Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

Полагая x последовательно равным действительным корням знаменате-

ля дроби, находим из тождества (2.3)
	A 2 при x 0 ;					B	3	при x 1;							C				1				при				x 1.
					2														2
	Таким образом,					x 2								2			3						1			1					1		.
						x(x 1)(x 1)
														x			2				x 1					2				x 1
2.		В результате получим
	x	5	2	dx x2 dx	dx 2				dx		3			dx					1					dx					x		3					3						1
																																					ln		x 1				ln		x 1		c.
																																x 2 ln		x
		3
	x		x						x 2				x 1						2					x 1 3												2						2

x1

Пр и м е р. Найти интеграл x 2 (x2 1)dx .

Р е ш е н и е.

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Поэтому разложим её на простейшие дроби:

x 1		A		B		Cx D
							,
x2 x2 1		x		x2		x2 1
							откуда

x 1 A x2 1 x B x2 1 Cx D x2 , x 1 A C x3 (B D)x2 Ax B.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

0 A C
0 B D			,
1	A
1	B

из которой

А=1, В=-1, С=-1,Д=1.

x 1

1

1

x 1

1

1

2x

dx

dx

dx

dx

dx ln

x

dx

x2 x2 1

x

x2

x2 1

x

2

x2 1

x2 1

ln

1

1

arctgx C.

x

ln

x2 1

x

2

Итак, интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию многочленов и простейших дробей.

2.2.5. Интегрирование иррациональных функций.

ax b

I. Интеграл вида R x, n

dx , (где n

- натуральное число) подста-

cx d

новкой

n

ax b

t

приводится к интегралу от рациональной функции t .

cx d

П р и м е р. Найти интеграл 11 xx dx .

Р е ш е н и е.

1 x

t;

1 x

t 2 ;

1 x

1 x

1 x

dx

4t

1 x

dx

dt

1 t 2 2

(t 2 1) 1

dt

dt

4

dt 4

4

1 t 2 2

1 t 2

1 t 2 2

x	1 t 2
	1 t 2				t	2	dt
		4
				1 t				2	2
			2t
4arctgt					2arctgt c
			1 t 2

	1 x
2arctg				1 x2	c.
	1 x
П р и м е р.				Найти интеграл			dx				.
							(x 1)	3	(x 2)

Р е ш е н и е.

x 2

t;

dx

2tdt

;

x 1

1 t 2 2

x 2

t 2 ;

x

2 t 2

;

1 t 2

x 1

dx

x 2

dx

x 1 x 2

x 1

2

x 2

x 1 x 2

x 1

x 1 3 x 2

x 1

2 t

2

2

t

2

1

t 2

;

1 t

2

1 t

2

2

t

2tdt

2 dt 2t c 2

x 2

c .

2 2

t 2

x 1

1 t

1 t 2

2

k

z

ax b n

ax b s

II. Интеграл вида R x,

,...,

dx

рационализируется с по-

cx d

cx d

мощью подстановки

ax b

t m , где m

- общий знаменатель дробей

k

, … ,

z

.

cx d

n

s

П р и м е р.

Найти интеграл

dx

.

3

x 1

x 1

Р е ш е н и е.

dx

x 1 t 6 ;

6t 5 dt

t 5 dt

t 3

x t 6 1;

6

6

dt

3

3

t

2

2

t

1

t

x 1

x 1

t

t

dx 6t 5 dt;

1

t 2

1

dt

t 3

t 2

6

t 1

6

t ln

t 1

c 2t 3 3t 2 6t 6 ln

t 1

c

t 1

3

2

2 x 1 33 x 1 66 x 1 6ln

6 x 1 1

c.

П р и м е р. Найти интеграл

3 x 1 4

x 1

dx .

(x 1)(1 6

x 1

Р е ш е н и е.

t 4 t 3 t

x 1 t12

11

t 3 t 1

3 x 1 4 x 1

12

dt 12

x 1 1 6

dx

dx 12t11dt

dt

t12

1 t 2

t 1 t 2

x 1

t 3

t 2

t 1

t 2

1

12

dt 12

t 1

dt 12

t

ln

t 2

1

arctgt

c 66

x 1 1212 x 1

2

2

1

t

t

1

2

2

6 ln 6x 1 1 12arctg12 x 1 c.

III. Интеграл вида R x, ax2 bx c dx удобно рационализировать с по-

мощью подстановки Эйлера.

1) Первая подстановка Эйлера.

Пусть a 0 , тогда примем ax2 bx c t a x

П р и м е р. Найти интеграл		dx
					.
	x
			x 2 1

Р е ш е н и е.

													x 2 1						t x
			dx								x 2 1 t 2 2tx x 2
x
				x 2 1
											x			1 t						2			dx		1
																					;
																2t									2
	1		t 2 1							1			1						1					1
							dt															dt			ln
	2		t		3					2							t			3				2
													t

					1
								dt
					2t 2
		t				1			1
									t 2
					2

	1						1
													1				t 2 1
	2						2t 2
											dt										dt
		x t x											2				t 2 t
					1																	1
	c								x						2	1									c.
								ln					x
																			4 x					2
					2																		x2 1

.

	2) Вторая подстановка Эйлера.
	Пусть c 0 , тогда примем ax2
				bx c xt c ;
	П р и м е р. Найти интеграл			dx						.
				(1 x) 1 x x2

Р е ш е н и е.

1 x x 2 tx 1

1 x x 2 t 2 x 2 2tx 1

x x 2 t 2 x 2 2tx;

1 x t 2 x 2t

dx

x t 2 1

1 2t;

x

1 2t

; dx

2(1 t t 2 )

dt

2

2

2

t

1

(t

1)

1 x 1 x x 2

1 2t

1 x x 2 t

1

t 2

1

t 2t 2

t 2

1

t 2 t 1

;

t 2

1

t 2

1

1 x 1

1 2t

t 2 1 1 2t

t 2 2t 2

t 2

1

t 2 1

t 2 1

2

2 1 t t

dt 2

1 t t 2

dt 2

dt

2

t 2 2t 2

t 2 t 1

t 2 2t 2 t 2 t 1

t 2 2t 2

t 2

1

t 2 1

t 2 1

2

dt

2arctg t 1 c 2arctg

1 x x2 x 1

c .

2

x

t 1

1

3) Третья подстановка Эйлера применяется,

x

a x

ax2 bx c

a x x

, где

x

трёхчлена ax

2 bx c , и

t

a x

.

x

если b2 4ac 0 . Тогда

и корни квадратного

	П р и м е р. Найти интеграл			dx		.
			(x 2) 3 4x x2

Р е ш е н и е.

dx

dx

dx

x 2

x 2

x 1 3 x

3 4x x2

x 2 3 x

x 1

3 x

t

x 1

;t

2

x 1

;

3 x

3 x

x

1 3t 2

;

dx

4tdt

;

1 t 2

1 t 2 2

4tdt

2

dt

ln

t 1

c

1 3t 2

2t

2

t

2

1

2t

t

2 1

t 1

2

1 t

3 4x x 2 t

3

;

2

2

2

2

1 t

1 t

1 t

1 t

x 2

1 3t 2

2

t 2

1

1 t

2

1 t 2

ln

x 1

3 x

c.

x 1

3 x

Замечание.

Mx N

dx

находится проще методом разложения (см.

2

ax

bx c

интегрирование рациональных дробей вида III).

Пример.

Найти интеграл

4x 8

dx .

x2 6x 1

Решение.

4x 8

4x 8

x 3 t

4 t

3 8

4t 4

dx

dx

x t

3

dt

dt

x

2

6x

1

x 3

2

10

t

2

10

t

2

10

dx dt

2

2t

dt 4

dt

4 t 2 10 4 ln

t t 2 10

c

2

2

t

10

t

10

4 x2 6x 1 4 ln

x 3 x2 6x 1

c.

2.2.6. Интегрирование тригонометрических функций.

Интеграл вида R sin x, cos x dx , где R(sin x, cos x)

- рациональная функция

от sin x

и cos x , приводятся к интегралам от рациональных функций с помо-

щью,

универсальной тригонометрической подстановки tg

x

t . В результате

2

такой подстановки:

2tg x sin x 2

1 tg 2 x

2

П р и м е р.

1

tg 2

x

2t

1 t 2

2dt

; cos x

2

;

x 2arctgt ;

dx

t 2

x

1 t 2

1 t 2

1

1

tg

2

2

Найти интеграл dx .

4sin x 3cos x 5

Р е ш е н и е.

t tg

x

;

2

2dt

dx

2t

1 t 2

sin x

;

cos x

;

1 t 2

4 sin x 3cos x 5

1 t 2

1 t 2

2t

3 1 t 2

4

5

2dt

t 2

1 t 2

dx

1

1 t 2

2

dt

dt

dt

1

c

1

c .

2t

2

t

2

4t 4

t

2

t 2

x

8t 8

2

tg

2

2

Универсальная

подстановка

tg

x

t

во

многих

случаях приводит к

2

сложным вычислениям, т.к. при ее применении sin x и cos x выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t .

В	некоторых частных	случаях	нахождение интегралов		вида
R sin x, cos x dx может быть упрощено.
1)	Если R sin x, cos x - нечетная функция относительно			sin x , т.е.	если
R sin x, cos x R sin x, cos x , то		интеграл	рационализируется	подстановкой
cos x t .
2)	Если R sin x, cos x - нечетная функция относительно			cos x , т.е.	если

R sin x, cos x R sin x, cos x , то интеграл рационализируется c помощью подстановки sin x t .

3) Если R sin x, cos x - четная функция относительно sin x и cos x , т.е. если R sin x, cos x R sin x, cos x , то применяется подстановка tgx t .

П р и м е р. Найти интеграл sin 5 x dx .

cos 4 x

Р е ш е н и е.

sin 5 x

dx

sin 4 xd (cos x)

cos 4 x

cos 4

x

1 2 cos 2 x cos 4 x

d (cos

cos 4 x

t

2

1

c cos x

2

3t 3

t

cos x

sin 4 x sin 2

x 2

1 cos 2 x 2

1 2 cos 2 x cos 4

x

x) cos x t

1 2t 2 t 4

2 1

dt 1

dt

t

4

t

2

t

4

1

c .

3cos3 x

П р и м е р. Найти интеграл cos3 xdx .

sin 6 x

Р е ш е н и е.

cos3 x

cos 2 xd sin x

1 sin 2 x

d sin x sin x t

1 t 2

dx

dt

sin

6

x

sin

6

x

sin

6

x

t

6

1

1

1

1

1

1

dt

c

c .

6

t

4

5t

5

3t

3

5sin

5

3sin

3

t

x

x

П р и м е р.

Найти интеграл

dx

.

sin x cos3 x

Р е ш е н и е.

1 tg 2 x dx

dx

1

1 tg

2

x

2

sin x cos

3

cos

2

x

2sin x cos x

x

2

1 tg 2 x dx

1 tg 2 x 2

t tgx

dx

x arctgt;

2tgx

tgx

1 tg 2 x

2

1 tg 2 x dx

sin 2x

1

1 t 2 2

1

dt

1 t 2

dt

dx

dt

t

1 t

2

t

t

2

1

1

t 2

tg 2 x

t

dt

ln

t

c

ln

tgx

c .

t

2

2

При вычислении интегралов

sin mxcos nxdx;

sin mxsin nxdx;

cos mxcos nxdx ,

используются формулы

sin mx cos nx 12 (sin(m n)x sin(m n)x);

sin mxsin nx 12 (cos(m n)x cos(m n)x);

cos mx cos nx 12 (cos(m n)x cos(m n)x).

П р и м е р. Найти интеграл sin x sin 2x sin 3xdx . Р е ш е н и е.

	sin x sin 2x sin 3xdx			1		cos x cos 3x sin 3xdx						1		sin 3x cos xdx				1	sin 3x cos 3xdx
				2														2
												2
		1	sin 4x sin 2x dx				1	sin 6xdx		1	cos 4x		1		cos 2x	1	cos 6x c .
		4				4			16			8				24

Интегралы вида sin m x cos n xdx , где m и n - четные положительные числа, вычисляются с помощью тригонометрических формул:

	sin x cos x	1	sin 2x; sin 2
		2

П р и м е р. Найти интеграл Р е ш е н и е.

sin 2	x cos 2 xdx		sin 2 x cos 2 x sin x cos
			1			2
					sin 2x
			2

x12 1 cos 2x ; cos 2 x 12 1 cos 2x .

sin 2 x cos 2 xdx . x 2

14 sin 2 2xdx 18 1 cos 4x dx 18 x 321 sin 4x c.

2.3. Определенный интеграл.

Пусть функция f x определена на отрезке a;b . Разделим отрезок a;b

на n произвольных частей точками a x0				x1 x2 ... xn 1 xn	b , выберем
на каждом элементарном отрезке xk 1 , xk				точки k . Интегральной суммой
					n
для функции f x на отрезке a;b называется сумма вида f k						xk ,
					k 1
xk xk xk 1 , (k 1,2,..., n) , причем эта сумма имеет конечный предел I,						если
для каждого 0 найдется такое число 0 , что при max xk					неравенство
	I		выполняется при любом выборе чисел k .		a;b (или в
			Определенным интегралом от функции f x на отрезке

пределах от a до b ) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков max xk стремится к ну-

лю:

b

n

I f x dx lim

lim f k xk .

a

max xk 0

max xk 0 k 1

Если функция

f x непрерывна на a;b , то предел интегральной суммы

существует и не зависит от способа разбиения отрезка a;b

на элементарные

отрезки и от выбора точек k .

Числа a

и b

соответственно называют нижним и верхним пределами

интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла:

b

a

1) f

x dx f x dx ;

a

b

a

x dx 0 ;

2)

f

a

b

b

3) f (x)dx f (t)dt , т.е. переменную интегрирования можно обозначить

a

a

любой буквой.

b

c

b

4) f x dx f

x dx

f x dx, a c b ;

a

a

c

b

b

b

5) f1 x f2 x dx

f1 x dx

f2 x dx ;

a

a

a

b

b

6) cf

x dx c f x dx , где c const ;

a

a

на a;b , то m b a

b

7) если m f x M

f x dx M b a ;

a

f (x) 0 на отрезке a;b , то

b

8)

если

f (x)dx 0; если

f (x) 0 для всех

a

b

точек x a;b , то f (x)dx 0;

a

b

b

9) если

f (x) g(x) на отрезке a;b , то f (x)dx g(x)dx;

a

a

b

10) f (x)dx f (c)(b a), c a;b ; (теорема о среднем);

a

b

b

11)

f (x)dx

f (x)

dx;

a

a

x

12)

f (x).

f (t)dt

a

x

2.3.1. Правила вычисления определенных интегралов.

1. Формула Ньютона-Лейбница:

Если для непрерывной на отрезке a;b функции f (x) может быть найдена первообразная F (x) , то простым и удобным методом вычисления

b

определённого

интеграла f (x)dx

является формула Ньютона –

a

Лейбница:

b

b F b F a .

f x dx F x

a

a

где F x - это первообразная для

f x .

1

П р и м е р.

Найти интеграл x 2 dx .

0

Р е ш е н и е.

1

x

3

1

1

0

1

x2 dx

;

0

3

0

3

3

3

2.Интегрирование по частям:

b

b

b

ud u

du ,

a

a

a

где u u x , x

- непрерывно дифференцируемые функции на от-

резке a;b .

П р и м е р. Найти интеграл

Р е ш е н и е.

	cos xdx		u x2	; du 2xdx
x2			dv cos xdx; v sin x
0

x 2 cos xdx .

0

	0
x2 sin x		2 x sin xdx 2	sin 0 2 x sin xdx
		0	0

u x; du dx	2( x cos x
dv sin xdx; n cos x

2 sin sin 0 2 .

	cos xdx) 2( cos sin x			)
0			0
	0

3. Замена переменной:

	b
	f x dx f t t dt ,
	a
где x t - функция, непрерывная вместе со своей производной
t на отрезке t ,	a ,	b , f t - функция, непрерывная
на отрезке a;b .
		ln 5
			e x e x 1
П р и м е р. Найти интеграл						dx.
			e x 3
		0

Решение.

											t			ex 1;				t	0	прих 0
ln 5ex				ex 1																			2					4
												2			x
							dx				t		e			1;		t	2,	приx ln 5		2 1							dt
		e	x	3																						t	2	4
0										2tdt ex dx;													0
								t
											2
	2 t 2arctg											2 2 2arctg1							0 2arctg 0 2 2			2			4		.
								2			0												4

2.4. Приложения определенного интеграла.

2.4.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции:

		d
	b	s g( y)dy
	s f (x)dx
		c

	a
у	у

рис.1

рис.2

		y g1(y)	y g	2	( y)
	y f (x)
	2

y f1

рис.3					рис.4
b					d
s ( f2 (x) f1 (x))dx					s (g2 ( y) g1 ( y))dy
a					c

П р и м е р Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y x 1 и

y x2 2x 1.

Р е ш е н и е Найдем абсциссы точек пересечения этих кривых, решая уравнение.