Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

		4					x 1							c																														x 1
68.					4																				69.								3 2x x		2		4arcsin									c
		3					x 2																																					2
		1																								1
70.				ln(3x 1 9x2 6x 2) c																					71.								arcsin(3x 2) c
	3																									3
		1									3x					2
72.				arcsin														c							73. ln					x 1 x2					2x 5							c
	3													2
									1																	5												13			ln		x 2					1
74.	ln					x									x2 x 1						c				75.							2x2 8x 1															x2 4x			c
																										2																						2
							2																													2
76.	3							x2						6x 8 13arcsin( x 3) c
																			2arcsin			x 1
77.	7							3 2x x2																	c
														2

78.3x2 x 2 12 ln x 12 x2 x 2 c

79.92 9x2 6x 2 139 ln 3x 1 9x2 6x 2 c

80.		1				arccos														2					x			c																				81.							1								ln		3 3x 2										3(x2	x 1)			c
	2																																																																									x 1
																				x 2																																	3
82.					1							ln									2 x x2																2						1					c
																												x
					2																																		2					2
		1																																		5arcsin									x					2		) c
83.						((x 2)																	1 4x x2
	2
																																												5
						1																																		14arcsin											x 1									c
84.									(3x 19) 3 2x x2
					2																																							2
85.					1									ln						x 6 60x 15x2																							c
																												2x		3
					15
		1																			2									1																							3																3
86.					sin5									x										sin7x									sin9							x c				87.																										cos x3					cos2	x c
	5																				7									9																								3 cos x											5
		1			cos3																																																														sin x c
88.														x cos x c																																		89. ln												sin x
	3					1 cos x																																															1
90.																																												91.													tg 4 x c
																						sin x c
										sin x																																											4
92.	ln							sin x								sin 2 x													1		sin 4						x c							93.									1															ln				tgx		c
																																																						2cos2
																					4																																												x
94.		1				(tg 2 x ctg 2 x) 2ln																														tgx				c				95.									1			x								1			sin 4x c
	2																																																				8											32

96.165 x 14 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x c

97.161 x 641 sin 4x 481 sin3 2x c

98.83 x 14 sin 2x 321 sin 4x c

99. tgx						1	sin 2x							3		x c				100.						(tg 2 x 1)(tg 4 x 10tg 2 x 1)									c
						4								2																	3tg 3 x
101.		1			tg 6 x			1		tg 4 x							1	tg 2 x ln			cos x		c
		6					4									2
102.		1			ctg 2 3x						1								c	103.					1			cos 7x			1	cos 3x c
													ln		sin 3x
		6					3																	14							6
104.		1			sin 2x				1			sin 4x c								105.						3	sin		5	x 3sin			x	c
		4					8																	5				6			6

106.13 sin 34x 12 sin 54x sin 4x 17 sin 74x c

107.161 cos 4x 18 cos 2x 121 sin 2 3x c

108.sin x 13 sin3 x c

109.							1																						c																																	110.																2										c
															x																																																																	x
							tg												2																																																								tg								1
							2																																																																							2
111.			1				ln(tg															x				)										1		tg					2 x				c															112.									1												x								1								2x	c
																																																																									ln						tg														ctg
	4																				2													8											2
																																																																						2													2						4										2
																																																																																								tg					x
	1																																																																					1									arctg																		c
113.							(tgx ln																								tgx								c)																							114.																															2
	2
																																																																						2																			2
115.			5																									3																								x						7								x		c
							ln							tgx																					ln				tg (															)						ln					tg
	2																						2																						4						2							2								2
																																																																	117. 3e3
116.	2(sin																					x														x cos												x ) c																														x (3					x2						23 x 2) c
			1														1																										4
118.							x														sin 2x																										sin3 x cos x c
	2						4																																				3
																																																																							4
																																																																									(4							x3																x3
119.	2							x 1(ln																									x 1									2) c																				120.																					ln(4																1)) c
							x(x2																																																															3
121.																					3)																3					arcsin x c
																																				2
							2 1 x2
122.	sin x arctg(sin x) c																																																																123. arctgx																				1											1			c
																																																																																					x									3x3
	1 1																									(x5 1)2																																				2x5				1
124.																																															3arctg																							) c
								(								ln
			15							2														x10 x5																			1
																																																																		3
125.							1																		x																		1								c											126.									1																tgx							c
									ln									tg																																																												arctg
																																															x
							4														2															8sin									2																									2																			2
																																														2
127.			1		x2ex2																																																												128.													1
																							c																																																																	ln								sin x				c
	2																																																																									2sin 2 x
129.			1																																	1																							1					arctg					2tgx										1			c
					ln								1 tgx																											ln				1 tg 3 x
	2																																			6
																																																										3												3

								5tg	x	4
		x2	1	c		2			2
130.	ln				131.		arctg				c
			x			3			3

132. 12 ln x 14 4x2 2x 1 c

133. 2arctg 2 4 2x x2 c x

134. 2		x 2		c	135.	1	sin(arctg	x	) c
		x 1				9		3

136.2arcsin 2x 2x 4 x2 c

137.165 x 14 sin 2x 643 sin 4x 481 sin 8x c

138.361 sin 9x 14 sin x 281 sin 7x 121 sin 3x c

139. 20				140. 2	5						141.	14
					8								3
142.				143. ln x(1							144. 3(e 1)
							2)
	6
145.		1		146. 2(1 ln			3		)		147.	2 ln 2
	2						4
148.	2ln 2 1			149. 1							150.	arctge
															4

151.										3															152.				1														153.
	3				2																								2
154.	2(ln 2 1)2																								155.				(9 4 3)														156.
																																				36
157.			2																						158.					1			(ln 2 1)										159.
																													2
	3				3
160.			1	ln				2		ln 2															161.				2
	2				5																								45
																	1									г)	8
162.	а)				6					3 9					б)								в) 9
																	3								9
																																				16
163.	а)4,5											б)18					в)						2 1		г) 8							д)											е) 2
																																					3
164.			16																						165.																		166.
					(1 2 2 1.5ln 2)
	3																												3
167.		9																							168.							32											169.
																																				6
	4																												3
170.	а)					1			ln 3						б)	20					5			в)	1	ln 3							г) a(e e 1 )
					2										9		3								2

		1
2
arctg						1
						6
		2			arctg		1
		5					5

46

278 (138 13 1)

171. а) расходится	б)	в)	2	г) 1 д)	1		е) расходится
			8		2
172. а) сходится	б) расходится			в) сходится			г) сходится д) схо-

дится е) расходится

				256		1
	173. а) 63 2		б) расходится в)6 г) расходится д)		е)
				15		4

	Тема 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
	4.1. Функции нескольких переменных
	4.1.1. Основные понятия
Рассмотрим множество D, состоящее из пар действительных			чисел
x, y , и некоторое множество Z действительных чисел.
Если каждой паре действительных чисел x, y D по некоторому пра-
вилу f	поставлено в соответствие одно определенное действительное число
z Z ,	то говорят, что на множестве D задана функция z f x, y ,		прини-
мающая значения из множества Z.
Функцию z f x, y называют функцией двух переменных,		а перемен-
ные x и y – независимыми переменными или аргументами.
Множество D называется областью определения функции.		Областью

определения функции двух переменных является множество точек плоскости.

Функцию двух переменных можно задавать аналитически, графически и табличным способом.

Частное значение функции z f x, y при x x0 , y y0 обозначается

через z0 f x0 , y0 .

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z f x, y является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz.

Аналогично определяется функция большего числа переменных

zf x1, x2 , , xn .

Пр и м е р. Найти область определения функций:

		1					x
1) z					;	2) z arcsin		xy .
		4 x2 y2				2
Р е ш е н и е. 1) Функция имеет действительные значения, если
4 x2 y2 0		или	x2 y2			4 . Последнему неравенству удовлетворяют ко-

ординаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область определения функции есть внутренность этого круга

(рис. 4.1).

Рис. 4.1

2) Первое слагаемое функции определено при 1 2x 1 или 2 x 2 .

Второе слагаемое имеет действительные значения, если xy 0 , т.е. в двух

случаях: при	x 0,		или при	x 0,		. Область определения всей функции
		y 0			y 0

изображена на рис. 4.2 и включает границы области.

Рис. 8.2

Задачи и упражнения

4.1. Найти области определения следующих функций и сделать чертежи:

б) z 1

;

а) z 9 x2 y2 ;

x y 2

в)

z ln x y ;

г) z x arccosy;

z arcsin

x

д)

z

4 x2

4 y2 ;

е)

;

y

ж)

z

x2 16

16 y2 ;

з)

z y cos x ;

и)

z ln x y2 ;

к)

z arctg

x y

1 x2 y2

1

л)

z

;

м)

z

sin x2

y2 ;

x2

y2

н) z

2

;

о)

z

2

1

.

x 5

y x

y

4.1.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Пусть в некоторой области D задана последовательность точекx1 , y1 , x2 , y2 , ... , xn , yn , .... Точка M 0 x0 , y0 также принадлежит области D . Расстояние между точками xn , yn и x0 , y0 может быть вычислено по

		.
формуле dn	xn x0 2 yn y0 2
Будем говорить, что последовательность точек xn , yn стремится к
точке x0 , y0 , если при n расстояние dn 0 .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0 , y0 , кро-
ме может быть самой точки.

Число A называется пределом функции z f x, y в точке x0 , y0 , если для любой последовательности точек xn , yn , стремящейся к точке с координатами x0 , y0 , точки которой отличны от точки x0 , y0 и не выходят из области определения функции, соответствующая последовательность значе-

ний функции	f x1 , y1 , f x2 , y2 , ... , f xn , yn , ... стремится к числу A . В этом
случае пишут:		lim f x, y A.
		x x0
		y y0
Функция	z f x, y называется непрерывной в точке с координатами
x0 , y0 , если предел функции		f x, y при x x0 и	y y0 равен значению
функции в точке x0 , y0 , т.е.		f x, y f x0 , y0 .
	lim
	x x0
	y y0

Для функции большего числа переменных предел и непрерывность определяются аналогично.

П р и м е р. Найти пределы функций:

1) lim

xy

;

2) lim

sin 5xy

;

3) lim

x y

.

x 2

x4 y4 1

x 1

y

x 0

x

y 3

y 0

y 0

Р е ш е н и е.

1) Функция z

xy

определена и непрерывна на

x4

y4

1

всей плоскости, поэтому предел этой функции равен значению функции в

точке 2; 3 , т.е.

lim

xy

2 3

6

1

.

x

y

y 3

4

4

1

16 81 1 96 16

x 2

2) Функция

z

sin 5xy

в точке 1; 0 не определена. Воспользуемся пер-

y

вым замечательным пределом lim

sin

1.

0

lim

sin 5xy

lim

5xsin 5xy

5lim x lim

sin 5xy

5 1 1 5 .

x 1

y

x 1

5xy

x 1

x 1

5xy

y 0

y 0

y 0

y 0

3) Рассмотрим

две

последовательности точек,

стремящихся к точке

1

1

0; 0 , а именно:

1

1

M

1

; 0 , тогда lim

x y

2 ,

M

;

и

lim

n

n

n

n

y 0

x

1

n

n

n

n

x 0

n

1

0

x y

1.

lim

lim

n

x

x 0

n

1

y 0

n

Для разных последовательностей точек получены разные пределы, это и

показывает, что данная функция предела не имеет.

П р и м е р. Найти точки разрыва функции

z

xy 6

.

x2

y

Р е ш е н и е. Для данной функции знаменатель не должен обращаться в

ноль. Если x2 y 0 , то

y x2

– уравнение параболы. Следовательно, дан-

ная функция имеет линией разрыва параболу y x2 .

Задачи и упражнения

4.2. Найти пределы функций:

а) lim

tg2xy

;

б) lim

x3 y

3

;

y

x y

x 3

x 3

y 0

y 3

в) lim

xy

;

г) lim

x 1

;

x 0

2 xy 4

x 1

y 1

y 0

y 1

д) lim 1 x3

y3 1/ x3 y3 ;

е) lim

x y sin

1

;

x y

x 0

x

y 0

y

ж) lim

x2 y2

;

з) lim

y

;

x2 y2

x2 y 2

x 0

x 0

y 0

y 0

и) lim x2	y2 sin	1	;	к) lim	x3 y	3	.
		xy			x y
x 0				x 0
y 0				y 0

4.3. Найти точки разрыва функций:

а) z ln						x2 y2 ;
в)	z				1		;
		x y 2
д)	z						1			;
			x 2 2				y 3 2
ж) u					1			;
				x y z

б)

г)

е)

з)

z			1			;
	9 x2			y2
z cos			1	;
			xy
z		x2	y2
					;
		x	y

u cos xyz1 .

4.1.3. Частные производные, полный дифференциал, производная в данном направлении и градиент функции

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции двух переменных z f x, y , полагая, например, y посто-

янной, получаем производную
z lim		f x x, y f x, y	f	x, y ,
x	x 0	x		x

которая называется частной производной функции z по переменной x . Аналогично определяется частная производная функции z по переменной y

z lim		f x, y x f x, y	f	x, y .
y	y 0	y		y

Полным приращением функции z f x, y называется разность

z f x x, y y f x, y .

Полным дифференциалом функции z f x, y называется главная часть полного приращения z , линейная относительно приращений аргументовx и y . Полный дифференциал функции z f x, y обозначается символом dz .

Разность между полным приращением и полным дифференциалом функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с

x2 y2 .

Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т.е. dx x и dy y . Полный дифференциал функции z f x, y находится по формуле

dz xz dx yz dy .

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u f x, y, z

находится по формуле

du

u

dx

u

dy

u

dz .

x

y

z

При

достаточно малых

x и y ,

а значит, при достаточно малом

z f x, y

x2

y2 , для дифференцируемой

функции

имеет место

приближенное равенство z dz или

z z x

z

y ,

x

y

откуда

f x x, y y f x, y z x z y.

(4.1)

x

y

Формула (4.1) применяется для приближенного вычисления значения

функции

z f x, y в точке x x, y y

по известным значениям функ-

ции z x, y и ее частных производных

z

и

z в данной точке

x, y .

x

y

П р и м е р. Найти частные производные следующих функций: 1) z ln tg xy ; 2) u x3 y2 z 4x 5y 2z 5.

Р е ш е н и е. 1) Рассматривая y как постоянную величину, получим:

z

1

1

y

2 y

x

.

Аналогично, рассматривая x как по-

y

2 y

x2

2 y

tg

cos

x

2

sin

x

x

x

стоянную, получим:

z

1

1

1

2

.

y

tg

y

cos

2 y

x

xsin

2 y

x

x

x

2) u

3x2 y2 z 4 ,

u

2x3 yz 5,

u

x3 y2

2 .

x

y

z

П р и м е р. Найти полный дифференциал функции z x2 y2 .

Р е ш е н и е. Найдем частные производные

z

x

,

x

x2 y2

z

y

. Тогда dz

x

dx

y

dy

xdx ydy

.

y

x2 y2

x2 y2

x2 y2

x2 y2

П р и м е р. Вычислить приближенно 1.034.01 .

Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение функ-

ции z x y

при x 1 0,3, y 4 0,1. Значение функции в точке 1; 4 равно

z 1; 4 14

1, x 0,03,

y 0,01. Используя

формулу (8.1), получим

z dz yx y 1 x x y ln x y 4 1 0,03 1 ln1 0,01 0,12. Следовательно, 1,034.01 1 0,12 1,12 .

Задачи и упражнения

4.4. Найти частные производные функций:

а) z x3 y3 3xy ;

б)

z x2 sin 2x 4 y ;

в)

z

x y

;

г) z x y ;

x 3y

y4

z esin

x

д)

z

;

е)

y

;

x

x a

ж) z arcsin

x2 y2

, x 0 ,

y 0;

з)

z ln sin

;

x2 y2

y

и) z

y

;

к) z

5x

;

x

x y2

л)

z arctg

y

;

м)

z

cos x2

;

x

y

н) u xy z ;

о) u z xy .

4.5. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) z x3 y4 5x2 y ;

б) z x2 y3 ;

в)

z

x2

y

2

;

г)

z sin 2 x cos2 y ;

x2

y

2

е) z ln x3 y3 ;

д) z yx y ;

x

z arctg

x

arcctg

y

ж)

z ln 1

;

з)

;

y

y

x