FIZIKA_kospekt_lektsy

B, таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции B не имеют источников и являются замкнутыми.

18.2. Магнитные свойства вещества. Ферромагнетизм

Характерная особенность ферромагнетиков состоит в том, что для них зависимость J от Н (а следовательно и В от Н) определяется предысторией намагничения ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения, а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт,

уменьшение J описывается кривой 1—2, лежащей выше кривой 1—0. При Н=0 J отличается от нуля, т.е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение Joc. С наличием остаточного намагничения связано

существование постоянных магнитов.

Намагничение обращается в нуль под действием поля НC, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение.

Напряженность НC, называется коэрцитивной силой.

	J		При	дальнейшем		увеличении
			1 противоположного		поля	ферромагнетик
	Jос	2	перемагничивается		(кривая	3—4), и при
			Н= Ннас достигается насыщение (точка 4). Затем
-Ннас -Hс
	3	6	ферромагнетик	можно опять размагнитить
		Hс	Ннас
			(кривая 4—5—6) и вновь перемагнитить до
	5 -Jос		насыщения (кривая 6-1).
4			Таким образом, при действии на ферромагнетик
Рис. 18.1.			переменного магнитного поля намагниченность J

изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4—5—6—1, которая называется

петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому,

181

что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т.е.

одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

18.3. Диамагнетизм

Электрон, движущийся по орбите, подобен волчку. Поэтому ему должны быть свойственны все особенности поведения гироскопов под действием внешних сил, в частности три соответствующих условиях должна возникать прецессия электронной орбиты. Если атом находится во внешнем магнитном поле B, на орбиту действует вращательный момент M pm B , стремящийся

установить орбитальный магнитный момент электрона pm по направлению

	поля (при этом механический момент		L устанавливается против поля). Под
	действием момента M векторы L		и pm	совершают процессию вокруг
	направления вектора магнитной индукции B, скорость которой легко найти.
	B		Итак,	под	действием	внешнего
		магнитного		поля	происходит	прецессия
	pm	электронных орбит с одинаковой для всех
		электронов		угловой		скоростью.

М Обусловленное прецессией дополнительное

		движение	электронов	приводит	к
r		возникновению		индуцированного
		магнитного момента атома, направленного
	L	против поля.
	d	Диамагнетизм обнаруживают лишь те
		dL
		вещества, у которых атомы не обладают
Рис. 18.2.		магнитным	моментом	(векторная сумма

орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов атома равна нулю).

Диамагнетики: (Bi, Ag, Au, Cu, смолы углерода).

182

18.4. Парамагнетизм

Если магнитный момент pm атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Внешнее магнитное поле стремится установить магнитные моменты атомов вдоль B, тепловое движение стремится разобрать их равномерно по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая равновесная преимущественная ориентация моментов вдоль поля тем большая,

чем больше B, и тем меньшая, чем выше температура.

Кюри экспериментально установил закон, согласно которому парамагнитная килограмм – атомная восприимчивость вещества равна

æкат C ,

T

где С – постоянная Кюри, зависящая от рода вещества, Т – абсолютная температура.

æ I ,

H

где I - вектор интенсивности намагничивания.

Он равен пределу отношения магнитного момента некоторого объема

вещества к этому объему, когда последний стремится к нулю:

	1	n
I lim			p	,
				mi
V 0 V i 1

где n - число частиц, содержащихся в объеме V вещества, а pmi - магнитный момент i-ой частицы.

Парамагнетики: Pt, Al.

183

Колебания и волны

ГЛАВА 19. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

19.1.Гармонические колебания и их характеристики

Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания различают механические и электромагнитные. Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками, процессами и уравнениями.

Системы, в которых можно наблюдать периодическое движение называются колебательными. Периодическое движение, один раз возникнув,

может продолжаться без постороннего действия внешних периодических сил.

Колебания, происходящие в системе, на которую не действуют внешние силы,

называются свободными.

Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе обычно не представляют особенного интереса для техники, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль косвенно чрезвычайно важна.

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного определения положения колеблющейся системы в таком пpостpанстве достаточно задать всего одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор какой-то другой величины. Такая величина, однозначно

184

хаpактеpизующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.

Простейшим типом колебания являются гармонические колебания, где

зависимость координаты х от времени задается уравнением
x A cos( 0t 0 ) ,	(19.1)

где А – амплитуда - максимальное значение колеблющейся величины,

0 - циклическая частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения, и в частности, от энергии,

0 - начальная фаза колебаний при t=0,

φ = ( 0t + 0)- фаза колебаний в момент времени t.

Фаза показывает, состояние колеблющейся системы в данный момент времени.

Определенные состояния системы повторяются через промежуток времени

называемый периодом колебания Т, время за которое фаза колебаний получает приращение равное 2

0 (t T) 0 ( 0t 0 ) 2 ,

(19.2)

T 2 .

0

Таким образом, период колебаний Т – это наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. К примеру, если система совершает n

колебаний за время t , то период Т определяется, как T t . Период колебаний в n

системе СИ измеряется в секундах [T]= c.

Величина обратная периоду колебаний называется частотой, т.е. число колебаний в единицу времени. В системе СИ единица измерения частоты – Герц [ν]=[Гц]

	1		n	.	(19.3)
	T
			t

При подстановке (19.2) в (19.3) получим связь циклической частоты с частотой,

а также и с периодом

	2	2	.	(19.4)
0		T
				185

19.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания,

которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

	2	x 0.	(19.5)
x

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение

(19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются

пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник - Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k .Модель пружинного маятника показана на рис.19.1.

Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна F kx.

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рис. 19.1

186

В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать mx kx.. Делим на m, получим:

	k
		x 0.	(19.6)
x

m

Учтем, что 02 k , получим уравнение (19.5) m

Период колебаний пружинного маятника определяется как

T	2	2	m	.	(19.7)

0 k

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:

x	x	kx	2
Wn F dx kxdx				.	(19.8)
		2
0	0

Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.

Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести mg

уравновешена силой натяжения нити T , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α то равнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.

		T mg.	(19.9)
	F

Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем

проекцию равнодействующей силы на ось х
Fx Tx T sin .	(19.10)

При малых значениях ( ~4о) пренебрегаем движением вдоль оси y

T cos mg,

(19.11)

T mg.

187

Рис.19.2.

Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна

Fx mgsin ,

учтем, что sin x , получим l

ma mg x, l

a g x. l

Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме

	g
		x 0.	(19.12)
x

l

Подставим значение 2 g . Получим уравнение (19.5). Отсюда период l

математического маятника равен

T	2	2	l	,	(19.13)
			g

где l – длина математического маятника.

Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).

188

При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент M ,

который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:

		(19.14)
M J	J F l mglsin mgl ,

где J – момент инерции,

ε – угловое ускорение,

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14)

можно записать в виде: J mgl 0 или mgl 0.

						J
			mgl
Принимая во внимание 0	2			или 0				mgl	.
			J
								J

Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:

T 2	J	2	L	,	(19.15)
	mgl
			g

где L J - приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, ml

приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен

189

T 2	J	0	ml2
				,	(19.16)
			mgl
где J0 – момент инерции центра масс.
На практике значения низших собственных частот систем					могут быть

весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах,

может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у

проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой - около 1/8Гц. Провода диаметром

43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам,

расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода,

минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).

Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии - ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.

18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний

Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:

190