FIZIKA_kospekt_lektsy

постановкой так называемых “акустических” не отражающих границ

(распределенных демпферов).

Существует много способов искусственного введения трения в систему.

Это может быть осуществлено, например, электрическим способом, однако возможны и чисто механические методы демпфирования. Вот некоторые из них:

1.Вязкое трение в жидкости. Простым примером является гидравлический демпфер, который состоит из поршня, перемещающегося в цилиндре; трение возникает при перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой цилиндра. В некоторых других устройствах используются лопасти, движущиеся в масле или силиконовой жидкости.

2.Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии. При ударе по "колоколу",

изготовленному из специального сплава меди и марганца, вместо звона слышится глухой стук. В амортизирующих опорах часто используют резину;

это отчасти связано с ее высокими демпфирующими характеристиками.

Лопатки компрессоров газовых турбин иногда изготавливают из волокнистых полимерных материалов, обладающих значительным внутренним трением.

3.Демпфирующие покрытия панелей. Существуют такие вещества, что если нанести их на поверхность металлической панели, то при ударе по панели вместо характерного для металлов звука слышен глухой стук.

4.Сухое трение, возникающее при взаимном скольжении поверхностей в процессе вибрации. Этот способ используется, например, в некоторых компрессорах газовых турбин, где осуществлено шарнирное крепление лопаток к ротору. Кроме того, в некоторые пружины с целью демпфирования вставляются пучки металлической проволока.

201

5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из тонких металлических листов,

разделенных тонким слоем вязкоупругого материала, обладают хорошими звукоизолирующими свойствами.

6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Яйцо или электрическую лампочку, тщательно упакованные в подходящий материал, можно без всякого риска бросать с большой высоты на твердый пол.

20.2. Вынужденные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы с циклической частотой ω

F F0 cos( t).

(20.13)

В данном случае с учетом силы (20.13) уравнение движения (20.2) будет иметь вид:

		cos t .	(20.14)
mx	kx rx F0

После деления на m и преобразования (20.3) получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

x 2 x 02 x	F0	cos t,	(20.15)
	m

где ω – частоты вынуждающей силы.

Решение такого неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение записывается в виде:

x A e t cos( t ),			(20.16)
0	1	1

где 1 02 2 .

Частное решение имеет вид:

x Acos( t ) ,

(20.17)

где А- амплитуда вынужденных колебаний.

202

Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и сдвига фазы φ в

уравнение (20.15) подставим значения первой и второй производной уравнения

(20.17). Для начала продифференцируем:

x A sin( t ) A cos( t ),

2 (20.18)

x A 2 cos t A 2 cos( t ).

Подставляя (20.18) в (20.16) и после некоторых математических преобразований, и применяя метод векторных диаграмм, получим значение амплитуды вынужденного колебания А и сдвига фазы φ:

				F0
	A			m				,		(20.19)
			( 02 2 )2 4 2 2
	tg			2 A		2			.	(20.20)
				A( 02 2 )		02 2

Из уравнения (20.19) видно, что амплитуда вынужденных колебания зависит от амплитуды вынуждающей силы. Подставим значения А и φ из уравнений

(20.19) и (20.20) в уравнение (20.17) и запишем частное решение неоднородного уравнения для вынужденных электромагнитных колебаний:

			F0
	x		m		cos( t ). (20.21)
			( 02 2 )2 4 2 2

График вынужденных колебаний представлен на рис.20.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20.15) состоит из двух слагаемых. Слагаемое общего решения (20.16) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. В

дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь т.к. оно содержит член е- t . Т.о.

вынужденные колебания описываются функцией гармонических колебаний

(20.21) с частотой равной частоте ω вынуждающей силы F. Для данной колебательной системы с известной частотой и коэффициентом затухания амплитуда вынужденных колебаний (20.19) зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.

203

Рис.20.2.

Одним из видов вынужденных колебаний являются вибрации, которые сопровождают нас повсюду и в большинстве случаев эти вибрации являются нежелательными. В первую очередь можно назвать вибрации и колебания авто и железнодорожного транспорта, моторов и станков, нефтяных и газовых платформ, зданий и сооружений в зоне повышенной сейсмической опасности.

Во всех случаях стоит задача изоляции от источника вибраций. Несмотря на все конструкционные различия суть системы вибраций одинакова. Пассивная система состоит из пружины и демпфера. Пружина призвана смягчить вибрации и толчки, а демпфер погасить возникшие в системе колебания.

Активная система использует также дополнительную пару, состоящую из акселерометра и электромагнитного привода, что позволяет достигнуть исключительную высокую степень виброизоляции.

20.3.Резонанс вынужденных колебаний

Амплитуда вынужденных колебаний А зависит от частоты ω вынужденных

колебаний. При совпадении собственной частоты колебаний с вынужденной

частотой 0 амплитуда достигает своего максимального значения. В

результате наступает резонанс – явление резкого возрастания значения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте.

Для определения резонансной частоты рез продифференцируем выражение (20.21) по и приравняв к нулю получим условие определения рез

204

4( 02 2 ) 8 2 0

(20.22)

уравнение (20.22) имеет физический смысл лишь при значении резонансной частоты:

рез		02 2 2 .					(20.23)
Подставляя (20.23) в (20.19) получим выражение для амплитуды резонанса
Aрез			xo			.	(20.24)
		2	02
				2 2

На рис. 20.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях δ.

Рис.20.3. Резонансные кривые.

При частоте 0 - Арез к бесконечности.

Кривые соответствующие различным параметрам называются

резонансными. Из формулы (20.24) вытекает, что при малых затуханиях ( 2 <<

2) резонансная амплитуда равна:

Arez	x0		0		x0	Q	x0	.	(20.25)
	2 0		2		02		02

Добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы, чем больше добротность, тем больше резонансная частота.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными.

Например, при конструировании машин и различного рода сооружений и зданий необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызывать серьезные разрушения. Великий тенор

205

Энрико Карузо мог заставить бокал разлететься вдребезги, спев в полный голос ноту надлежащей высоты.

Железнодорожный мост разрушился из-за того, что выбоина в колесе проходящего поезда возбудила резонансные явления в конструкции моста.

Причиной знаменитой катастрофы Тамского моста в 1940г (США) были резонансные явления, возникшие при большом ветре.

В университете штата Нью-Йорк, предложен новый амортизатор,

предназначенный для использования, прежде всего, в строительстве зданий и мостов. Он способен поглощать и превращать в тепло да 98% энергии удара.

Подобные устройства могли бы помочь ученым и инженерам в разработке новых способов использования всевозможных природных ударов. Долгое время для поглощения энергии ударов использовались зернистые веществ, в том числе песок и почва. Предлагается вместо однородных по размерам частиц,

использовать цепочку неоднородных по убыванию размеров упругих частиц. В

результате мощного начального удара, самая мелкая частица получает лишь растянутых по времени ряд слабых толчков. Амплитуда их не превышает 10%

от амплитуды начального импульса. Эта простейшая система показывает, что теоретически любой удар можно амортизировать с соответствующей комбинацией равномерно сужающихся цепочек, и использовать в мирных целях энергию нежелательных механических вибраций и даже землетрясений.

Для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль. Иногда инженерам приходится бороться с трением в конструкциях. Например, в некоторых приборах применяются упругие шарниры, в которых желательно добиться, возможно, меньшего рассеяния энергии Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной системе.

Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.

206

ГЛАВА 21. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

21.1 Свободные электромагнитные колебания

Среди различных колебательных процессов особое место занимают электромагнитные колебания. При электромагнитных колебаниях электрические величины периодически изменяются, и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре.

Колебательные контур состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, активного сопротивления R и катушки индуктивности L.(Рис.21.1)

Рис.21.1

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало

(R~0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t = 0 между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле,

энергия которого	1	q2 . Если замкнуть конденсатор на катушку
	2C

индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться,

а энергия магнитного поля катушки (она равна 1 Lq2 ) - возрастать. Так как

2

(R~0).Согласно

закону

сохранения

энергии,

полная

энергия

1

2

1

2

W

q

L q

const, так как она на нагревание не расходуется.

2 C

2

207

Поэтому в момент t 1T , когда конденсатор полностью разрядится,

4

энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля

(следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора.

Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле,

стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки–зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е.

периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора,

напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания,

причем колебания сопровождаются последовательными превращениями энергии электрического поля в магнитное и наоборот. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.

Согласно закону Ома для контура, содержащего катушку индуктивности L , конденсатор емкостью С, и резистор сопротивлением R

					IR Uc ,		(21.1)
	где – IR-напряжение			на	резисторе, U c	q	- напряжение на
						C
	конденсаторе, L	dI	-	э.д.с.	самоиндукции, возникающая в катушке при
		dt

протекании в ней электрического тока. (Единственная э.д.с. в контуре).

При замене ε уравнение (21.1) преобразуется

208

L	dI	IR		q	0.				(21.2)
	dt			C
						dq			dI
Разделив (21.2) на L, и учтем,			что I							, получим
							q	и q
						dt			dt

дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре:

	R		1	q 0.	(21.3)
q		q

LLC

Вданном колебательном контуре внешняя э.д.с отсутствует, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. При условии, когда R=0. Колебания в контуре свободные и являются гармоническими. Тогда из (21.3) получим дифференциальное уравнение,

свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

			1		2
					0 q 0,	(21.4)
	q			q q
			LC

где – 02 1 .

LC

Решение такого дифференциального уравнения представлено в виде

		q qmax cos( t ),	(21.5)
qmax –амплитуда колебаний электрического заряда на			конденсаторе с

циклической частотой, 0		1	называемой собственной частотой контура.
		LC

Период свободных электромагнитных колебаний определяется формулой Томсона

				T 2 LC .		(21.6)
Сила тока в колебательном контуре
					2),	(21.7)
I q 0qmax sin( 0t 0) Imax cos( 0t o
гдеImax 0q- амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
Uc	q		qmax	cos( 0t 0) Umax cos( 0t 0),		(21.8)
	C
			C
						209

где Umax		qmax	- амплитуда напряжения.
		C

Из выражений (21.7) и (21.8) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на 2, т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение) обращается в нуль и наоборот.

21.2.Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

При наличии в колебательном контуре активного сопротивления R

дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в колебательном контуре описывается уравнением (21.3)

Введем коэффициент затухания

		R	.	(21.9)
		2 L
Уравнение (21.3) можно переписать в виде

		2	(21.10)
q	2 q 0 q 0.
Решением данного уравнения является выражение
q qmax e t cos( t ),			(21.11)

частота ω затухающих колебаний в колебательном контуре, как видно, зависит от параметров контура и описывается уравнением:

		1	R2
						(21.12)
				2
		LC			.
			4L

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (20.11), а

добротность электрического контура также определяется его параметрами

Q	1		L	.	(21.13)
	R
			C
При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний
растет и при 0 превращается в бесконечность,					т.е. движение перестает

быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина стремится к нолю. Такой процесс называется апериодическим. В технике это называется демпфированием.

210