Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

где cn - действительные числа.

Для всякого степенного ряда (4.9) существует интервал сходимости x0 R x x0 R с центром в точке x x0 , внутри которого ряд (4.9) схо-

дится абсолютно, а при x x0 R и при x x0	R ряд (4.9) расходится.
Неотрицательное число R называют радиусом сходимости.
Теорем Абеля. Если степенной ряд
cn xn	(4.10)

n 0

сходится в точке x0 x0 0 , то он сходится, и притом абсолютно, для всякого значения x , по абсолютной величине меньшего x0 , то есть при x x0 .

Следствие. Если ряд (4.10) расходится при x x1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x x1 .

Если ряд (4.10) сходится в одной точке x0 0, то R =0. Если ряд сходится при всех значениях x , то R =∞.

	x x0	n	интервал сходимости имеет вид x0 R, x0 R
Для ряда cn
n 0
Для ряда cn xn интервал сходимости имеет вид				R, R .
n 0
На концах интервала сходимости при x x0 R				степенной ряд (4.9)

может как сходиться, так и расходиться. Радиус сходимости определяется по формулам

	R	1				или R lim		cn		,
							cn 1
		lim n		cn
						n
		n

в зависимости от вида общего члена ряда, при условии, что предел существует.

В некоторых случаях удобно непосредственно применять признаки схо-

димости знакоположительных рядов к ряду cn x a n , составленному из

n 0

абсолютных величин ряда (4.6), считая x фиксированным.

		xn
П р и м е р. Найдите область сходимости ряда				.
n 1		n
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости R lim		cn				lim	n 1		1.
							n
n c			n 1			n

Таким образом, ряд сходится абсолютно в интервале x 1,1 . Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

	1
При x 1, получаем ряд		, который расходится как гармонический.
n 1 n
			n
			1 , который сходится условно по при-
При x 1, получаем ряд
	n 1		n
знаку Лейбница.
Следовательно, данный ряд сходится при x 1;1 .
			xn
П р и м е р. Найдите область сходимости ряда
					n!
			n 1
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости R lim					n 1 !		lim n 1 .
			n			n!	n
Значит ряд сходится при всех x , .

Основные свойства степенных рядов.

1.Сумма S x степенного ряда (4.10) является непрерывной функцией в интервале сходимости R, R .

2.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать.

3.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, распо-

ложенном внутри интервала сходимости.

Замечание. Ряды, полученные в результате применения свойств 2 и 3 , имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4.7. Ряды Тейлора и Маклорена

Для любой функции

f (x) , определенной в окрестности точки

x0 и

имеющей в ней производные до n 1 -го порядка включительно, справед-

лива формула Тейлора:

f x f x

f x0

x x

f x0

x x

2

f n x0

x x

n R

x ,

0

1!

0

2!

0

n!

0

n

f n 1 x

0

x x

n 1

где Rn x

0

x x0

-

остаточный член в форме

Ла-

n 1 !

гранжа.

Формулу Тейлора можно записать в виде

f x Pn x Rn x ,

где

P x f x

f x0

x x

f x0

x x

2

f n x0

x x

n -

0

0

0

0

n

1!

2!

n!

многочлен Тейлора.

Если функция

f (x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки

x0

и lim Rn x 0 ,

то из формулы Тейлора получается разложение функции

n

x x0 или ряд Тейлора:

f (x) по степеням

f x f x

f x0

x x

f x0

x x

2

f n x0

x x

n .

0

0

0

0

1!

2!

n 0

n!

Если x0 0, то получаем частный случай ряда Тейлора – ряд Маклоре-

на:

f

x f 0

f 0

x

f 0

x2

f n 0

xn

1!

2!

n 0 n!

Для того,

чтобы ряд Тейлора сходился к данной функции f (x) ,

абсо-

лютные величины всех производных функции

f (x) должны быть ограниче-

ны одним и тем же числом f n 1 (x) M , где M - постоянная не зависящая от n . Остаточный член Rn (x) определяется неравенством

Rn	x		M		x x	0		n 1
					n 1 !

Для разложения функции f (x) в степенной ряд необходимо: - найти производные f (x) , f (x) ,…., f n (x) ;

-вычислить значения производных в точке x0 0;

-написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости

-найти интервал R; R , в котором остаточный член стремится к нулю

при n .

Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

1. ex 1 x x

2

x

n

x

n

, x R.

2!

n!

n 0 n!

2. sin x x x

3

x

5

( 1)n 1 x

2n 1

1 n x

2n 1

,

x 1.

3!

5!

(2n 1)!

n 0

2n 1 !

3. cos x 1 x

2

x

4

x

6

1 n x

2n

x 1.

,

2!

4!

6!

n 0

2n !

4. ln 1 x x x

2

x

3

4

( 1)n 1

x

n

n 1

1 x 1.

x

1

xn ,

n

2

3

4

n

n 1

5. 1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m n 1 xn

1 2

x 1, 1 .

1 2 3 n

1 m m 1 m n 1 xn

n 1

n!

П р и м е р. Разложить а ряд Маклорена функцию f x arctg x .

Р е ш е н и е. Представим функцию арктангенса в виде интеграла с пе-

ременным верхним пределом arc tg x

x

dt

. По формуле суммы бесконеч-

t

2

0 1

но убывающей геометрической прогрессии

1

1 t 2 t 4

t 6 ,

1 x 1.

1 t 2

arctg x 1 t 2

t 4

dt x x

3

x

5

x

7

x

0

3

5

7

arctg x x x

3

x

5

1 n 1

x

2n 1

,

1 x 1

3

5

n 1

2n 1

Задачи и упражнения

1. Найти сумму ряда.

2

3n 57

2n

3n

а)

;

б)

;

в)

.

15n

6n

n 1(2n 1)(2n 3)

n 1

n 1

2. Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения.

n2 1

(n 1)n

1

1

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

n2

nn

(2n 1)3

n(n 1)

n 1

n 1

n 1

n 1

3. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:

5n

5n

2n 1

(n 1)3

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

2n

n 1 n2

n 1

n!

n 1

n 1

n!

4. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Коши.

	1
а)			;
		1)n
n 1(n

		n n
	б)		; в)
		3n 2
	n 1

	2n		n
			;
	n
		2
n 1

	3	n		n n
г)						.
				n 1
	4
n 1

5. Исследовать, сходятся абсолютно или условно или расходятся знакопеременные ряды.

			1					n
	а) ( 1)n 1					;	б) ( 1)n 1			;	в) ( 1)n 1 ln (n 1);
								2n 1
			3 n
	n 1						n 1				n 1

		1
г) ( 1)n						.
		n 1
n 1				n