FIZIKA_kospekt_lektsy

A12 q0 12 q 1 2 .

где R — электрическое сопротивление проводника. Это уравнение выражает

закон Ома для участка цепи (не содержащего источника э.д.с.): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно

пропорциональна сопротивлению проводника. Эта		формула позволяет
установить	единицу сопротивления — ом (Ом):	1 Ом—сопротивление

такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.

Величина G 1/R называется электрической проводимостью

проводника. Единица проводимости — сименс (См): 1 См—проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом. Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S :

R l ,

S

где — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением.

Единица удельного электрического сопротивления — Ом метр (Ом м).

Рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую ЭДС на участке 1-2 обозначим через 12, а приложенную на концах участка разность потенциалов — через 1- 2.

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок

1-2, то работа А12 всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте,

выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда q0

на участке 1-2,

(15.1)

ЭДС 12, как и сила тока I — величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если ЭДС способствует движению

161

положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2), то

12>0. Если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то 12<0.

За время t в проводнике выделяется теплота

	q I2Rt IR(It) IRq .			(15.2)
	0
Из формул (15.1) и (15.2) получим IR 1 2 12.				(15.3)
Отсюда	I	1 2 12	.	(15.4)
		R

Выражение (15.3) или (15.4) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является

обобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует ( 12 =0), то из

(15.4)

приходим к

закону

Ома

для

однородного

участка цепи:

I 1

2 /R U /R

(при отсутствии сторонних сил напряжение на концах

R

участка равно разности потенциалов). Если

же электрическая цепь замкнута, то

выбранные точки 1 и 2 совпадают, 1= 2;

1

2

тогда

из

(15.4)

получаем

закон Ома для

I

замкнутой цепи: I

= /R,

где — ЭДС,

действующая

в

цепи,

R — суммарное

12, r

сопротивление всей цепи. В общем случае

Рис. 15.2.

R=r+R1, где r—внутреннее сопротивление

источника ЭДС, R1 — сопротивление внешней цепи. По этому закон Ома для

замкнутой цепи будет иметь вид

I = /(r+R).

15.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированным Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два проводника. Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак, текущий от угла – имеющим другой знак.

162

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов,

сходящихся в узле, равна нулю:
Ik	0.	(15.5)

Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соображений.

Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы накапливание или уменьшение заряда, что в свою очередь приводило бы к изменению потенциала узла и изменению текущих в цепи токов. Таким образом, чтобы токи в цепи были постоянными, должно выполняться условие

(15.5).

Уравнение (15.5) можно записать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N-1 уравнение, N-е будет следствием из них.

Выделим мысленно в разветвленной цепи произвольный замкнутый контур (1-2-3-4-1). Зададимся направлением обхода (например, по часовой стрелке) и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:

I1R1 1 2 1,

I2R2 2 3 2,

I3R3 3 4 3,

I4R4 4 1 4.

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются и получается уравнение

Ik Rk k ,

(15.6)

которое выражает второе правило Кирхгофа.

163

2

			2
		I1	2
	R1			R2
	1			I2
1	1				3
				3
	R4		I3	R3
	4	4	3
		I4
		4

Рис. 15.3.

Уравнение (15.6) может быть составлено для всех замкнутых контуров,

которые можно мысленно выделить в данной разветвленной цепи. Но независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

С помощью законов Кирхгофа можно моделировать расчет замкнутых гидравлических, аэродинамических и тепловых контуров.

Например, при расчете систем охлаждения автомобиля масляный насос,

являющийся источником давления считается электродвижущей силой,

секундный расход масла считается силой тока, а гидравлическое сопротивление системы считается активным сопротивлением цепи. Для новых переменных записываются аналоги законов Кирхгофа и производится гидравлический расчет масляного контура.

164

ГЛАВА 16. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ

16.1.Закон Ампера

Французский физик А.Ампер в 1820г подробно исследовал действие магнитного поля на проводники с током и пришел к выводу, что сила F ,

действующая на прямолинейный проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике,

его длине l, магнитной индукции В и синусу угла между направлением тока в проводнике и вектором B:

F k I B l sin .

Закон Ампера легко обобщить на случай неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы. Магнитное поле называется однородным,

если векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, т.е. численно

равны и имеют одинаковые направления.

Бесконечно малый элемент dl проводника любой формы можно считать

прямолинейным, а магнитное поле в области, занятой элементом	dl	можно
считать однородным.
Поэтому в общем случае закон Ампера имеет вид:
dF k I B dl sin dl, B ,		(16.1)
где dF - сила, действующая на элемент проводника длиной dl,	а	угол

заменен углом между векторами dl (проведенным в направлении тока I ) и B.

Коэффициент пропорциональности зависит от выбора единиц измерения I , В, l и F . При измерении всех этих величин в единицах одной и той же системы единиц k 1 (исключением является только система единиц Гаусса). Поэтому в дальнейшем коэффициент k в законе Ампера мы будем опускать.

Закон Апмпера позволяет определить численное значение магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I

перпендикулярен к направлению магнитного поля sin dl, B 1 , тогда закон Ампера можно записать в виде:

165

B 1 dF .

I dl

Из этой формулы следует, что магнитная индукция B численно равна

силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен к

направлению магнитного поля. Таким образом магнитная индукция является

силовой характеристикой магнитного поля подобно тому, как напряженность

E является силовой характеристикой электростатического поля.

Закон Ампера, записанный в форме (16.1), не указывает направление силы dF . Как показали опыты, направление силы dF можно найти по правилу левой руки. Однако лучше пользоваться более универсальным правилом:

вектор dF направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами

dl и B таким образом, чтобы из конца вектора dF вращение от вектора dl к

вектору B по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки. Иными

словами вектор dF совпадает по направлению с векторным произведением

dl, B . Из математики известно, что модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

dl, B dl B sin dl, B .

Поэтому можно записать закон Ампера в векторной форме следующим

образом:

dF I dl, B .

16.2. Магнитное поле. Закон Био – Савара - Лапласа

Магнитное поле описывается вектором напряженности Н. Для

однородной изотропной среды	вектор магнитной индукции B, связан с
вектором напряженности следующим соотношением:
B м мH ,	(где ед. измерения В =Тл, Н =	A	)
0		м
	166

где 0 — магнитная постоянная, — магнитная проницаемость среды,

показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А индукцию поля dB , записывается в виде

dB

0

I dl,r ,

(16.2)

4

r3

где dl — вектор, по модулю равный длине

dl

элемента проводника и

совпадающий пo направлению с током, r

— радиус-вектор, проведенный из

элемента dl

проводника в точку А поля, r — модуль радиуса вектора r .

Направление

dB

перпендикулярно dl и r ,

dl

т.е. перпендикулярно

плоскости, в

которой они

лежат,

и

совпадает

с

касательной к линии

I

r

магнитной индукции. Это направление может быть

найдено по правилу нахождения линий магнитной

C

индукции

(правилу

правого винта):

направление

dB

вращения

головки

винта дает направление dB ,

если

поступательное

движение

винта

Рис. 16.1.

соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

dB

0

Idl sin

,

(16.3)

4

r2

где — угол между векторами dl

и r .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

167

n
B Bi .	(16.4)
i 1
Расчет характеристик магнитного поля (B	и H ) по приведенным

формулам в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси

проводника на расстояние R, векторы

dB

от

всех элементов

тока

имеют

одинаковое направление,

перпендикулярное плоскости чертежа («от нас»).

I

Поэтому

сложение

векторов

dB

можно

заменить

сложением

их

модулей.

В

качестве

b

постоянной интегрирования выберем угол (угол

между векторами

dl и r ), выразив через него все

d

остальные величины. Из этого следует, что

r

R

r

,

dl

r d

sin

dl

rd

sin

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и

угол FDC по

этой

же причине можно считать

Рис. 16.2.

прямым).

Подставив

эти

выражения

в

(16.3),

получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна

dB	0 I	sin d ,	(15.5)
	4 R

Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до

, то, согласно (16.4) и (16.5)

	0		I		0		2I
B dB				sin d				,
	4 R
				0	4 R

следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

168

B	0		2I	.	(16.6)
	4 R
Магнитное поле в центре кругового проводника с					током. Все

элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка.

	Поэтому сложение			векторов	dB	можно
dl	заменить	сложением	их	модулей.	Так	как все
R	элементы	проводника	перпендикулярны			радиусу-
dB

n

вектору (sin = 1) и расстояние всех элементов

I

проводника до центра кругового тока одинаково и

равно R, то, согласно (16.3),

Рис. 16.3.

dB

м0м

I

dl .

4р R2

0 I

0

I

I

Тогда

B dB

dl

2 R 0

.

4

R2

4 R2

R

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с

током

I

B 0 R .

16.3. Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем магнитном поле. Внешнее полем будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура.

					I			При	указанных на рисунке
								направлениях тока и поля сила будет
					B	F		направлена вправо и равна
							l		F IBl,

где l - длина перемещающегося участка

тока.

dx

На пути dx эта сила совершит работу

Рис. 16.4.

dA F dx IBldx.

169

Произведение ldx равно заштрихованной площади, а Bldx - потоку магнитной индукции d через эту площадь. Поэтому можно написать, что

dA I d ,

(16.7)

где d - поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля.

Для этого проводник нужно разбить на участки dl и сложить элементарные

работы, совершаемые над каждым участком (в пределах каждой малой площадки dl dx магнитную индукцию можно считать постоянной).

Если вектор B образует с нормалью к контуру угол , отличный от нуля,

направления силы составит с направлением перемещения также угол и

dA F cos dx IBnldx,

где Bn Bcos - составляющая вектора B по направлению нормали к

площадке ldx. Произведение Bnldx есть d - поток, пересекаемый проводником. Таким образом и в этом случае мы приходим к формуле (16.7).

Заметим, что совершается не за счет магнитного поля, а за счет

	источника, поддерживающего ток в контуре.
		1		1	Найдем	работу,	совершаемую
				над замкнутым контуром с током
	dF		к	при	его перемещении		в	магнитное
		0		поле. Предположим, что контур
	н
				остается в одной плоскости. Силы,
				приложенные к участку контура 1-2,
			2
	2			образуют		с	направлением
		Рис. 16.5.		перемещения		острые		углы.

Следовательно, совершаемая ими работа А1 положительна. Эта работа пропорциональна силе тока и пересеченному потоку магнитной индукции

A1 I 0 к .

Силы, действующие на участок 2-1, образуют с направлением перемещения тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа А2 отрицательна

170