Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Производная и дифференциал

2.2.

2.1.1. Определение производной. Правила дифференцирования

Приращением функции y f (x)			в точке x0 при соответствующем
приращении	x	аргумента	x	называется	разность
y(x0 ; x) f (x0	x) f (x0 ) (рис.2.1).

	f ( x0 x)			y f (x)
				y
	f (x0 )
		x
		x0	x0 x
	Рис. 2.1
	Если существует конечный предел	lim	y(x0 ; x)		, то его значение на-
			x
		x 0

зывается производной функции y f (x) в точке x0 , а сама функция называется дифференцируемой в точке x0 .

Для

производной

используются следующие обозначения:

y (x0 ) ,

dy(x0 )

df (x0 )

f (x0 ) ,

dx

,

dx

и др.

Нахождение производной

называют

дифференцированием функции.

Числа

(x0 ) lim

y(x0 ; x)

и

y(x0 ; x)

называются соот-

f

x

f (x0 ) lim

x

x 0

x 0

ветственно правой и левой производными функции y f (x)

в точке x0 . Для

существования производной функции в точке x0

необходимо и достаточно,

чтобы

ее

односторонние производные

существовали и

были

равны

f (x0 ) f

(x0 ) .

Таблица производных основных элементарных функций

1.

(x ) x 1, 0 .

2.(a x ) a x ln a, a 0, a 1.

3.(ex ) ex .

	4.	(log a x)	1	, a 0,	a 1.
			x ln a

5.(ln x) 1x .

6.(sin x) cos x .

7.(cosx) sin x.

	1
	(tgx)			.
8.		cos2 x
	1
	(ctgx)				.
9.			sin 2 x
	(arcsin x) (arccosx)									1
										x2 .
10.						1
	(arctgx) (arcctgx)					1
11.
						1 x2 .

Правила дифференцирования

Пусть y f (x) и y g(x) – некоторые дифференцируемые функции, с – постоянная величина. Тогда:

1.	(c) 0.
2.	(c f ) c f .
3.	( f g) f g .
4.	( f g) f g f g .
		f		f g f g
5.						, g 0.
				g	2
	g

	П р и м е р 2.1. Найдите по определению производные следующих эле-
ментарных функций:						1)	y x ;	2)	y sin x.
	Р е ш е н и е			1)		Так	как	f	f (x x) f (x) x x x x, то
lim	f		lim	x	1. Поэтому						1;
	x			x				y (x) x
x 0			x 0

2)

Поскольку

y sin(x x) sin x 2sin

x cos(x

x ) , то

2

2

2sin

x

x

sin

x

y

2

cos x

x

lim

2

2

lim

lim

lim cos x

1 cos x

x

x

x

x 0

x 0

x 0

x 0

2

2

cos x .

Здесь мы использовали

первый

замечательный

предел. Значит,

(sin x) cos x.

П р и м е р 2.2. Найти производные следующих функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования:

					x3					2) 5	1			x					3x3				2x 1 sin x ,													4)				ln x		.
	1)					x ,											,	3)
										2																															x
Р е ш е н и е
																																				1					7
					y x3																											y x3
1) Представим										в виде степенной функции																										x 2					x 2 и
							x
																					7					7				7		1		7		5
воспользуемся табличной производной (1)																		y x 2										x 2							x 2
																										2								2
	1		x											1				x						x		1
2) y 5					= (правило 2) = 5													= 5		1					ln					.
	2														2				2							2

3) Функция представляет собой произведение двух функций, поэтому следует

применить правило дифференцирования произведения, а затем правило дифференцирования суммы и табличные производные степенной функции и синуса:

y	(3x3	2x 1)sin x		=	(3x3 2x 1)'sin x
		u
			v

= (9x2 2)sin x (3x3 2x 1)cos

	ln		x
4)	y			= (правило 5)
		x

x.

=(ln x) x ln x(x) =

x2

(3x3 2x 1)(sin x)'

	1	x ln x 1
					1 ln x
	x			=			.
		x2				x2

Задачи и упражнения

Найти производные указанных функций, исходя из определения производной.

2.1. y 3x 2 ;	2.2. y x2 2x 3;
2.3. y sin x ;	2.4. y log	2	x ;	2.5. y x 2 .

Найти производные указанных функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных.

2.6. y x3

4x2 5x 3;

3

23 x

2.7. y 4

x

;

x2

x

2.8. y 3cos x 2sin x ;

2.9. y 6 2x 3 4x ;

2.10. y (2x 3) sin x ;

2.11. y (x2

2x 3)ex ;

2.12. y (3x 2) ln x ;

2.13. y cos x ex ;

2.14. y x arcsin x ;

2.15. y (x2

1)arctgx ;

2.16. y

2x 1

;

2.17. y

sin x

;

x

2 x 1

x2 1

2.18. y

2x 1

;

2.19. y

x ln x

.

2x 1

x2

1

2.2. Производная сложной функции

Пусть y f ( (x))

– сложная функция. Если промежуточная функция

u (x)

имеет производную в точке

x0 , а функция

y f (u) имеет произ-

водную

в точке u0 (x0 ) , то функция

y f ( (x))

имеет производную в

точке x

0

, и y (x

) f (u

0

) (x ) , или

y

y

u .

0

0

x

u

x

П р и м е р. Найти производную функции

y ex2 .

Р е ш е н и е .

Функция

y ex2

представляет собой

композицию двух

функций y eu

(внешняя функция) и u x2 (внутренняя). По правилу диф-

ференцирования

сложной

функции

получаем

y

y u (eu )' (x2 )'

x

eu 2x . Учитывая, что u x2 ,

окончательно полу-

x

u

x

u

чим y 2xex2 .

П р и м е р. Найти производную функции y sin 3 (2x 1) .

Р е ш е н и е. Пусть y u3 , где u sin(2x 1) . Тогда

y (u3 ) u 3u2

u = 3sin 2 (2x 1) (sin(2x 1)) .

Обозначим,	sin(2x 1) sin v ,					где		v 2x 1. Тогда
											sin(2x 1) =
= (sin v) v = cos v v = cos(2x 1) (2x 1) 2 cos(2x 1) .
Окончательно, y 3sin 2 (2x 1) 2 cos(2x 1) 6sin 2 (2x 1) cos(2x 1).
П р и м е р. Найти производную функции y ln( x2 3x 5) .
Р е ш е н и е.	Пусть y ln(u) , где u x2 3x 5.
y (ln u) u		1	u	(x2	3x 5)			2x 3		.
		u		x2	3x 5		x2 3x 5

Задачи и упражнения

Найти производные функций.

2.20. y sin 3x ;

2.21. y 3 (2x 3)2 ;

2.22. y ln(6x 5) ;

2.23. y arccos(3x 1) ;

2.24. y ctg(3x) ;

2.25. y ln 3 x ;

2.26. y 10sin x ;

2.27. y x e x2 ;

3

1 x

x ;

2.28. y arcsin

2.29. y ln

;

1 x

2.30. y cos3x e2x ;

2.31. y cos 10x

10 x ;

2.32. y sin 4 x cos4 x ;

2.33. y tg(cos2x) ;

2.34. y ctg x cos x ;

2.35. y ln

e2 x

.

4 e2 x

2.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции

Логарифмической производной функции				y f (x)			называется произ-
					f (x)
водная от логарифма этой функции, т.е. ln			f (x)			.
					f (x)
Функция	y f (x)	задана неявно	уравнением				F(x; y) 0 , если
F(x, f (x)) 0	для всех x	из некоторого интервала. Для вычисления произ-

водной функции заданной неявно необходимо продифференцировать по x уравнение F(x; y) 0 , считая y функцией от x , и из полученного уравнения выразить производную y .

П р и м е р. Найти производную функции y f (x)g ( x) .

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию z ln y ln f (x)g ( x) g(x) ln f (x) .

				y
	Так как z		y , имеем y y z . С другой стороны, z g(x) ln f (x) и
	z g (x) ln f (x) g(x)						f (x)	.
							f (x)
									f (x)
	Следовательно, y						f (x) g ( x) g (x) ln f (x) g(x)			.
									f (x)
	П р и м е р. Найти производную функции y xcos x .
	Р е ш е н и е. Рассмотрим z ln y cos x ln x

				1
z cos x ln x
		sin x ln x cos x				;
					x
y y z x	cos x	cos x
				sin x ln x .
		x

П р и м е р. Найти производную функции y , заданной неявно уравнени-

	ем x3 y3 2xy 0, в точке M (1; 1) .
	Р е ш е н и е. Продифференцируем равенство			x3 y3 2xy 0 по x ,
	считая y функцией от x : 3x2 3y2 y 2 y 2xy 0 .
	Выразим из этого равенства y : y 3y2 2xy 2 y 3x2 , y				2 y 3x2	.
					3y 2 2x
	Чтобы получить значение производной в точке M (1; 1) необходимо подста-
	вить в полученное выражение x 1, y 1: y (1)	2 3		1.
		3 2

		Задачи для самостоятельного решения
Найти производные функций.
2.36. y x2 1 3x ;			2.37. y sin x cos x ;
2.38. y tg2x 2x ;			2.39. y x x4 ;
2.40. y 2x x ;			2.41. y x3 ex sin 3x			x2 4 .
Найти производные функций, заданных неявно.
2.42. y2 4 y 4x2 ;			2.43. y x arctgy ;
2.44. x sin y cos y x2 ;			2.45. x3 x2 y xy 2 y3 0 ;
2.46. cos y y x ;			2.47. xy x 2 y .

Найти производные функций, заданных неявно, в указанных точках.

2.48. x2 y2	8 ,	M	2; 2 , M	2	2; 2 .	2.49. x2 y3	3 , M 2;1 .
		1

2.4. Геометрический и механический смысл производной. Производные высших порядков

Геометрический смысл производной функции y f (x) в точке x0 заключается в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x0 , f (x0 ) , т. е. f (x0 ) k tg , где – угол наклона касательной.

Тогда уравнения касательной и нормали к графику функции y f (x) в

точке x0 имеют,			соответственно,		вид:	y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) , и
y f (x0 )	1		(x x0 ) .
	f (x0 )
Если графики функций y				f (x) и y g(x)		пересекаются в точке x0 , то

угол, образуемый графиками функций в данной точке, определяется как угол между касательными в этой точке к графикам данных функций.

В механике, если обозначить s(t) – путь, пройденный телом за время t

при прямолинейном движении, производная s (t) lim		s(t0 , t)		определяет
		t
	t 0
скорость v(t0 ) тела в момент времени t0 , т. е. v(t0 ) s (t0 ) .
Производной второго порядка или второй		производной функ-
ции y f (x) называется производная от ее первой производной
				y . Обо-
значается вторая производная следующим образом:	y ,	f (x),	d 2 y		.
			dx2
Производной n-го порядка функции y f (x)	называется производная

от производной (n–1)-го порядка данной функции. Обозначается производная

	n-го порядка		следующим образом: y(n) , f (n) (x),	d n y	.	Таким	образом,
				dxn
	y(n) y(n 1) .
	При прямолинейном движении точки по закону				s s(t) вторая произ-
	водная s (t) – есть ускорение точки в момент t .
	П	р и	м е р. В каких точках касательная		к	графику	функции
	y x2	x 2	а) образует с осью Ox угол 45 ; б) параллельна оси Ox .

Р е ш е н и е. а) Если касательная образует угол 45							с осью Ox , то
k tg45	1 с одной стороны и				k y (x) 2x 1 с другой.		Следовательно,
2x 1 1,	x 0 .
б) Если касательная параллельна оси Ox , то ее угол наклона равен 0 и
k tg0 0 . Так как k y (x) 2x 1, получим 2x 1 0, x								1	.
							2
П р и м е р. Найти третью производную функции y ln(2x 3) в точке
x 0 .
Р е ш е н и е. Найдем y			2			2 (2x 3) 1 .
			2x	3
		2 ( 1) (2x 3) 2 2 22 (2x					3) 2 ;
Далее y 2 2x 3 1
		(2x 3) 3 ;
y 4 (2x 3) 2 8

y (0) 8 3 3 .

Задачи и упражнения

Написать уравнения касательной и нормали

к

графику функции

y f (x) в данной точке x0 .

2.50. y x2 5x 4 ,

x

0

1;

2.51. y ln x ,

x

0

1;

2.52. Под каким углом пересекаются кривые 2 y x2 и

2 y 8 x2 ?

В каких точках касательная к графику функции

y f (x) параллельна

указанной прямой y kx b ?

2.53. y 4x x2 1,

y 8x 1;

2.54. y 2 ln( x2 2) , y x 3.

Найти производные второго порядка от данных функций в точке x0 .

2.55.

y arctgx ,

x

0

1;

2.56.

y e x2

,

x

0

0;

2.57.

y sin 2 x ,

x

0

;

2.58.

y x2 ln x,

x

0

1.

6

Найти производные n-го порядка указанных функций в точке x0 0.

2.59. y x3 2x2

4x 6 ;

2.60. y sin x .

2.5. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Если функция

y f (x) имеет конечную производную в точке

x0 , то

приращение функции в этой точке можно представить в виде:

y(x0 , x) f (x0 ) x ( x) x ,

где ( x) 0

при x 0 . Главная,

линейная

относительно x ,

часть

приращения

f (x0 ) x называется дифференциалом функции и обозначается

dy или df (x) . Так как dx x , можем записать dy

f (x) dx .

П р и м е р. Найти дифференциал функции y cos x.

Р е ш е н и е . По определению dy d (cos x) (cos x) 'dx sin xdx.

П р и м е р. Найти дифференциал функции y sin

2

x

в точках x0 0,

2

x

0

,

x

0

.

6

2

Р е ш е н и е. Найдем дифференциал функции в произвольной точке x0 .

Найдем

f (x

) 2 sin

x0

cos

x0

1

1

sin x

.

Следовательно,

0

0

2

2

2

2

dy

1

sin x

dx .

0

2

При

x

0,

dy 0 dx 0 ,

при x

, dy

1

dx , при

x

,

0

0

0

6

4

2

dy

1

dx .

2

Из

определения

дифференциала

следует,

что

разность

y dy x x является бесконечно малой более высокого порядка, чем

x . Значит, справедливо приближенное равенство y dy . Этот факт позволяет использовать для решения многих задач приближенное равенство

f (x x) f (x) f (x) x

П р и м е р. Найти приближенное значение 1,03 .

Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию f (x) x . Мы можем точно вычислить ее значение в точке x 1: f (1) 1 1. Дадим независимой переменной приращение x 0,03 и воспользуемся формулой (3.3), учитывая,

					1
что f (x) (	x )					:
			2			x

f (1 0,03) f (1) f (1) 0,03					1
	1						0,03 1 0,015 1,015.
	2				1

Итак, 1,03 1,015 . Заметим, что вычисления с помощью калькулятора

дают результат 1,03 1,01488915...

	П р и м е р. Найти приближенно значение sin 28 .
	Р е ш е н и е. Так как sin 30							0,5			, возьмем в качестве x								0	угол 30 . То-
	гда x 28 30		2 .			Необходимо градусную меру угла перевести в ра-
	дианную.	x 2				0,034 . Вычислим dy . Рассматриваемая функция
				180
														dy cos dx
	y sin x ,	dy cos x dx .				При	x				,					3		dx . Подставляя
								0
									6					6	2
	dx x 0,034,			получим			dy				3			( 0,034) 0,029 .					Окончательно,
											2

sin 28 0,5 0,029 0,471.

Задачи и упражнения

Найти дифференциалы указанных функций.

2.61. 8		x ;		2.62. ln x ;				2.63. sin x ;
2.64. 2x ;				2.65. sin x x cos x ;				2.66. 3arcsin x 4arctgx
Найти приближенные значения функций:
2.67. y x3 3x2				2x 4 , при x 1,98 ;				2.68. y cos x , при x 63 ;
Вычислить приближенно.
							2.71. sin 88 ;
2.69.	65 ;			2.70. 3 123 ;					6.72. ln(0,98) ;
2.73. arcsin(0,55) ;				2.74. arctg (1,1) ;				2.75. (2,95)4 ;

Ответы

2.1.

y 3 x.

lim

y

3 .

2.2. y 2x x ( x)2

2 x. lim

y 2x 2 .

x 0

x

x 0

x

2.3. y sin(x x) sin x 2sin

x

x

y

cos x .

cos x

. lim

x

2

2 x 0

x

y

1

2x x ( x)2

y

2

2.4.

y log2

1

.

lim

. 2.5. y

.

lim

x

.

(x x)2 x2

x3

x

x 0

x x ln 2

x 0

2.6.

3x2 8x 5.

2.7.

2

6

4

.

2.8. 3sin x 2cos x .

x3

33

x

x5