FIZIKA_kospekt_lektsy

поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

Подставив в формулу (14.12) выражение для P , получим:
	D 0E 0E 0 (1 )E.								(14.14)
Безразмерную величину	1								(14.15)
называют относительной диэлектрической проницаемостью.
Следовательно, соотношение		(14.14)				можно записать в виде			D 0E .
Электрическое смещение поля точечного заряда в вакууме равно:
			1		q		r	.
	D
			4		r2		r

14.4. Поле внутри плоской пластины

Рассмотрим поле, создаваемое в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Обозначим напряженность поля E0 , а

электрическое смещение D0 0E0 . Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности . Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженностью E 0 .

+ - + -

+							-
+							-
+							-
+							-
					Е0
			Рис. 14.4.

151

Вне диэлектрика в данном случае E 0. Напряженность поля E0 0 .

Оба поля направлены навстречу друг к другу, следовательно, внутри диэлектрика

E

E0 E

E0

1

( ).

0

0

Так как P 0E , то получим

P

pi

qi li

l qi

,

E E0 E , откуда

V

S l

S l

E

E0

E0

, умножив на

0 , получаем электрическое смещение внутри

1

пластины:

D 0E 0E0 .

Таким образом, внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на 0 , т.е. совпадает с электрическим смещением внешнего поля D0 .

14.5. Электроемкость

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так,

чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Увеличение заряда приводит к увеличению напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Следовательно, возрастет потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника:

q C . (14.16)

Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроемкостью проводника. Из (14.16) следует, что:

C	q	.	(14.17)

Электроемкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

152

Вычислим потенциал заряженного шара радиуса R. Между разностью потенциалов и напряженностью поля существует соотношение:

2

1 2 El dl .

1

Поэтому потенциал шара можно найти, проинтегрировав выражение для напряженности вне сферы

	E	1		q	,
		4 0		r2

по r от R до (потенциал на бесконечности полагаем равным нулю).

	1			q		1		q	.	(14.18)
					dr
	4			2		4 0
		0 R		r				R

Сравнивая (14.18) с (14.17), находим, что емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с относительной проницаемостью , равна:

C 4 0 R .

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1К. Эта единица

емкости называется фарадой (Ф). 1 Ф = 1Кл .

1В

14.6. Конденсаторы

При поднесении к заряженному проводнику какого-либо тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине, вследствие возникновения индуцированных (на проводнике) или связанных (на диэлектрике) зарядов.

Согласно формуле (14.17) для емкости это означает увеличение емкости проводника. Это явление положено в основу устройств, называемых конденсаторами. Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками равна:

E q .

0

0S

153

1 2 E d

Разность потенциалов между обкладками равна:

qd , откуда для емкости плоского конденсатора получаем:

0S

C 0S , d

где d – величина зазора между обкладками.

14.7. Энергия системы зарядов

Пусть имеются заряды q1 и q2, находящиеся на расстоянии r12. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют.

Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сближение зарядов можно произвести приближая q1 к q2, либо наоборот. В обоих случаях совершается одинаковая работа. Работа переноса заряда q1 из бесконечности в точку,

удаленную от q2 на r12, равна:

A q			q	1			q2	,	(14.19)
							r
1		1	1 4		0
						12

где 1 - потенциал, создаваемый зарядом q2 в той точке, в которую перемещается заряд q1. Аналогично работа переноса заряда q2 из бесконечности в точку, удаленную от q1 на r12, равна:

A q				q		1			q1	,	(14.20)
	2		2		2 4
							0		r
								12

где 2 - потенциал, создаваемый зарядом q1 в той точке, в которую перемещается заряд q2. Значения работ (14.19) и (14.20) одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы:

W q1 1 q2 2 .

Для того чтобы в выражении энергии системы оба заряда входили симметрично, напишем его следующим образом:

W	1	(q	q				).	(14.21)
2		1	1	2		2

В случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:

154

W	1	qi i ,	(14.22)
2

где i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится qi, всеми зарядами,

кроме i-го.

14.8. Энергия заряженного конденсатора

Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов +q и –q

можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимаются порции заряда q и перемещаются на другую обкладку. Работа переноса очередной порции равна:

A q( 1 2 ) q U ,

где U – напряжение на конденсаторе. Заменяя U через отношение заряда к емкости и переходя к дифференциалам, получим:

dW dA Udq q dq. C

Интегрируя, получим:

W q2 q U CU 2 .

2C 2 2

14.9. Энергия электрического поля

Энергию конденсатора можно выразить через величины,

характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подставим в выражение для энергии конденсатора выражения для емкости плоского конденсатора, тогда:

	CU 2			SU 2			0	U			2
W			0								Sd .	(14.23)
	2		2d
					2			d

Так как U E , а S·d=V – объем, занимаемый полем, то можно написать: d

W	0E2	V .	(14.24)
2

155

Формула (14.23) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (14.24) – с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т.е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии – заряды или поле? В пределах электростатики, изучающей постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. Следовательно, носителем энергии является поле.

Если поле однородно, заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w равной энергии поля, деленной на заполняемый полем объем. Следовательно, плотность энергии поля плоского конденсатора:

w 0E2 .

2

Этой формуле можно придать вид:

w ED ,

2

заменив D (14.14), получим плотность энергии в диэлектрике:

w	E(	0E P)			E 2	EP
				0		.
		2
					2	2

Первое слагаемое совпадает с плотностью энергии поля E в вакууме.

Второе – представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

156

ГЛАВА 15. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

15.1. Сила и плотность тока Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное)

движение электрических зарядов q. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются:

положительные — по полю, отрицательные — против поля, т.е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости.

За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Носителями электричества в проводниках– металлах являются электроны, в полупроводниках – электроны «дырки», в

жидких электронах ионы, в газах ионы и электроны.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I —

скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом,

проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

I dq . dt

Ток, сила и направление которого не изменяется со временем, называется

постоянным. Для постоянного тока сила тока I есть величина постоянная,

поэтому

I q/t.

Единица силы тока — ампер (А). Физическая величина, определяемая величиной тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью

тока:
j	dI	,	а для постоянного тока	j	I	.
	dS				S

Выразим силу и плотность тока через скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике металле. Если концентрация носителей тока

157

равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е, то за время dt через
поперечное сечение S проводника переносится заряд dq ne х Sdt. Сила тока
			I dq ne S ,
			dt
а плотность тока
			j ne .
Плотность тока — вектор, ориентированный по направлению тока, т.е.
направление вектора		j совпадает с направлением упорядоченного движения
положительных зарядов. Единица плотности тока - (А/м2).
Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток
вектора j , т.е.
			I jdS ,
			S
где dS = n dS (n — единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с
вектором	j угол ).
15.2. Сторонние силы. ЭДС.
Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его
поддержания, то перемещение носителей заряда очень быстро приведет к
исчезновению поля и прекращению тока. Для поддержания тока нужно от
конца проводника с меньшим потенциалом (носители заряда предполагаются
положительными) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к
концу с большим потенциалом непрерывно их подводить.
1		2	То	есть		нужно	осуществить
			круговорот	зарядов, при котором они
+	+	+
			двигались	бы		по замкнутому пути.
+	+	+	Циркуляция		вектора		напряжением
			электростатического поля равна нулю

Рис. 15.1.

158

Eedl 0.

Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания , должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания , т.е. против сил электростатического поля (см. рис. 15.1). Перемещение носителей на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами.

Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы,

действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках.

Они могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда в неоднородной среде или через границу двух разнородных веществ,

электрическими полями, порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями.

Величина, равная работе сторонних сил, затраченной на перемещение единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС)

, действующей в цепи или на ее участке

= A . q

Из сопоставления этой формулы с формулой, определяющей потенциал:

A , следует, что размерность ЭДС совпадает с размерностью потенциала. q

Стороннюю силу Fст , действующую на заряд q, можно представить в

виде

Fст q E*.

Векторную величину E* называют напряженностью поля сторонних сил. Работу сторонних сил над зарядом q на всем протяжении замкнутой цепи можно выразить следующим образом:

A Fст.ldl qEl*dl .

159

Разделив эту работу на q, получим ЭДС действующую в цепи: = El*dl .

Таким образом, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил.

2

ЭДС, действующая на участке 1-2, очевидно, равна 12 = El*dl .

1

Кроме сторонних сил на заряд действуют силы электростатического поля

FE qE.

Результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q,

равна

F Fcm FE q E* E .

Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2,

дается выражением

2 2

A12 q El*dl q El dl q 12q 1 2 .

1 1

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда,

называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи

U12 1 2 12.

При отсутствии сторонних сил напряжение U совпадает с разностью потенциалов 1 2 .

15.3. Закон Ома

Немецкий физик Г. Ом (1787—1854) экспериментально установил в

1826г., что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику

(т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

I U /R,

160