posobie_TU

огинаючої частини епюри:

Mx,розр=max(Mx)=50,18 кНм.

Перевіряємо прийнятий раніше поперечний переріз умовою міцності:

max	M x, розр		50,18 10	3	106,31 10	6	Па 106,31 МПа
	Wx		472 10 6

із двотавра №30 за

R 240 МПа.

Умова міцності виконується, отже остаточно приймаємо балку із двотавра №30. Кругова частота власних коливань балки знайдена раніше і

становить 43,71 радс (при зміні поперечного перерізу з умови міцності

необхідно зробити перерахунок частоти власних коливань). Лінійна частота власних коливань визначиться за (3.6):

				43,71	6,96 Гц.
		2		2 3,14

Виходячи з рівняння руху (3.10) амплітуда коливань приведеної маси визначиться як:

A P 11 .

Коефіцієнт наростання коливань, що визначено раніше, становить2,069, 11 – прогин балки в точці прикладення гармонійного навантаження

від впливу одиничної сили, прикладеної в тій же точці (отримано раніше):

11 zz (z 4a) 1,5833 a3 .

EI

Тоді амплітуда вимушених коливань приведеної маси прийме вигляд:

A 1,5833	Pa3	1,5833	10	103 1,53				2,069 7,58 10	3	м 7,58 мм.
	EI		11		7080	10	8
			2,06 10

Відповідь: Mx,розр=50,18 кНм, двотавр №30, ν=6,96 Гц, А=7,58 мм.

3.4Питання до тестового контролю за навчальним модулем №3

3.1.Система, що представлена на рис. 3.29 є системою:

Рис. 3.29

А) з одним ступенем вільності; Б) що не має жодного ступеня вільності;

В) з нескінченною кількістю ступенів вільності; Г) з двома ступенями вільності.

3.2. Частота власних коливань системи з одним ступенем вільності визначається за формулою:

А) M 11 ;

90

Б) M1 11 ;

В) M1 11 ;

Г)			1		.
		M	2
				11

3.3.Кругова частота коливань має одиниці виміру: А) кН; Б) Гц; В) кГц; Г) рад/с.

3.4.Кругова частота коливань пов'язана з лінійною частотою коливань залежністю:

А) 2v ; Б) 2 v ;

В) 2v ; Г) 4v 2 .

3.5. Амплітуда власних коливань системи з одним ступенем вільності визначається за формулою:

	A	y02			2
А)								;
						2
					v0
	A y0		1				ν2
Б)							0				;
							2
	A	y02			v2
В)						0				;
						2
Г)	A	y0			v0				.

3.6. Кут початкової фази коливань , якщо процес коливань починається при початкових умовах y0 0, 0=0, дорівнює:

А) =0; Б) =π/3; В) =π/4; Г) =π/2.

91

1 cos t ;

3.7. Якщо коливання системи відбуваються під впливом деякого збурюючого навантаження, вони називаються:

А) власними; Б) вимушеними;

В) резонансними; Г) загасаючими.

3.8. Коефіцієнт, що вказує в скільки разів переміщення (зусилля) від динамічного прикладення навантаження перевищують переміщення (зусилля) від статичного прикладення цього навантаження, називається:

А) коефіцієнтом впливу маси; Б) коефіцієнтом наростання коливань; В) коефіцієнтом перевантаження; Г) динамічним коефіцієнтом.

3.9. У випадку раптового прикладення до системи деякої сили Р рівняння коливань має вигляд:

А) w(t) 1P 1 cos t ;

Б)

В) Г)

w(t) 1

1P

w(t) 1P cos t ; w(t) 1P 1 cos t .

3.10. При прикладенні до системи синусоїдального гармонійного навантаження рівняння коливань має вигляд:

А)	w(z,t) 21P sin t ;
Б)	w(z,t)		1P		cos t ;
В)	w(z,t) 1P sin t ;
Г)	w(z,t)			cos t .
		1P

3.11. Коефіцієнт наростання коливань при впливі на систему гармонійного навантаження із частотою визначається за формулою:

А)		1					;
		1
Б)			1								;
		1								2
В)								;
		1

92

Г)			.

3.12.Резонансом називають явище зростання амплітуди коливань системи при: А) різкому збільшенні амплітуди збурюючого навантаження; Б) раптовому знятті зовнішнього навантаження із системи; В) збігу частот вимушених і власних коливань; Г) різкій зміні частоти вимушених коливань.

3.13.У випадку непружного удару маси М, що мала швидкість v0 об нерухому масу М0, швидкість системи мас після зіткнення дорівнює:

	А)	v v0		M 0	;
				M
	Б)	v v0		M 0	M	;
				M
	В)	v v0 ;
	Г)	v v0		M		.
				M M 0

3.14. Динамічний коефіцієнт при ударі, викликаному падінням маси М0 з висоти h має вигляд:

А)

kд

1

1

2

;

f

Б)

kд

1

1

2h

;

f

В)

kд

1

h

;

f

Г)

kд

1

1

h

.

2 f

3.15.На динамічний коефіцієнт kд при ударі, викликаному падінням маси М0 з деякої висоти h помножають:

А) вагу падаючої і нерухомої маси; Б) тільки вагу нерухомої маси; В) тільки вагу падаючої маси;

Г) всі навантаження, що прикладені до даної системи.

3.16.Якщо в системі присутній елемент із розподіленою масою m по його довжині l, то така система має кількість частот власних коливань n рівну:

А) n = ; Б) n = 1; В) n = 2; Г) n =m/l.

93

3.17.У випадку заміни системи з нескінченною кількістю ступенів вільності системою з одним ступенем вільності методом переносу мас еквівалентність систем установлюється за:

А) амплітудою власних коливань основного тону; Б) сумарною масою системи; В) частотою власних коливань основного тону;

Г) абсолютною однорідністю отриманих систем.

3.18.Формула для визначення величини зосередженої приведеної маси при одержанні еквівалентної системи методом переносу мас Донкерлея має вигляд:

А)

Б)

В)

Г)

1

l

m(z)

dz

M

M пр

i

;

zz

аа

0

ii

l

M пр аа

m(z) zz dz M i ii ;

0

l

m(z)

dz

M

i

M пр аа

zz

ii

;

0

1

l

M пр

m(z) zz dz M i ii .

аа

0

3.5 Контрольна робота за навчальним модулем №3

3.5.1 Зміст роботи

На сталеву однопролітну двотаврову балку довжиною l падає в деякій точці В зосереджена маса М с висоти h. Потрібно визначити:

1)максимальні напруження і перевірити умову міцності балки;

2)ефективність установки пружини жорсткістю c замість правої опори балки;

3)амплітуду коливань в точці падіння маси і частоту коливань балки при пружній і нерухомій правій опорі балки.

3.5.2. Приклад виконання роботи

Вихідні дані:
Балка із двотавра №12, l=4м, M=20кг,
h=25см,	с=10 см/кН,		z=0,5l,	R=240МПа,
E=2,06 1011Па.		Розрахункова			схема
представлена на рис. 3.30.
Рішення
1)	Визначаємо		за	сортаментом
геометричні характеристики				і	погонну
масу заданого перерізу балки: m=11,5 кг/м,						Рис. 3.30
					94

Ix=350см2, Wx=58,4см3.

2) Для рішення задачі систему з нескінченною кількістю ступенів вільності заміняємо системою з однією приведеною точковою масою Mпр, розташованою в точці падіння маси М (рис. 3.31). Визначимо величину приведеної маси за формулою (3.15). Для цього розглянемо задану балку під дією одиничної сили P

(рис. 3.32):

M A

Pz RC l 0 ,

звідки

C

z

z

.

R

P

(3.21);

l

l

MC

l z

A l 0 ,

P

R

звідки

l z

A

l z

R

P

(3.22)

l

l

Рис. 3.31

Рис. 3.32

Для визначення прогину zz використовуємо метод початкових параметрів

(V0=0, φ0=?, M0=0, P0= RA ) . Кут повороту на лівій опорі знайдемо з граничних умов:

VB=0; VB 0l

Al3

l z 3

0 ,

R

P

звідки

6EI

6EI

1

l z 3

l

A z

A

z 2l .

0

Al3

R

3 l z 2 l

R

R

P

6EIl

6EIl

6EI

Тоді прогин визначиться як:

z l l z 2 z2 .

A z3

A z2

z 2l

A z3

A z2

zz 0 z

R

R

R

R

(3.23)

6EI

6EI

6EI

3EI

3EIl

Використовуючи отриману залежність, знайдемо прогин від одиничної

сили в точці В:

l l / 2 2 l / 2 2

B zz z 0,5l

l3

.

3EIl

48EI

Для визначення приведеної маси знайдемо значення виразу:

l	m	l									m				l													m		2	z	3		lz	4
		2				2									l	2		2			3			4	dz				l
m zz dz		l z		z			dz										z		2lz			z											2
	3EIl										3EIl																			3				4
0		0													0													3EIl
			z	5				l		ml		5			1		1			1				ml		4
																											.
		5													3		2						90EI
								0		3EIl										5

Визначаємо величину приведеної маси за формулою (3.15):

95

Рис. 3.33

	1	l	48EI				ml	4				8			8
M пр		m zz dz											ml			11,5	4	24,53 кг.
	B		l	3							15			15
		0					90EI

3) Знайдемо динамічну складову зовнішнього навантаження Pдин, обумовлену появою сил інерції мас системи і миттєвим прикладенням сили ваги падаючої маси. Для цього обчислимо динамічний коефіцієнт за формулою

(3.13).

Коефіцієнт передачі енергії:

							M					20	0,449.
						M M пр					20 24,53
Прогин від ваги падаючого вантажу:
fB Mg B Mg			l3				20 9,81					43				3,63 10	4	м.
			48EI							48 2,06 1011				350 10 8
Динамічний коефіцієнт:
k	д	1	1	2h 1						1		2 0,25		0,449	25,89.
												3,63 10 4
				fB

Динамічна складова зовнішніх сил:

Pдин = Mgkд = 20 9,81 25,89 = 5079,6 Н = 5,08 кН. 4) Прикладаємо зовнішнє

навантаження до заданої балки і визначаємо максимальні напруження (рис. 3.33).

Дія динамічних навантажень (сил інерції мас і раптово прикладеної ваги падаючої маси) враховується прикладенням до системи динамічної сили Pдин, прикладеної в точці В. Статичне навантаження q обумовлене вагою розподіленої маси m і дорівнює:

q=mg=11,5 9,81=112,8 Н/м = =0,11 кН/м.

Опорні реакції в балці від заданого навантаження знайдемо як суму складових, які викликані дією рівномірно розподіленого по всьому прольоту навантаження q і дією зосередженої сили Pдин:

R

ql P

A ql P

l zB

ql

Pдин

0,11 4

5,08 2,76 кН;

A

R

2

дин

2

дин

l

2

2

2

2

R

ql

P

С

ql

P

zB

ql

Pдин

0,11 4

5,08

2,76 кН.

R

2

2

2

С

2

дин

2

дин l

2

Перевірка:

Py RA RC Pдин ql 2,76 2,76 5,08 0,11 4 5,52 5,52 0 .

Епюра моментів від статичного і динамічного навантаження представлена

96

на рис. 3.33. (Напрямок динамічного навантаження обрано таким, що створює в сумі із статичним навантаженням максимальний згинальний момент в балці.)

Розрахунковий згинальний момент:

Mx,розр=max(Mx)=5,3 кНм.

Нормальні напруження в небезпечному перерізі:

max	M x, розр		5,3 10	3	9,07 10	7	Па 90,7 МПа R 240 МПа.
	Wx		58,4 10 6

Умова міцності для заданого перерізу балки виконується.

5) Амплітуду коливань балки в точці падіння маси М знайдемо як:

A Mg B kд fB kд 3,63 10 4 25,89 9,4 10 3 м 9,4 мм.

Коливання балки після падіння маси М будуть відбуватися під впливом раптово прикладеної сили тяжіння цієї маси з частотою власних коливань (див. формулу (3.6)). Знайдемо частоту власних коливань балки:

	1		g		0,449 9,81	110,16	рад
					3,63 10 4		с .
	M M пр B		fB

6) Замінимо праву опору балки пружиною жорсткістю с і визначимо ефективність такого перетворення (рис. 3.34). У цьому випадку прогин балки

від статичного навантаження fВ* буде дорівнювати сумі прогинів, викликаних

деформацією пружини – fВпр і деформацією осі балки fВ .

Прогин балки від дії статично прикладеної сили ваги падаючої маси знайдено раніше

fB 3,63 10 4 м.		Прогин			від
деформації пружини знайдемо з
умови	подоби	трикутників
ABB1	та AСС1	:							Рис. 3.34
			пр		zB
			fВ			, звідки	fВпр	zB	fСпр 0,5 fСпр .
			пр
								l
			fС		l

Деформацію пружини fCпр визначимо за законом Гука:

	f пр R		c		C z z		Mg c	zB	Mg c Mg c	20 9,81 10 10 5	9,81 10-3 м.
				R		B
	C	C						l	2	2

Тоді

fВпр 0,5 fСпр 0,5 9,81 10 3 4,905 10 3 м.

Сумарний прогин балки в точці В:

fB* fВпр fB 3,63 10 4 4,905 10 3 5,27 10 3 м.

Коефіцієнт динамічності:

97

	kд* 1	1	2h	1	1	2 0,25	0,449	7,60.
			fB*			5,27 10 3

Ефективність установки пружини:

n kд* 25,89 3,4 , kд 7,60

тобто постановка пружини дозволяє знизити динамічну складову зовнішнього навантаження в 3,4 рази.

7) Знайдемо амплітуду коливань в точці B і частоту коливань балки із пружинною опорою після падіння маси М:

A*	fB* kд* 5,27 10 3 7,60 4,01 10 2 м 40,1 мм;
	*		g		0,449 9,81	28,91	рад
			fB*		5,27 10 3		с .

Відповідь: max=90,7МПа, умова міцності виконується; n=3,4; A=9,4мм,

A*=40,1 мм, ω=110,16 рад/с, ω*=28,91 рад/с.

98

Список літератури

1.Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.: Высш. шк., 1980. – 408 с.

2.Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений. – М.: Стройиздат, 1980. – 616 с.

3.Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн.

– Ч. I, кн. 3. опір дво- і тривимірних тіл: Підручник / В.Г. Піскунов, В.С. Сіпетов, В.Д. Шевченко, Ю.М. Федоренко; За ред. В.Г. Піскунова. –

К.: Вища шк., 1995. – 271 с.: іл.

4.Опір матеріалів. Спеціальний курс. Метод початкових параметрів: Навч. посібник / Ф.Л. Шевченко, С.А. Жеданов. – К.: УМК ВО, 1992. – 184 с. –

Рос. мовою.

5. Опір матеріалів: Підручник / Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський; За ред. Г. С. Писаренка. – К.: Вища шк., 1993. – 655 с.

6.Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов [Текст] / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - К. : Наук. думка, 1975. - 704 с. - ISBN 5-12-000299-4.

7.Піскунов В.Г. та ін. "Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності" (в трьох книгах). Вища школа, 1994-95.

8.Сопротивление материалов. Под ред. А.Ф. Смирнова. Учебник для вузов. изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1975.

9.Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / Под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1984. – 415 с.

10.Тимошенко С.П. Сопротивление материалов, т. II. – М., 1965. – 480 с. илл.

11.Шевченко Ф.Л. Будівельна механіка. Спеціальний курс. Динаміка пружних стержньових систем. – Донецьк: РИА ДонНТУ, 2000. – 293 с.

12.Шевченко Ф.Л., Утілін Г.М. Динамічні задачі стержньових систем. – К.:

ІСДО, 1995. – 99 с.

13.http://www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RU

14.http://detc.usu.ru/

15.http://naukoved.ru/

Перелік основних позначень

Перелік основних позначень навчального модуля 1

r(z) – реакція основи на одиницю довжини балки, Н/м;

v(z)– функція просадки основи в залежності від координати z, м;

k – реакція основи на одиницю довжини балки при осіданні основи, що дорівнює одиниці, Н/м2;

k0 – коефіцієнт жорсткості основи – реакція основи на площі 1 м2 при просадці основи, що дорівнює одиниці, Н/м3;

99