Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

lim

x x0 0

lim

x x0 0

Число А R называется		пределом функции f x в точке x0 , если для
любой	последовательности	допустимых значений аргумента	xn	,
n , xn	x0 , сходящейся к x0 , соответствующая последовательность		f xn

значений функции сходится к А при n . Таким образом, по Гейне:

lim f x A xn x0 ,

lim f xn A.

x x0

n

n

Все свойства предела числовых последовательностей, в силу определе-

ния Гейне, автоматически переносятся на предел функции.

Определение предела функции в точке по Коши:

Число A R называется пределом функции

f x в точке x0 , если для

любого 0

существует такое 0, что для всех x x0 ,

удовлетворяющих

неравенству 0

x x0

, выполняется неравенство

f x A

.

Таким образом, по Коши:

f x À

lim f x A 0 0

x : 0

x x0

.

x x0

f x в точке x0 , то это записывают так:

Если À R предел функции

lim f x A или

f x A .

x x0

x x0

П р и м е р. Найти предел функции

lim

x2

9

.

x

3

x 3

Р е ш е н и е.

lim

x2

9

32

9

0

0.

x

3

3 3

6

x 3

П р и м е р. Найти предел функции

lim

x2

9

.

x

3

x 3

Р е ш е н и е.

x2

9

0

x 3 x 3

lim x 3 3 3 6.

lim

lim

x

3

x 3

x 3

0

x 3

x 3

Односторонними пределами функции в точке x0

называются такие пре-

делы, для которых последовательности значений аргумента xn стремятся к x0 , оставаясь либо слева от нее (левый предел), либо справа (правый предел), т.е. или xn x0 , или xn x0 при всех n .

Обозначаются односторонние пределы следующим образом: f x A1 – предел слева, f x A2 – предел справа.

Если существует lim f x A, то существуют и оба односторонних пре-

x x0

дела, причем A A1 A2 . Справедливо и обратное утверждение.

Если же A1

A2

, то предел lim

f x не существует.

x x0

П р и м е р. Найти односторонние пределы функции f x

1

в точке

x

x0 0.

Р е ш е н и е.

lim

1

,

x

x 0 0

lim

1

.

x

x 0 0

Рис.1

Рассмотрим случай, когда x .

Пусть функция y f x определена в интервале ; . Дадим определение предела функции f x при x :

lim f x A 0, 0, x : f x A .

x

Аналогично определяется предел функции f x при x . Нахождение предела функции на бесконечности алгоритмически совпа-

дает с нахождением предела числовой последовательности.

При вычислении пределов после непосредственной подстановки предельного значения переменной в функцию, стоящую под знаком предела,

часто в результате можно получить отношение , которое не имеет смыс-

ла. Но это не значит, что функция не имеет предела. Функцию необходимо преобразовать, а полученное отношение принято называть неопределенностью вида «бесконечность на бесконечность».

П р и м е р. Найти lim

5x2 x 1

.

x2 3

x

Р е ш е н и е.

5x2 x 1

lim

(для раскрытия неопределенности вида

числи-

2

x

x

3

тель и знаменатель дроби разделим на наибольшую степень переменной, т.е.

		5x2						x						1			5	1			1
на x2 ) lim		x2						x	2					x2		lim		x			x2				5	5.
				x		2					3								3						1
x																x	1
																				x2
				x2							x2

	П р и м е р. Найти lim					7x4 x 1		.
						x2 4
					x
	Р е ш е н и е.
	7x4 x 1
lim					( так как наибольшей степенью переменной является
x	x2 4

7x4

x

1

x4 , то разделим числитель и знаменатель на x4 ) lim

x4

x4

x4

x

2

4

x

x4

x4

7

1

1

lim

x3

x4

7

.

1

x

4

0

x2

x4

П р и м е р.

Найти lim

7x2 x 1

.

x4 4

x

Р е ш е н и е.

									7x2						x					1					7				1				1
	7x	2	x 1							4																								4			0
									x						x	4				x	4				x	2			x	3			x
						lim																	lim															0.
lim
	x4 4											x4						4												4							1
x							x																x
																										1
																														x4
												x4					x4

1.2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы

Функция f x называется бесконечно малой функцией в точке x0 , если
предел функции в этой точке равен нулю: lim f x 0.
			x x0
Функция f x называется бесконечно большой функцией в точке x0 , если
предел функции в этой точке lim f x .
	x x0
П р и м е р. Найти lim x2		16 .
x 4
Р е ш е н и е.
lim x2 16 42 16 0 .
x 4
Функция f x x2 16 есть бесконечно малая функция при x 4 .
П р и м е р. Найти lim		1	.
		25
x 5 x2

Р е ш е н и е.

lim			1					1			.
	x	2	25				2		25
x 5					5
Функция f x					1					- бесконечно большая при x 5.
					x2 25

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями при x x0 существует такая же взаимосвязь, как и между соответствующими последовательностями.

Свойства арифметических операций над функциями, имеющими пре-

дел в точке x 0 .

Пусть lim f x A и lim q x B. Тогда

x x0

x x0

1)

lim f x q x lim

f x lim q x A B ;

x x0

x x0

x x0

2)

lim

f x q x lim f x lim q x AB;

x x0

x x0

x x0

3)

lim

c f x c lim f x c A, где c const ;

x x0

x x0

f x

lim f x

A

4)

lim

x x0

, B 0.

q x

lim q x

B

x x0

x x0

В случаях, когда нельзя непосредственно применить свойство 4, гово-

рят, что имеет место неопределенность вида

0

или

. В таких случаях вы-

0

полняют элементарные преобразования над числителем и знаменателем дробно-рациональной функции.

x2 14x 32 П р и м е р. Найти lim x2 6x 8 .

x 2

Р е ш е н и е.

	x2 14x 32		0			0
lim					(чтобы раскрыть неопределенность вида		чис-
	x2 6x 8
x 2			0			0

литель и знаменатель дроби разложим на множители. Так как x 2 обращает

в нуль квадратные трехчлены, значит x 2 является корнем этих многочле-
нов) lim	x 2 x 16 (сокращение							на множитель x 2 допустимо, так
x 2	x 2 x 4
как x 2, x 2 )= lim		x 16		2 16			9.
	x 2 x 4			2 4
			3			9x9		1
П р и м е р. Вычислить lim										.
						x3		4
			x

Р е ш е н и е.

											9x9								1						1
								3																3 9
3		9x9 1																														3	9 0
											x9						x9										x9									3
lim						lim																	lim														9 .
		x3 4									x	3		4										4								1 0
x						x																	x
																								1
																										x3
											x3					x3
П р и м е р. Найти lim									4x4					x					.
								2x2 1
						x

Р е ш е н и е.

4x4

x

1

4

4x4 x

x4

x

4

x

3

4 0

2

lim

lim

lim

1.

2x2 1

2x2

1

1

x

x

x

2

2 0 2

x2

x2

x2

При вычислении пределов часто возникает неопределенность .

П р и м е р. Найти lim

x .

x2 3x

x

Р е ш е н и е.

lim

x (умножим и разделим исходное выражение

x2 3x

x

x ) = lim

x

=

x

x2 3x

x2 3x

на сопряженное, т.е. на

x2 3x

x

2

3x x

x

lim

x

x2 3x x2

x2 3x x

lim

n

3x

	3x					(делим числитель и знамена-
	x2 3x x

тель на x) lim							x							lim		3								3				3	.
			x	2				3x x								1 3			1
x														x								1		1 2
			x2					x2 x									x
																1						12
П р и м е р. Найти предел lim																										.
																2 x						x		3
														x2					8

Р е ш е н и е.

Имеем неопределенность вида . Приведем выражение в скобках к общему знаменателю.

1

12

x2 2x 8

lim

x 2 x 4

lim

= lim

x

8 x

3

8 x

3

2 x 4 2x x

2

x2 2

x2

x2

lim

x 4

6

1

.

4 2x x

2

2

x2

12

Первый замечательный предел:

lim

sin x

1 .

x 0

x

Замечание. Учитывая, что cos 0 1, имеем также, что

lim	tgx	1 или	lim	x	1.
				tgx
x 0 x			x 0

Вторым замечательным пределом будем называть предел:

1

x

1

lim

1

e или lim 1 õ x

e ,

x

x

x 0

где å 2,71828... – иррациональное число.

Рассмотрим на примерах использование замечательных пределов.

П р и м е р. Найти lim

sin 4x

.

x 0

x

Р е ш е н и е.

sin 4x

0

lim

(умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под

x 0

x

0

знаком предела, на 4 и применим первый замечательный предел) =

lim	sin 4x	4 1 4 4	, т. к. lim		sin 4x		1.
	4x					4x
x 0				x 0
П р и м е р. Найти			lim	sin 6x		.
			x 0 sin 8x

Р е ш е н и е.

sin 6x

0

sin 6x

8x

1

6

3

lim

lim

6x

,

x 0

sin 8x

0

x 0

6x

sin 8x 8x

8

4

т. к. lim

sin 6x

1, lim

4x

1.

sin 4x

x 0

6x

x 0

lim

x 0

	П р и м е р. Найти lim	sin 2 3x
		x2
	x 0
	Р е ш е н и е.

sin 2 3x		0			sin 3x 2			sin 3x	2	2		2
				lim			lim		3	1 3	3		9 .
x2
		0		x 0	x		x 0	3x
							1
П р и м е р.				Найти lim 1 3x x .
					x 0

Р е ш е н и е.

Преобразуем показатель степени для применения второго замечательного предела.

1	1 lim 1	1			1
lim 1 3x x		3x 3 x	3	e3	, т. к. lim 1 3x 3 x e .
x 0	x 0				x 0
		lim 1		2
П р и м е р. Найти				4x x .
		x 0

Р е ш е н и е.

lim 1 4x x	= 1 = lim 1 4 x x					lim 1 4 x 4 x 4 2
2					2	1
x0		x 0				x 0
	1
т. к. lim 1 4 x 4 x e .
x 0
			3x 1		3 x
П р и м е р. Найти		lim			.
			3x 1
		x

Р е ш е н и е.

3x 1 3 x

3x 1 2 3 x

2 3 x

lim

1

lim

3x 1

lim 1

x 3x 1

x

x

3x 1

2

3 x 1

2

2

3 x 1

2

3 x 1 3 x

lim

6 x

2

2

lim 1

ex 3 x 1

e

, т. к. lim 1

3x 1

3x 1

x

x

lim

6x

6

2 .

3

x 3x 1

e 8 ,

e ,

1.2.3. Правило Лопиталя

Раскрыть неопределенности

0

и

помогает правило Лопиталя:

0

f x

f

x

1.

Если

f x lim

g x ,

то

, когда

lim

lim

lim

g x

x x

0

x x

0

x

x

0

x

x

0

g x

последний предел существует.

f x

0

f

x

2.

Если

f x lim

g x 0,

то

,

когда по-

lim

lim

lim

x

x x

0

x x

0

x x

0

g

0

x x

0

g x

следний предел существует.

Таким образом, для раскрытия неопределенностей вида , 00 по пра-

вилу Лопиталя необходимо сначала найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить предел отношения производных.

Заметим, что правило Лопиталя может применяться несколько раз.

П р и м е р. Найти

lim

sin 4x

.

x 0

x

Р е ш е н и е.

sin 4x

0

4cos4x

sin 4x

lim

lim

x

lim

4

cos 0

4 1 4.

x

1

x0

0

x0

x0

П р и м е р. Найти

lim

e2 x

.

x2

x

Р е ш е н и е.

e

e

2e

e

2e

2 x

2 x

2 x

2 x

2 x

lim

lim

x2

lim

lim

x

lim

.

x

2

2õ

1

x

x

x

x

x

П р и м е р. Найти

lim

1 cos3x

.

x

2

x 0

Р е ш е н и е.

1 cos3x

0

3sin 3x

lim

1 cos3x

lim

lim

3sin 3x

lim

2

x

0

x

0

x

0

2x

x

0

x 0

x2

2x

lim

9cos3x

9

.

2

2

x 0

Рассмотрим раскрытие неопределенностей других видов.

1)

Если

f 0, g , то выражение f g (неопределенность вида

0 ) можно представить следующим образом:

f

0

g

f g

или f g

,

1

g

0

1

f

т. е. путем преобразований данную неопределенность сводим к неопреде-

				0
	ленности вида					или , для которых можно применять правило Лопиталя.
				0
	2) Если			f , g , то выражение								f g			(неопределенность вида
	) преобразуется к неопределенности вида												0	следующим образом:
													0
							1		1		1		1			0
											g			f
						f g											.
							1		1		1		1
																0
							f		g		f			g
	3).Неопределенности вида 1 ,								00 ,	0 сводятся к неопределенностям
	вида или	0		с помощью формулы					f g	eln f g		eg ln f , f				0.
		0
	Так, например, при f 1, g (неопределенность вида 1 ) получаем
	неопределенность вида 0 (т. к.							ln1 0) ,которую с помощью рассмотрен-

ных ранее преобразований можно свести к неопределенностям вида

00 .

П р и м е р. Найти lim 1 ex ctgx .

x 0

Р е ш е н и е.

или

x

1 e

1 e

0

1 e

lim 1 e

ctgx 0 lim

x

x

x

lim

lim

tgx

1

tgx

0

x

0

x

0

x

0

x

0

ctgx

lim

ex

lim ex cos2

x e0

cos2 0 1 1 1.

1

x 0

x 0

cos2 x

П р и м е р. Найти lim sin x tgx .

x 0

Р е ш е н и е.

lim sin x tgx 00	tgx	limtgx ln sin x	0
	lim eln sin x	e x 0
x 0	x 0

lim	ln sin x				lim	ln sin x
		1
e x 0		tg x			e x 0	ctgx

e0 1.

				1	cos x
				sin x
lim	ln sin x		lim		1				lim sin x cos x
		e	x 0			2		e
e x 0	ctgx			sin			x		x 0

1.3. Задачи и упражнения

1.Доказать, что число а является пределом последовательности õï .

Найти сколько элементов данной последовательности не попало в - окрестность числа а:

а)

х

2п 1

, а 2 , 10 3 ;

п

n 3

б)

х

4п 1

, а 1, 10 2 ;

п

4п 5

в)

х

6п 2

, а 2, 10 2 ;

п

3п 2

г)

х

6п 1

, а 3, 10 3;

п

2п 4

д)

х

2п 3

, а 1, 10 2.

п

2п 4

2.

Найти предел функции.

а) lim

x 2

;

б) lim

3x 6

;

в) lim

x2 x 2

;

x2 3x

2

x

3 8

x3

1

x 2

x 2

x 1

3x 2

3x 4

г) lim

2 x 3

;

д) lim

x2

;

е) lim

x2

;

x2 49

4 x2

3x2

2x 40

x 7

x 2

x 4

	ж) lim		x2 1	; з) lim	x3 x 2		; и) lim	x2 11x 18	.
		x2	3x 2		x3 x2 x 1			x3 2x 4
	x 1			x 1			x 2

3. Найти предел функции, используя первый и второй замечательные пределы.

а) lim

sin 4x

;

б) lim

x

;

в) lim

sin x

;

г) lim

x 4 2

;

x 2

2

x 1

sin 5x

x 0

x 0 sin 6x

x 0

1

x 0

3

4x 1

x

x 4

4 x 2

sin

2

x

д) lim 1 6x x ;

е) lim

; ж) lim

;

з) lim

;

sin x3

x 0

x

4x 1

x x 8

x 0

и) lim

7x

;

к) lim

cos8x cos2x

.

x 0

sin x sin 7x

x 0

cos4x cos2x

4. Найти предел функции.

1 x 1 x

1

3

21 x 5

а) lim

; б) lim

; в) lim

;

x

x

3

x3 64

x 0

x

x

1 1

1

x 4

	г) lim	3x2	2x 8	;
		5x2	13x 6
	x 2

x2 3x 2

д) lim

3 2x x 4

; е) lim

.

3x2 4x 1

5 x

x 1

x 1

x 2

5.

Найти предел функции, используя правило Лопиталя.

а) lim

lnx

;

б) lim xlnx ;

в)

lim

e2 x 1

;

г) lim

1 x3

;

д) lim x

x

;

x

sin 3x

lnx

x

x 0

x 0

x 1

x 0

е) lim tgx sinx ;

ж) lim

tg3x

;

з)

lim

cos2x

;

и) lim

1 cos4x

.

tgx

1 tgx

x 0

x

2

x

4

x 0

x sin 3x

Ответы

1.

а) 6997;

б) 98;

в) 199;

г) 5498;

д) 348.

2.

а) 1;

б)

1

;

в) 1;

г)

1

;

д)

1

;

е)

5

;

ж) 2 ;

4

56

4

22

з) ;

и)

7

.

10

1

1

1

18

2

48

3.

а) 8 2 ;

б)

;

в) 2;

г)

;

д)

å

;

е) å

;

ж) å

;

6

20

з) ;

и)

7

;

к) 5.

8

1

10

1

4.

а) 1;

б) 1;

в)

;

г)

;

д)

;

е) 3 .

480

7

4

5

5.

а) 0;

б) 0;

в)

2

;

г) 3;

д) 1;

е) 1; ж)

1

; з) 1; и)

8

.

3

3

3