FIZIKA_kospekt_lektsy

численному значению вектора E . Линии E точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Покажем это. Полное число линий N,

пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4 r2. Густота линий по условию численно равна

	E				1		q	.
				4 0			2
							r
Следовательно, N численно равна
	1		q		4 r2				q	,
			2
	4 0 r								0

т.е. полное число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же.

Следовательно, линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются;

они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде.

+

-

Рис. 13.2.

Поскольку густота линий E выбирается равной численному значению Е,

количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендикулярных E будет численно равна ЕdS. Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором E угол , то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно ЕdS cos = En dS, где En – составляющая вектора E по направлению нормали к площадке.

Отсюда для количества линий E , пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение:

131

N EndS .

S

Если имеется поле некоторого вектора A, то выражение AndS , где

	S
Ап – составляющая вектора A по направлению нормали к	dS, называется
потоком вектора A через поверхность S.
Следовательно, поток вектора E
EndS	(13.7)
S

численно равен количеству линий E , пронизывающих поверхность S.

13.4. Теорема Гаусса

В предыдущем разделе было показано, что окружающую точечный заряд

q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает

q

линий E . Отсюда

0

вытекает, что из точечного заряда выходит

q

линий.

0

Поток

вектора

E через некоторую

поверхность

численно

равен

количеству линий E ,

пересекающих эту поверхность. Следовательно,

поток

вектора E

через охватывающую заряд сферическую поверхность равен

q

.

0

Знак потока совпадает со знаком заряда.

Не сферическая поверхность без «морщин» пересекается каждой линией

E только один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий,

выходящих из заряда, т.е. q .

0

132

+

Рис. 13.3.

Таким образом, для охватывающей точечный заряд

+

-

+

+

любой формы q , поток вектора

Если поверхность с

«морщинами», то число пересечений может быть только нечетным и потому противоположные вклады,

вносимые в общий поток взаимно уничтожаются, за исключением одного.

замкнутой поверхности,

E сквозь эту поверхность

равен q .

0

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольный знаков: q1, q2 и т.д. Поток вектора E по определению равен

EndS	(13.8)
S

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности).

В силу принципа суперпозиции полей

En En1 En2 ... Eni .

Подставив это в выражение для потока, получим

EndS Eni dS EnidS ,

S S S

где Eni - нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого і-м

зарядом в отдельности.

Но	EnidS		qi		.
	S		0
Следовательно	EndS		1	qi .		(13.9)
	S	0
						133

Доказанное утверждение называется теоремой Гаусса. Эта теорема

может быть сформулирована следующим образом: поток вектора

напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен

алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов,

деленной на 0.

Если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , теорема Гаусса должна быть записана следующим образом:

EndS	1	dV ,	(13.10)
S	0 V

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S.

Теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции.

13.5. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

+

Рассмотрим как, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постоянной поверхностной плотностью

lim	q	.	(13.11)
S 0 S

Рис. 13.4. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление перпендикулярное к плоскости.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины S,

расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой

134

поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Еп в каждой ее точке равна нулю.

Для оснований Еп совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен 2Е S. Внутри поверхности заключен заряд S.

Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

2Е S = S ,

0

откуда	Е =		.	(13.12)
		2 0

13.6. Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плоскостью

, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

+

-

Легко видеть, что в

области

между

Е+

E

Е+

плоскостями

складываемые

поля

имеют

2 0

одинаковое

направление,

так

что

результирующая напряженность равна

Е-

E

Е-

Е =

.

2 0

0

Вне

объема,

ограниченного

Рис. 13.5.

плоскостями,

складываемые

поля

имеют

противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями.

Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее свойствами, называется однородным.

Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

135

13.7. Поле бесконечно заряженного цилиндра

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью

. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярна к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояние r от оси цилиндра.

R

r h

Рис. 13.6.

Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью

замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h. Для

оснований этого цилиндра Еп = 0, для боковой поверхности Еп = Е(r).

Следовательно, поток линий E через эту замкнутую поверхность будет равен

Е(r) 2 r h. Если r	R, внутри поверхности попадает заряд							q h,	где -
линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем
	Е(r) 2 r h =					h	,
						0
откуда	Е(r) =	1			.				(13.13)
		2 0
				r

Если r R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(r) = 0. Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует.

136

13.8. Работа сил электростатического поля

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил – потенциально. Убедимся в этом. Для этого вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q над

перемещающимся в этом поле точечным зарядом

F

q . Работа на элементарном пути dl равна

	dr			1		qq		1		qq
		2	dA fdlcos	4 0		r2	dlcos	4 0		r2 dr
1
	r	q dl	dlcos dr .

r1	r2	Отсюда для работы на пути 1-2 получается
q		выражение

		qq			r2	dr		1						qq
	A12									qq
Рис. 13.7.																.
		4				r2		4			r			r
				0 r					0		1			2
					1

Полученный результат свидетельствует, что работа зависит лишь от начального и конечного положений заряда (r1 и r2). Следовательно,

электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами поля над зарядом q при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как

q'Eedl ,

где Ее – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl .

Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину q , придем к следующему соотношению:

Eedl 0,

которое должно выполняться для любого замкнутого контура.

Выражение вида Aedl называется циркуляцией вектора A по данному контуру.

137

13.9. Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Работу можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой заряд q обладал в точках 1 и 2 поля заряда q:

A	1			qq					1					qq		W	p1	W	p2	.
									4
12	4	0		r							0			r
			1									2
Отсюда для потенциальной энергии заряда q в поле заряда q получаем
			Wp							1				qq		.				(13.14)
									4 0					r
Разные пробные заряды qnp' ,							qnp"			… будут обладать энергией Wp' , Wp" …
Однако отношение Wp /qnp	будет для всех зарядов одно и то же. Величина
						Wp														(13.15)

qnp

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля E, для описания электрических полей.

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в

данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставляя в (13.15), значение потенциальной энергии (13.14), получим

для потенциала поля точечного заряда следующее выражение:
	1		q	.	(13.16)
	4 0
			r

Рассмотрим поле, создаваемой системой точечных зарядов q1, q2,...

Расстояние от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим r1, r2,...

Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q , при переносе из точки

1 в 2, будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из

зарядов в отдельности:

A12 Ai .

Каждая из работ Ai равна

Ai 4 1 0 qriiq1 qriiq2 ,

138

где ri1 - расстояние от заряда qi до начального положения заряда q , ri2 -

расстояние от заряда qi до конечного положения заряда q . Следовательно

	1			q q		1			q q
A12				i					i	.
	4	0		r		4	0		r
				i1					i2

Сопоставляя это выражение с соотношением

A12 Wp1 Wp2,

получаем для потенциальной энергии заряда q в поле системы зарядов выражение

	1
							q q
Wp								i		,
	4		0					r
отсюда								i
	1							q
								i	.	(13.17)
		4		0				r
								i

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов,

равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из

зарядов в отдельности.

Так как потенциалы складываются алгебраически, то их вычисление проще чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из (13.15) следует, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом

, обладает потенциальной энергией

Wp q .

Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

A12 Wp1 Wp2 q 1 2 .

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

A q .

139

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую

совершают силы поля над единичным положительным зарядом при

удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необходимо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

За единицу потенциала в СИ принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:

= В

1В = 1Дж .

1Кл

13.10.Связь между напряженностью электрического поля

ипотенциалом

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl может быть

представлена, с одной стороны, как	qEedl , с другой же стороны как убыли
потенциальной энергии заряда, т.е.	как d q q		dl . Приравнивая эти
		l
выражения, получим

qEedl q dl ,

l

откуда находим, что

Ee ,l

где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В

частности,

Ex			,	Ey			,	Ez			,
		x				y				z

откуда

E iE

x

jE

y

kE

z

i

j

k

.

x

y

z

Выражение,

стоящее в

скобках,

называется

градиентом скаляра

(обозначается grad ). Используя обозначения градиента, можно написать:

140