FIZIKA_kospekt_lektsy

т. е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние

2, то, согласно (12.4), изменение энтропии

	2	Q	2	dU A
	S1→2=S2 – S1=				.	(12.8)
		T
	1		1	T

где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются через величины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (12.8) определяет энтропию, лишь с точностью до аддитивной постоянной. Физический

смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Исходя из выражения (12.8), найдем изменение энтропии в процессах

идеального газа. Так как dU=ν CVdT,

δΑ=pdV=ν RT

dV

, то

V

T2

dT

V2

dV

T2

V2

S1→2=S2 – S1= ν CV

+ ν R

= ν

CV

ln

Rln

,

T

V

T

V

T

V

1

1

1

1

(12.9)

т. е. изменение энтропии S1→2 идеального газа при переходе его из состояния

1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1→2.

Так как для адиабатического процесса δQ= 0, то S=0 и, следовательно,

S=const, т. е. адиабатический обратимый процесс протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из формулы (12.9) следует, что при изотермическом процессе (T1= Т2)

S= ν RlnV2 ,

V1

при изохорном процессе (V1=V2)

S= νСV lnT2 .

T1

Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают

121

также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойством не обладают).

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике:

энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы.

Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, W> 1, т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле (последняя всегда< 1!)).

Согласно Больцману, энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

S = k lnW, (12.12)

где: k – постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы.

Формула Больцмана (12.12) позволяет дать энтропии следующее

статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия – наиболее вероятного состояния системы — число микросостояний максимально, при этом макcимальна и энтропия.

Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии – принцип возрастания энтропии. При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероятным, до тех пор пока вероятность состояния не станет максимальной.

Сопоставляя выражения (12.7) и (12.9), видим, что энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы могут либо

122

возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в

случае обратимых процессов).

Отметим, однако, что эти утверждения, имеют место для систем,

состоящих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться, в системах с малым числом частиц. Для «малых» систем могут наблюдаться флуктуации, т.

е. энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут убывать, а не возрастать, или оставаться постоянными.

12.3.Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Появление второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны,

а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса, второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс

в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом

возрастает.

Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе,

энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах,

так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом

(убывать, возрастать, оставаться постоянной).

Формула Больцмана (12.12) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из

менее вероятных в более вероятные состояния. Таким образом, формула

123

Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1)по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2)по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений о поведении термодинамических систем при нуле Кельвина. Они дополняются

третьим началом термодинамики, или теоремой Нернста — Планка:

энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина:

S → 0 при Т→0. (12.13)

Из теоремы Нернста — Планка следует, что теплоемкости Ср и СV

при 0 К равны нулю.

12.4.Тепловые двигателиихолодильныемашины.

Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует,

что вечный двигатель второго вода – периодически действующий двигатель,

совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, –

невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя.

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.12.2.

Рис.12.2. Рис.12.3.

124

От термостата с более высокой температурой T1 называемого

нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q1, а термостату с более низкой температурой T2, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q2, при этом совершается работа

А=Q1–Q2.

Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя (12.2) был η=1, необходимо выполнение условия Q2=0, т. е.

тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно.

Так, французский физик и инженер Карно показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различными температурами, иначе это противоречит второму началу термодинамики.

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе,

используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис.12.3. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т2

отнимается количество теплоты Q2 и отдается термостату с более высокой температурой Т1 количество теплоты Q1. Для кругового процесса Q=A, но,

по условию, Q=Q2=Q1<0, поэтому А<0 и Q2-Q1= -А, или Q1=Q2+A, т. е.

количество теплоты Q1, отданное системой источнику теплоты при более ысокой температуре T1 больше количества теплоты Q2, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т2, на величину работы,

совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т1) и холодильников (Т2) наибольшим к. п. д.

обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин,

работающих при одинаковых температурах нагревателей (Т1) и холодильников

125

(Т2), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела,

совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.

Цикл Карно – наиболее экономичный цикл,

состоящий из двух изотерм и двух адиабат.

Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный

газ,заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис.12.4, где изотермические расширение и сжатие заданы

Рис.12.4.	соответственно кривыми 1–2 и 3–4, а
адиабатические расширение и сжатие – кривыми 2–3 и 4–1.

При изотермическом процессе U= const, поэтому количество теплоты Q1

полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А12, совершаемой

	газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:
	A12 =νRT1	ln	V2	=Q1.	(12.13)
			V
		1

При адиабатическом расширении 2—3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения A23 совершается за счет изменения внутренней энергии

A23 =–νCV(T2-T1).

Количество теплоты Q2, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия A34:

	A34=νRT2	ln	V4	=–Q2.	(12.14)
			V
		3

Работа адиабатического сжатия

A41 =–νCV(T1–T2)=–A23.

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

A=A12+ A23+ A34+ A41=Q1+ A23– Q2– A23= Q1– Q2

определяется площадью, заштрихованной на рис.12.4.

Термический к. п. д. (12.2) для цикла Карно равен:

η = A/Q1 = (Q1–Q2)/Q1.

126

Применив уравнение Пуассона (11.28) для адиабат 2–3 и 4–1, получим

T1V 1		= T2V 1,				T1V1 1 T2V4 1.
2			3
Откуда
			V2/V1 = V3/V4.													(12.15)
Подставляя (12.13) и (12.14) в формулу (12.2) и учитывая (12.15),
получаем
	Q Q		RT ln			V2	RT ln			V3				T T
			1			V		2		V	4
η=		1 2			1									1 2	,	(12.16)
		Q						V2
					RT1 ln									T
		1												1
								V
								1

т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при Т1=400 К

и Т2=300 К η=0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а

температуру холодильника понизить на 50 К, то η=0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В

отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а

часть – получается за счет механической работы, производимой, например,

компрессором.

Теорема Карно послужила основанием для установления

термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (12.16), получим

Τ2/T1=Q2/Q1,

(12.17)

т. е. для сравнения температур T1 и T2 двух тел необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, а другое – холодильника. Из равенства (12.17) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному.

127

Электричество и магнетизм

ГЛАВА 13. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

13.1. Атомистичность заряда. Закон сохранения заряда

Имеется два вида электрических зарядов, условно называемых

«положительными» и «отрицательными». Заряды одного знака отталкиваются,

разных знаков – притягиваются.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых так называемых элементарных частиц. Заряд всех заряженных элементарных частиц одинаков по абсолютной величине. Его можно назвать элементарным зарядом. Обозначать его будем буквой е.

К числу элементарных частиц принадлежат – электрон (отрицательно заряжен), протон (положительно заряжен) и нейтрон (не заряжен).

Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела равна нулю,

и каждый такой объем будет нейтральным.

Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратким е:

q Ne.

Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают одновременно два элементарных заряда противоположных знаков. Поэтому суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название

закона сохранения электрического заряда.

Электрический заряд измеряется в системе СИ в Кулонах (Кл).

128

13.2. Закон Кулона

В 1785 г. Кулон экспериментально, с помощью крутильных весов

установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов

пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно

пропорциональна квадрату расстояния между ними

	F k	q1 q2	,	(13.1)
		r2

где k = 9 109 Нм2/Кл2,

или в векторном виде

F k	q1 q2		r	.	(13.2)
	r2
			r

В этом выражении под r следует подразумевать вектор, проведенный от одного заряда к другому и имеющий направление к тому из зарядов, к

которому приложена сила F .

			q1	r	q2		F
					Рис. 13.1
В системе СИ k		1	. Тогда закон Кулона примет вид
		4 0
				F	1		q1 q2	.	(13.3)
					4 0		r2
Здесь 0 =	8,85 10-12			Кл2/Нм2			– абсолютная		диэлектрическая

проницаемость вакуума.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Поле проявляет себя в том, что на помещенный в какую-либо его точку электрический заряд действует сила. По величине силы можно судить об «интенсивности» поля.

129

Силу, действующую на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, называют напряженностью электрического поля в этой точке

E	F	.	(13.4)
	q

Из закона Кулона следует, что
E	1		q		r	.	(13.5)
	4 0		2
			r		r

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой же точке, в которой на заряд, равный единице действует

единичная сила (в СИ 1к – заряд, 1н – сила). E B.

м

Опыт показывает, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с

которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности. Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

E E1 E2 ... Ei

(13.6)

это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения)

электрических полей.

13.3. Поток вектора напряженности

Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора E . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности (линий E ), которые проводятся так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора E .

Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки, было равно

130