Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

6. y

2 C cosx; y

2 3cosx; 7. y2

ln(1 e2x )C;

общ

÷

8. y2

C 1 x2

; 9.

y

Cx; 10.

y

xe x ex C ;

1 x2

общ

общ

11.

y2

x2

C; 12.

y

5x x2 C; 13.

y

C(x 1) 1;

2

2

общ

общ

x C ;

14.

y

e

y

e

x

2 ;

общ

÷

15. y

C2 sin2 x 1

; у

4sin

2 x 1

;

16.

y

x

;

y x;

Cx

общ

2

ч

2

общ

1

÷

17. yобщ eC sin x ; y÷ esin x .

3.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция y f (x, y) называется однородной функцией n–го измерения,

если f ( x, y) n f (x, y).

Дифференциальное уравнение вида P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 , где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения n, называется одно-

родным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение можно привести к виду

y f (x, y),

где

f (x, y) однородная

функция нулевого измерения.

С помощью замены

y ux , где u – новая неизвестная функция, урав-

нение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение:

y

x y

x y

Р е ш е н и е. Так как

x y

x y

, то уравнение является однород-

x y

x y

ным . Сделаем замену:

y ux

y u x ux u x u , получим

x ux

1 u

1 u

u x u

; u x u 1 u ; u x 1 u u;

x ux

u x

1 u u u2

1 2u u2

;

1 u

du

dx

;

1 u

du

dx

;

1 u

1 u

2u

u2

x

2u u2

x

1

1

1 ln

1 2u u2

ln

x

C.

2

Сделав

обратную замену

u

y

, получим общий интеграл:

x

y

y

1 ln

1 2

(

)2

ln

x

C.

2

x

x

Задачи и упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

y

x y

; 3. xy y xe

y

1.

(x 2y)dx xdy 0;

2.

x

;

x

4.

(x2 y2)dx 2yxdy, y(4) 0;

5. (x2 3y2)dx 2xydy 0, y(2) 1;

6.

y

y

(1 ln

y

); 7. (x y)dx (x y)dy 0; 8.

(x y) ydx x2dy

x

x

Ответы

x(Cx 1); 2.

x2 C

2

x ln(ln C

1.

y

îáù

y

îáù

; 3.

y

îáù

x

);

2x

x2

Cx; y

x2 4x;

x

4.

y

îáù

÷

5. y

îáù

1 xC

; y

x

1 0.375x

;

÷

x

6.

y

îáù

xe xC ; 7. 1 C x2 2xy y2 ; 8. y

ln C

x

3.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: y p(x) y f (x) , где p(x) и f(x) – заданные непрерывные функции.

Для решения линейного уравнения применим подстановку y u x v x , где u(х) и v(х) – неизвестные функции.

Тогда уравнение примет вид: u v uv p(x)uv f (x), u v u(v p(x)v) f (x).

Выбираем функцию v(x) так, чтобы v p(x)v 0 . Тогда функция u(x) определяется из уравнения u v f (x).

Таким образом, решение линейного уравнения сводится к решению дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

П р и м е р. Решить уравнение: y 2xy 2xe x2

Р е ш е н и е. Полагаем y uv , тогда y u v uv и данное уравнение

преобразуется к виду:

u v uv 2xuv 2xe x2 , u v u(v 2xv) 2xe x2 .

Функцию v найдем из условия, что										v 2xv 0 . Тогда u v 2xe x2 .
Решим первое уравнение, разделяя переменные и интегрируя получим:
dv 2xv ;	dv 2xdx ; ln					v		x2	(положим С=0); v ex2 .
dv	v								уравнение, получим: u ex2 2xe x2 ;
Подставляя	v e x2		во	второе
du 2x ; du 2xdx . Интегрируя, находим общее решение: u x2 C .
dx
Окончательно:		y uv (x2 C)ex2 .
Следовательно, общее								решение		дифференциального уравнения
y (x2 C)e x2 .

Задачи и упражнения

Найти общие решения уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

1.

xy

y x3 ; 2.

y

y x 2 ; 3. y cosx ysin x sin 2x; 4. y 4y e2x;

5.

y

x

y 1; 6.

y ytqx

2x

; 7. y

2x

y 2x(x2 1), y(1) 2;

1 x2

cosx

x2 1

8.

y

xy

x ;

9.

y x y x2

0, y(1) 2 ;

10. y cosx ysin x 1;

x2

1

11. y ytgx cosx;

12. x2 y xy 1 0; 13.

y x( y x cosx);

14. xy y ex 0; 15.

y 2 y ex x2, y(1) e

x

Ответы

y

(

x2

C)x; 2.

y

x 1 Ce x ;

3. y

C cos2x

;

1.

îáù

îáù

îáù

2

2cos x

4. y

(

1

e

2x

C)e

4x

1

e

2x

Ce

4x

;

îáù

2

2

x2

C

;

5.

y

îáù

(arcsin x C) 1 x2 ; 6.

y

îáù

cos x

7.

y

îáù

(x2

1)(x2 C); y

÷

x4 x2

y

îáù

( x2

1 C) x2 1;

; 8.

9.

y

îáù

(tgx C)cosx sin x C cosx; y

x2 x;

÷

y

îáù

(x C)cosx; 11.

y

îáù

(

ln

x

C

);

12. y

îáù

(sin x C)x;

10.

x

13. y

e x C

;

14. y

(ex C)x2;

y

ex x2.

îáù

îáù

x

÷

3.6.Уравнение Бернулли

Уравнение вида:

y p(x) y yn g(x) ,

где n≠0, n≠1, называется уравне-

нием Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z y1 n .

П р и м е р. Найти частное решение уравнения y xy xy2 , удовле-

творяющее начальному условию у(1)=1.

Р е ш е н и е. Имеем уравнение Бернулли (n=2). Приведем данное

уравнение к линейному виду с помощью подстановки

z y1 2 ,

z

1

,

y

y 1

, y

1

z

z

z2

Подставим в условие:

1

z

1

x

1

. Умножив на z2 , получим:

z2

zx

z2

z

z

x . Полагаем, что z uv , тогда z u v uv и u v uv uv x;

x

x

u v u(v

v

) x.

x

Функцию v ищем из условия, что

v

v

0 . Тогда

u v x .

x

Решим первое уравнение, разделяя переменные и интегрируя:

dv dx

,

v

x

ln v ln x (положим С=0), откуда v=x.

Подставим v=x во второе уравнение:

u x x, u 1,	du dx, du dx, u x c .Следовательно, z=(x+c)x и
общее решение исходного уравнения имеет вид:		y	1	.
			(x c)x

Так как у(1)=1, то 1 1 1 c , откуда с=0 и частное решение примет вид:

y 1 . x2

Задачи и упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

1.y 2xy y2x; 2. y 2y y2ex; 3. y y4 cosx ytgx;

4.(1 x2) y 2xy xy2, y(0) 0.5; 5. xy 4y x2 y; 6. y xy xy3

Ответы

1. yîáù

1

; 2. yîáù

1

; 3. yîáù

1

;

( ln

x

C)x

2

e x Ce

2x

cosx3 C 3tgx

2 2x2

2 2x2

1

4. y

îáù

; y

÷

;5. y

îáù

x

1

ln

x

C ; 6. y2

2C x

2

4 x

2

2

1 Ce x

2

3.7.Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение вида:

A(x) y B(x) y C(x) y f (x),

(3.1)

где А(х)≠0, В(х), С(х), f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если А ≠ 0, В,С – постоянные величины, не зависящие от переменной х, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами; причем, если f(x)=0, то линейным однородным , а если f(x) ≠0, то линейным неоднородным.

Теорема 3.1. Если y y1(x) - решение уравнения (3.1), то функция y Cy1(x) , где С – любое постоянное число, также будет решением уравне-

ния (3.1).

Теорема 3.2. Если y y1(x) и	y y2(x)	- два решения уравнения
(3.1), то и y C1y1(x) C2 y2(x) , где С1 и С2 –		произвольные числа, тоже
решение уравнения (3.1).

Два решения у1(х) и у2(х) уравнения (3.1) называются линейно зависимыми на интервале (а,b), если существуют числа α1 и α2, не равные одновременно нулю, такие, что α1 у1(х)+ α2 у2(х)=0 для всех x (a,b) . В противном случае решения называются линейно независимыми.

3.8. Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: y py qy 0, где p и q – постоянные.

Для его решения составляют квадратное уравнение k 2 pk q 0 , называемое характеристическим. Для этого уравнения возможны три случая. 1) если D p2 4q >0, то уравнение имеет два различных действительных

корня k1 и k2 и уравнение имеет общее решение y C1ek1x C2ek2x , где С1 и

С2 – произвольные постоянные действительные числа;

2)если D=0, то уравнение имеет два равных действительных корня k1= k2=k и уравнение имеет общее решение y (C1 C2x)ekx ;

3)если D<0 (i2 1), то уравнение имеет два комплексносопряженных корня k1 i , k2 i и уравнение имеет общее ре-

шение y e x (C1 cos x C2 sin x) .

П р и м е р. Найти общее решение уравнения y 3y 2y 0.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 3k 2 0 . Здесь D 9 4 1 2 1 0 и k1=2, k2=1. Следовательно, общее решение

имеет вид	y C e2x C		2	ex.
	1
П р и м е р.		Найти общее решение уравнения y 10y 25y 0.
Р е	ш е	н и		е. Характеристическое уравнение имеет вид

k 2 10k 25 0 и D=100-100=0, корни k1= k2=5. Общее решение имеет вид

y(C1 C2x)e5x .

Пр и м е р. Найти общее решение уравнения y 4y 13y 0 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 4k 13 0 .

D=16-52=-36=36i2, k1,2 4 6i 2 3i . Значит, α=2, β=3 и общее реше-

2

ние имеет вид y e2x (C1 cos3x C2 sin 3x) .

Задачи и упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

1.y 4y 3y 0; 2. y 3y 2y 0; 3. y 2y y 0;

4.y 9y 0; 5. y 2y 8y 0, y(0) 0, y (0) 6; 6. y 4y 0;

7.y 6y 25y 0; 8. y 16y 0; 9. y 3y 0, y(0) 1, y (0) 3;

10.y 2y 5y 0;11. y 4y 4y 0 ;12. y 4 y 4 y 0 ;

13.y 6y 8y 0, y(0) 0, y (0) 1; 14. y 7 y 10y 0, y(0) 0, y (0) 1;

15.y 16y, y(0) 0, y (0) 1

Ответы

1. y

îáù

C e3x

C

2

e x

; 2. y

îáù

C e x

C

2

e 2x;

1

1

3. y

îáù

(C C

2

x)e x; 4. y

îáù

C cos3x C

2

sin 3x;

1

1

5. y

îáù

C e2x

C

2

e 4x; y e2x e 4x;

1

÷

6. y

îáù

C e4x

C

2

; 7. y

îáù

e 3x (C cos4x C

2

sin 4x) ;

1

1

8. y

C cos4x C

sin 4x

; 9. y

C e 3x C

;

y

3

1

e 3x

îáù

2

îáù

2

1

1

÷

2

2

10. y

îáù

ex (C cos2x C

2

sin 2x) ; 11. y

îáù

(C

C

2

x)e2x

C

;

1

1

3

e

12. y

îáù

C e 2x C

2

2x ;

1

13. y

C e4x

C

e2x ;

y

1

e4x

1

e2x ;

îáù

2

1

÷

2

2

14. y

C e5x

C

e2x ;

y

1

e5x

1

e2x ;

îáù

2

1

÷

3

3

15. y

C e4x

C

e 4x

; y

1

e4x

1

e 4x

îáù

2

÷

1

8

8

3.8. Решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

y y 2y 3e 2x

y0 y *.

Неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y py qy f (x) , где p и q – постоянные, f(x) – функция, непрерывная на некотором множестве Х.

Теорема. Пусть y*=φ(x) – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения, а y0 C1y1(x) C2 y2(x) - общее решение соответст-

вующего однородного уравнения. Тогда общее решение yîáù

Для нахождения частного решения y* можно использовать специальный вид правой части уравнения.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения, используя «метод неопределенных коэффициентов» по следующим правилам:

1. Если f (x) P(x) , где P(x) – многочлен некоторой степени, то соответствующее частное решение ищется :

а) в виде y* P(x) , если нуль не является корнем характеристического уравнния;

b) в виде y* x P(x) , если нуль является корнем характеристического уравнения кратности α.

2. Если f (x) P(x)emx , то соответствующее частное решение ищется:

а) в виде y* P(x)emx , если число m не является корнем характеристического уравнения;

b) в виде y* x P(x)emx , если m является корнем характеристическо-

го уравнения кратном α.

3. Если f (x) e x (M cos x N sin x), то y* ищется:

а) в виде y* e x (Acos x Bsin x) , если числа i не являются

корнями характеристического уравнения;
b) в виде y* xe x (Acos x Bsin x) , если числа	i являются

корнями характеристического уравнения.

П р и м е р. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Общее решение будем искать в виде y y0 y * .

Найдем общее решение y0 соответствующего однородного уравнения y y 2y 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид k 2 k 2 0, его корни: k1=1, k2=-2. Следовательно y0 C1ex C2e 2x .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используем специальный вид правой части P(x)emx. В нашем примере m=-2 является корнем характеристического уравнения, значит, ищем частное решение y* в виде y* Axe 2x . Найдем (y*)', (y*)'':

( y*) Ae 2x 2Axe 2x

( y*) 2Ae 2x 2Axe 2x 4Ae 2x 4Ae 2x 4Ae 2x

Подставляем найденные (y*)', (y*)'' в исходное уравнение:

4Ae 2x 4Ae 2x Ae 2x 2Axe 2x 2Axe 2x 3e 2x

Используя метод неопределенных коэффициентов, для нахождения А, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и пра-

вой частях уравнения: 3Ae 2x 3e 2x .

Получим А=1 и частное решение y* xe 2x . Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения y C1ex C2e 2x xe 2x .

П р и м е р. Найти общее решение дифференциального уравнения y y 6x2 2x 1.

Р е ш е н и е. Общее решение будем искать в виде y y0 y * .

Найдем общее решение y0 соответствующего однородного уравнения y y 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид k 2 k 0 , корни которого k1=1, k2=0. Поэтому y0 C1ex C2 .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используем специальный вид правой части P(x). В нашем примере многочлен P(x) - второй степени, а нуль является корнем характеристического уравнения

кратности α=1. Значит ищем частное решение y* в виде y* (Ax2 Bx C)x или y* Ax3 Bx2 Cx . Найдем (y*)', (y*)'' :

( y*) 3Ax2 2Bx C; ( y*) 6Ax 2B. Подставляем в исходное

уравнение:

6Ax 2B 3Ax2 2Bx C 6x2 2x 1

Используя метод неопределенных коэффициентов, составляем систему для нахождения А,В и С, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения:

3A 6

6 A 2B 2, откуда А=-2, В=-7, С=-13.

2B C 1

	Получим частное решение y* 2x3 7x2 13x . Следовательно, об-
щее	решение	исходного	неоднородного	уравнения

yC1ex C2 2x3 7x2 13x .

Пр и м е р. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y cosx 5sin x .

Ре ш е н и е. Общее решение будем искать в виде y y0 y * .

Найдем общее решение y0 соответствующего однородного уравнения y 4y 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид k 2 4 0 , его корни: k1=2, k2=-2. Поэтому y0 C1e2x C2e 2x .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используем специальный вид правой части e x (M cos x N sin x) . В нашем при-

мере числа ±i не являются корнями характеристического уравнения, значит, ищем частное решение y* в виде y* Acosx Bsin x . Найдем (y*)', (y*)'':

( y*) Asin x Bcosx, ( y*) Acos x Bsin x.

Подставляем в исходное уравнение:

Acosx Bsin x 4Acosx 4Bsin x cosx 5sin x

Используя метод неопределенных коэффициентов, составляем систему для нахождения А и В, приравнивая коэффициенты при sinx, cosx в левой и правой частях уравнения:

5B 5		, откуда А=-0,2, В=1.
	5A 1

Получим частное решение y* 0.2cosx sin x . Следовательно, общее

решение исходного неоднородного уравнения y C1e2x C2e 2x 0.2cos x sin x

Задачи и упражнения

Найти общие решения дифференциальных уравнений, а там, где заданы начальные условия, определить частное решение.

1. y 7 y 12y x, y(0)

5

, y (0)

43

; 2. y 4y 4y e2x;

144

144

3. y

5; 4. y

5y

4y 3e

4x

, y(0) 1, y (0)

5;

y x 1, y(0) 3, y (0)

5. y 6y 9y e3x; 6. y 2y 2y 8e2x;7. y y 2y 9e2x;

8. y y 6y x2 29

;

18