posobie_TU

d

3

d

2

d

w(x y)

Q (x y) D

w(x y)

3

2

y

dy

dy

dx

		1			x		1		y			3		16 b		2		a		2
Qy(x y) simplify	D		C sin		2 a	sin	2
		8							b					b	3		a		2

Тут замість оператора зручніше скористатися оператором «Simplify» на панелі «Symbolic». Цей оператор так само видає символьний результат, який спрощений (з використанням оператора виходить громіздкіша формула).

Чисельні обчислення в MathCAD можливо проводити як з використанням одиниць вимірювань, так і без них. У даному прикладі користуватимемося вбудованими одиницями вимірювання (окрім вбудованих можливе створення альтернативних одиниць вимірювання). Результати обчислення можна отримати як в табличному вигляді, так і у вигляді 2-х и 3-х мірних графіків.

Задаємо початкові дані в чисельному вигляді:

Лістинг:

a 2m	b 2m	h 0.2m
0.3	E 2 1011Pa
q0 1N

Тут приймаємо значення q0=1 Н, оскільки всі значення змінних, які входять у формули, повинні бути задані.

Так само, задаємо вирази для циліндрової жорсткості і коефіцієнта C пластини (вираз для коефіцієнта C копіюємо з рішення рівняння Софі Жермен – Лагранжа). В MathCAD краще символьні і чисельні обчислення робити окремо. Чисельні значення змінних C і D виводимо за допомогою оператора «=»:

Лістинг:

D		E h3
					2
		12 1
D	1.465		108 N m
			4				b4
C	16 q0 a
					D 4 256 b4			32 a2 b2 a4
C 6.206			10 11 m3

Для набуття значень внутрішніх зусиль в 11 точках задамо значення змінних x і у у вигляді масивів:

Лістинг:

i 0 10

a Xi a 5 i

Yi 0.5m

110

Тут була введена додаткова змінна i, яка приймає значення дискретно від 0

до 10. Проміжок від 0 до 10 з кроком 1 задаємо за допомогою оператора на панелі «Matrix». Змінні координат x та y задаємо так само у вигляді масивів. В даному випадку вони позначені символами у верхньому регістрі, оскільки символьні і чисельні обчислення проводилися в одному документі – MathCAD розрізняє символи у верхньому і нижньому регістрах. У нашому лістингу масив змінної x складається із значень від –a до a, а елементи масиву змінної y однакові і кожний з них дорівнює 0.5 м згідно умові задачі. Вираз i-го елементу масиву задаємо за допомогою клавіші «[» або кнопки панелі «Matrix».

Внутрішні зусилля задаємо так само у вигляді масивів (для цього вирази внутрішніх зусиль копіюють з попередніх символьних обчислень і замінюють в цих виразах змінні x і у масивами цих змінних:

Лістинг:

Згинальні моменти:

1

Xi

2

1

Yi

16 b2 a2

MXi

4 D C sin

2

cos

2

2

a

2

b

a2

a

b

1

Xi

1

Yi

2

16 b2

MYi

4 D C sin

2

2

2

a

cos 2

b

a

b

Крутильний момент:

Y

1

X

sin

i

2

MXY D 1 C cos 2

i

2

b

a

a b

i

Поперечні сили:

16 b2 a2

1

Xi

3

1

Yi

QXi D

2

a

3

2

2 C cos

cos 2

b

b

a

1

Xi

1

Yi

3 16 b2 a2

QYi D

sin

3

2

8 C sin 2 a

2 b

b

a

Виводимо значення масивів за допомогою оператора «=»:

Лістинг:

			0				0				0
		0	-2			0	0			0	0
		1	-1.6			1	0.08			1	0.029
		2	-1.2			2	0.05			2	0.018
		3	-0.8			3	-0.05			3	-0.018
	X	4	-0.4	m	MX	4	-0.08	N m2	MY	4	-0.029	N m2
		5	0			5	0			5	0
		6	0.4			6	0.08			6	0.029
		7	0.8			7	0.05			7	0.018
		8	1.2			8	-0.05			8	-0.018
		9	1.6			9	-0.08			9	-0.029
		10	2			10	0			10	0

111

		0				0				0
	0	6.011·10 -3			0	0.277			0	0
	1	1.857·10 -3			1	0.086			1	-0.027
	2	-4.863·10 -3			2	-0.224			2	-0.017
	3	-4.863·10 -3			3	-0.224			3	0.017
	4	1.857·10 -3	2		4	0.086			4	0.027
MXY			N m	QX			N m	QY			N m
	5	6.011·10 -3			5	0.277			5	0
	6	1.857·10 -3			6	0.086			6	-0.027
	7	-4.863·10 -3			7	-0.224			7	-0.017
	8	-4.863·10 -3			8	-0.224			8	0.017
	9	1.857·10 -3			9	0.086			9	0.027
	10	6.011·10 -3			10	0.277			10	0

Графіки цих функцій будуємо за допомогою кнопки								панелі «Graph» або
поєднання клавіш «Shift + 2»:
Лістинг:
	0.4
MX	0.2
MY
MXY	0
QX
QY	0.2
	0.4	2	1.5	1	0.5	0	0.5	1	1.5	2
						X
При натисненні кнопки із зображенням двовимірного графіка з'являється
його шаблон (рис. Б.2). Вводимо в місце введення шаблону по горизонтальній
осі ім'я масиву координат – X, а в місце введення шаблону по вертикальній осі
ім'я масиву згинального моменту – MX.

Рис. Б.2. Шаблон двовимірного графіка.

112

Для того, щоб на одному шаблоні відображалося відразу декілька графіків, імена масивів внутрішніх зусиль вводяться через кому (див. лістинг).

Для збільшення масштабу графіка поміщають курсор миші в область графіка і клацають лівою кнопкою миші – навколо графіка з'явиться рамка з чорних ліній, що обрамляє блок графіка. Підводять курсор миші до чорного квадратика (маркеру зміни розміру) в правому нижньому кутку рамки, при цьому покажчик миші повинен перетворитися на двосторонню діагональну стрілку. Натиснувши ліву кнопку миші, розтягують графік по діагоналі, а потім фіксують розмір, відпустивши кнопку миші.

Наводять курсор миші на будь-яку сторону рамки (окрім квадратиків), при цьому курсор повинен перетворитися на чорну долоньку. Натискають ліву кнопку миші, пересувають весь блок графіка в бажаному напрямі і фіксують місцеположення, відпустивши кнопку миші. У результаті отримаємо збільшений і переміщений графік. Прибрати рамку можна, відвівши курсор миші убік від графіка і клацнувши лівою кнопкою миші. Зверніть увагу, коли графік знаходиться в рамці, на ньому в куточках з'являються числа які вказують масштаб графіку по вертикальній і горизонтальній осях. За умовчанням по горизонтальній осі графік будується на відрізку зміни аргументу від –10 до +10. Масштаб вертикальної осі MathCad встановлює автоматично. Змінивши ці числа, можна встановити свій масштаб графіку.

Відформатувати графік можна за допомогою подвійного клацання лівою кнопкою миші по графіку, при цьому з'явиться вікно форматування графіка

(рис. Б.3).

Рис. Б.3. Вікно форматування двовимірного графіка.

Кольори і вид (товщину і маркери) самих графіків можна відредагувати за допомогою вкладки «Traces» в цьому вікні.

Окрім пласких, MathCad дозволяє будувати і об'ємні графіки. Скористаємося цим, щоб побудувати об'ємні графіки серединної поверхні, навантаження і внутрішніх зусиль в даній пластині.

113

Для цього краще всього створити новий документ і скопіювати в нього всі необхідні функції:

Лістинг:

a 2m b 2m

0.3

E 2 1011Pa q0 1N

h 0.2m

D

E h3

12 1 2

4

b4

C

16 q0 a

D 4 256 b4 32 a2 b2 a4

q(x y) q sin

2 x

cos

y

2 b

0

a

w(x y) C sin

2 x

cos

y

a

2 b

Згинальні моменти:

M (x y) D

d2

w(x y)

d2

w(x y)

x

2

dy

2

dx

2

2

My(x y) D

d

w(x y)

d

w(x y)

2

2

dy

dx

Крутильний момент:

M (x y) D 1 d

d

w(x y)

xy

dxdy

Поперечні сили:

Q (x y) D

d3

w(x y)

d2

d

w(x y)

3

2

x

dy

dx

dx

Q (x y) D

d3

w(x y)

d2

d

w(x y)

3

2

y

dy

dy

dx

Покажемо побудову об'ємного графіка на прикладі графіка серединної поверхні. Для цього досить визначити функцію w(x,y) і виконати команду Insert

-> Graph -> Surface Plot або натиснути відповідну кнопку панелі «Graph» (сполучення клавіш [Ctrl+7]). У графічній області, що з'явилася, під осями на місці шаблону для введення треба вказати ім'я (без аргументів) функції. MathCAD автоматично побудує графік поверхні. Незалежні змінні x і у приймають значення з проміжку [-5;5]:

114

Лістинг:

w

Як видно з лістингу, за умовчанням будується поверхня у вигляді сітки. Щоб зробити наочніший, кольоровий графік, подвійним клацанням лівої кнопки миші в області графіка викликається вікно форматування тривимірного графіка (рис. Б.4).

Рис. Б.4. Вікно форматування об'ємного графіка.

У вкладці Special ставиться прапорець біля опції Fill – графік стає кольоровим. Змінюється розмір об'ємного графіка точно так, як і двовимірного. Крім того, за допомогою лівої кнопки миші активний графік можна повернути в зручному ракурсі. На рис. Б.5 показано, як міняти межі змінних x та y (у даному прикладі обидві ці змінні міняються: x в межах [-a;a], y в межах [-b;b]).

115

Рис. Б.5. Вікно форматування об'ємного графіка. У результаті отримуємо поверхню:

Лістинг:

w

Аналогічним чином будуємо графіки решти функцій. Примітка: для зручності найлегше скопіювати потрібну кількість разів графік серединної поверхні і змінити в нім ім'я функції:

Лістинг:

	q	Mx

116

My	Mxy

Qx

Qy

Також можна побудувати ці графіки у вигляді ізополей.

Лістинг:

q

w

117

Mx

My

Mxy

Qx

Qy

118

Додаток В. Варіанти завдань до розрахункової роботи №1 «Розрахунок балки на суцільній пружній основі»

Таблиця В.1 – Чисельні дані задачі

		Розміри ділянок					Розміри		Навантаження			Склад пружної
Варіант			балки, м				перерізу, см					основи
		a		b		c	b	h	M,	P,	q,
									кН·м	кН	кН/м
	1	0,5		2,0		2,5	20	30	100	500	100	Глина волога
	2	2,0		0,5		2,4	21	31	110	600	100	Пісок крупн.
	3	1,6		1,5		1,9	22	32	120	700	100	Глина тверд.
	4	1,8		0,9		1,5	23	33	130	800	110	Пісок сер. крупн.
А	5	1,4		1,0		2,6	24	34	140	900	120	Суглинок
	6	2,7		0,3		2,0	25	35	150	1000	130	Пісок дрібн.
	7	2,9		0,8		1,3	26	36	160	1100	130	Супісь
	8	1,2		1,8		2,2	27	37	170	1200	140	Глина волога
	9	2,0		1,0		2,4	28	38	180	1300	140	Песок крупн.
	0	0,6		1,3		3,1	29	39	190	1500	150	Глина тверд.
	1	1,0		1,0		2,5	20	39	105	450	125	Пісок сер. крупн.
	2	0,9		1,2		2,4	21	38	115	550	135	Суглинок
	3	0,8		1,4		2,3	22	37	125	650	145	Пісок дрібн.
	4	0,7		1,6		2,2	23	36	135	750	155	Супісь
В	5	0,6		1,8		2,1	24	35	145	850	165	Глина волога
	6	0,5		2,0		2,0	25	34	155	950	175	Пісок крупн.
	7	1,0		1,1		2,4	26	33	165	1050	185	Глина тверд.
	8	1,2		0,8		2,5	27	32	175	1150	195	Пісок сер. крупн.
	9	1,5		0,5		2,6	28	31	185	1250	205	Суглинок
	0	1,4		0,4		2,7	29	30	195	1350	215	Пісок дрібн.
	1	3,0		2,0		1,0	25	40	95	370	215	Супісь
	2	2,9		2,2		0,9	26	46	85	470	205	Глина волога
	3	2,8		2,4		0,8	27	42	75	570	200	Пісок крупн.
	4	2,7		2,6		0,7	28	48	67	600	195	Глина тверд.
С	5	2,6		2,8		0,6	29	44	62	640	190	Пісок сер. крупн.
	6	2,5		3,0		0,5	25	45	60	620	180	Суглинок
	7	2,4		2,6		1,0	26	45	55	480	170	Пісок дрібн.
	8	2,3		2,8		0,9	27	40	50	270	160	Супісь
	9	2,2		3,0		0,8	28	41	54	850	150	Глина волога
	0	2,1		3,2		0,7	29	42	52	360	135	Пісок крупн.

В розрахунках прийняти Е=2·104 МПа, R=20 МПа, Rзр=10 МПа. Характеристики ґрунтів прийняти за табл. 1.1.

119