x x0 . Другими словами найти интегральную кривую уравнения, проходящую через данную точку M 0 (x0 , y0 ) .

3.3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными на-

зывается уравнение вида:

P (x)P ( y)dx Q (x)Q ( y)dy 0,
1	2	1	2

где P1(x), Q1(x) – некоторые непрерывные функции переменной х, P2(y),Q2(y) – некоторые непрерывные функции переменной у, при-

чем Q1(x) P2(y).

Такое уравнение решают методом разделения переменных. Для этого левую и правую часть делят на произведение Q1(x) P2(y) и получают уравне-

ние

P1 (x)

dx

Q2 ( y)

dy 0 .

Q(x)

P2 ( y)

После интегрирования, получают решение.

П р и м е р.

Найти решение уравнения

xyy 1 x2 , удовлетворяющее

начальным условиям y(1) 1.

Р е ш е н и е. Так как

y dy

, то после умножения обеих частей урав-

dx

нения на dx, получим

xydy (1 x2 )dx.

Разделим

обе части

на х:

ydy (1

x)dx.

Интегрируя,

получим:

ydy (

1 x)dx,

откуда

x

x

y2

ln

x

x2

C или y2 ln x2 x2 2C .

2

2

Поскольку y(1) 1, то,

1=-1+2С, С=1.

Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному ус-

ловию y(1) 1, будет иметь вид y2

ln x2 x2 2 .

Задачи и упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

1.(x2 1) y 2xy 0, y(0) 1;

2. xydx (x 1)dy 0 ; 3. xydy

y2 1dx

4. xyy 1 x3;

5. xy y y3; 6.

y ctqx y 2, y(0) 1; 7.

y y(1 e2x ) ex ;

8. (xy2 x)dx (x2 y y)dy 0, y(0) 1; 9. xy y 0; 10.

y xe x 0 ;

11.

y y x ; 12.

y 2x 5 ; 13. (1 y)dx (x 1)dy 0

14. 2y

y, y(4) 1; 15.

y (2y 1)ctqx, y( )

1

;

x

4

2

16.

x2 y y2 0, y( 1) 1; 17. y tqx y ln y, y( ) e

2

Ответы

1.

yîáù

1

;

y÷

1

;

1 x2

(1 x2 )C

y2

ln

x

x3

C ;

2. ln

y

x ln

x 1

C ; 3. y

2 1 ln

x

C ; 4.

2

3

5. ln

y

1

ln

y 1

1

ln

y 1

ln

x

C ;

2

2