FIZIKA_kospekt_lektsy

Стрелки измерительных приборов (вольтметров, амперметров,

индикаторов уровня) обычно соединяются с демпферами, которые обеспечивают плавное затухание критических отклонений. Если бы демпфирование было слишком слабым, то стрелка долго колебалась бы, прежде чем установиться на определенном значении. Если бы оно было очень велико,

то стрелка медленно бы ползла к правильному значению и не успевала отслеживать быстрые изменения уровня записи.

21.3.Вынужденные электромагнитные колебания

В электромагнитных вынужденных колебаниях роль вынуждающей силы играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение:

U Um cos t.

(21.14)

Тогда уравнение вынужденных электромагнитных колебаний с учетом уравнения (21.4) будет иметь вид:

q	R	q	1	q	Um		cos t.		(21.15)
			LC
	L				L
Используя преобразования в (21.10) придем к уравнению
q 2 q 02q						Um		cos t.	(21.16)
						L
Решение уравнения (21.16)			проводится аналогично						как и, для

механических вынужденных колебаний. Максимальное значение заряда для частного решения уравнения (21.16), с учетом формул (21.9) и (21.12), можно представить в виде:

qm						Um	,				(21.16)
					R2 ( L			1	)2
						R		C
tg 0							.				(21.17)
				1		L

C

Эти соотношения аналогичны выражениям (20.20) и (20.21).

211

21.4.Переменный электрический ток

Переменный электрический ток представляет собой установившиеся вынужденные колебания заряда на участках электрической цепи, содержащих катушку индуктивности, резистор или конденсатор. Переменный ток можно считать квазистационарным т.е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняется закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи,

содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор при приложениях к ним переменного напряжения

U Um cos t.

(21.18)

Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R( L→0, C →0).

Схема представлена на рис. 21.2(а).

Im Um

~ R

а	б
	Рис.20.2.

При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется по закону Ома

I	U		Um	cos t Im cos t,	(21.19)
	R
			R

где Im Um - амплитудное значение силы тока.

R

Для наглядности Изображения соотношений между переменными токами напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис.21.2(б)

212

дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um

(сдвиг фаз между Um и Im равен нулю).

Переменный ток, текущий через катушку индуктивности L( R→0; C→0).

Схема представлена на рис. 21.3(а).

UL

π/2

Im

а

б

Рис.21.3

Если к цепи приложено переменное напряжение, (21.18) то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникает э.д.с. самоиндукции

L		dI		.	(21.20)
		dt
Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид:
Um cos t L	dI		0.		(21.21)
	dt

откуда L dI Um cos t. dt

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

	UL L	dI		- есть падение напряжения на катушке из уравнения (21.21) следует,
		dt
	что						Um
					dI			cos t dt ,			(21.22)
	или после						L
				интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна
	нулю, получим:
				I	Um	sin t Im cos( t				),	(21.23)
									2
					L

213

Um LIm

где Im		Um	,	величинаRL L– называется реактивное индуктивное
		L

сопротивление.

Из выражения (21.23) вытекает, что для постоянного тока (ω=0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подставляя значения в выражение (21.21) с учетом UL, приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

UL LIm cos t.	(21.24)
Сравнение выражений (21.23) (21.24) приводит к выводу,	что падение

напряжения UL опережает по фазе ток I текущий через катушку на , что и

2

показано на векторной диаграмме рис.21.3б.

Переменный ток текущий через конденсатор емкостью С (L→0, R →0 )

Схема представлена на рис. 21.4(а).

Im

π/2

UC

a

б

Рис.21.4

Если переменное напряжение (21.18) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается и в цепи потечет переменный ток. Так как все внешне напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то напряжение на пластинах конденсатора

			q	Um cos t .							(21.25)
Сила тока в цепи равна:			C
I	dq	CU			m	sin t I	m	cos( t		),	(21.26)
	dt							2

214

где I	CU				Um			; величина	R	1	- называется реактивным
m		m			C				c	C
					1

емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (ω=0) Rc , т.е.

постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжение на конденсаторе

UC	1	Im cos t.	(21.27)
	C

Сравнение выражений (21.26) и (21.27) приводит к выводу, что падение

напряжения UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока, на . Это

2

показано на векторной диаграмме рис.21.4(б).

Цепь переменного тока содержащая, последовательно включенные

резистор катушку индуктивности и конденсатор.

На рис. 21.5(а) представлена цепь, содержащая резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C на концы которого подается переменное напряжение (21.18).

а

б

Рис.21.5.

В цепи, возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL, и UC. Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе

(UC) показана на рис. 21.5(б).

Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рисунка 21.5(б) угол φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока

215

		L		1
tg				C		.				(21.28)
			R
Из прямоугольного треугольника получаем,				Um2	(R Im )2 Im2 ( L					1	)2 откуда
										C
амплитуда силы тока
Im			Um						.	(21.29)
			R2 ( L		1		)2
					C

Выражение (21.29) описывает закон Ома для цепи переменного тока,

которая содержит последовательно соединенные активное и реактивные сопротивления.

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

U Um cos t,

то в цепи течет ток
I Im cos t ,	(21.30)

где φ и Im определяются соответственно формулами (21.28) и (21.29).

Величина Z	R2 ( L	1	)2 - называется полным сопротивлением цепи.
		c

21.5.Резонанс токов и напряжение в цепи переменного тока

Резонанс напряжений. Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенный конденсатор, катушку индуктивности и резистор

(рис.21.5(а))

	1
L			0,	(21.31)
	C

то угол сдвиг фаз между током и напряжением (21.28) обращается в нуль (φ=0),

т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (21.38)

удовлетворяет частота

рез		1	.	(21.32)
		LC
				216

В данном случае полное сопротивление цепи Z становится минимальным,

равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um)

значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR=U), а падения напряжений на конденсаторе (Uc) и катушке индуктивности (UL) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а

зависимость амплитуды силы тока от ω дана на рис. 21.6.

Im

R1>R2>R3

ωрез		ω

Рис.21.6.

В случае резонанса напряжений UL рез Uc рез , поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

U

U

L

I

1

L

U

QU

,

(21.33)

R

L

рез

c

рез

C

m

C

m

m

где Q – добротность контура, определяемая выражением (21.13). Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QUm, (Q в данном случае— добротность контура), которое может быть значительно больше Um. Это

217

усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью

L (рис.21.7). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь.

Рис.21.7.
Если приложенное напряжение изменяется по закону U Um cos t , то
согласно формуле (21.30) в ветви 1С2 течет ток
I1 Im1 cos( t ),	(21.34)
амплитуда которого определяется из выражения (21.29) при условии R=0 и
L=0

		I	m1			Um	.
					1
						C
Начальная фаза φ1		этого тока по формуле (21.28)определяется
равенством tg 1 ,
	1	(2n 3		2	) , где n=1,2,3…			(21.35)
Аналогично сила тока в ветви 1L2 определяется из соотношения								(21.29)
при условии R=0, C=		(условие		отсутствия емкости в цепи)Im2					Um	.

L

Начальная фаза φ2 этого тока tg 2 , откуда

218

	2	(2n 1	2	) , где n=1,2,3.	(21.36)

Из сравнения выражений (20.35) и (20.36) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна 1 2 , т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Im

Im1

Im2

Um

C

1

.

1

L

Если

рез

, то I

m1

I

m

2

и I

m

0.

LC

Явление

резкого уменьшения

амплитуды силы тока во внешней цепи,

питающей параллельно включенный конденсатор и катушку индуктивности,

при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте

ωрез называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

Амплитуда сила тока оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то

разность фаз φ1— φ2 не будет равна л, поэтому при резонансе токов

амплитуда силы тока будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней

цепи токи I1 и I2 компенсируются и сила тока I, в подводящих проводах,

достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2 могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление

переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях,

позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится

219

вихревыми токами. В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

21.6. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

N(t) U(t)I(t),

где U(t) Um cos t, I(t) Im cos( t ), раскрыв cos( t ), получим

N(t) ImUm cos( t )cos t ImUm (cos2 tcos sin tcos tsin ).

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания, учитывая, что (cos2ωt)=1/2, (sinωtcosωt)=0, получим

N	1	I U		cos .	(21.37)
2		m	m

Из векторной диаграммы рис.21.5(б), следует, что Um cos RIm.

Поэтому

N 1 I2mR.

2

Такую же мощность развивает постоянный ток I Im . 2

Величины

I	I	m		и	U	U	m
2					2

называются соответственно действующими (или эффективными)

значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

220