posobie_TU

2.5Питання до тестового контролю за навчальним модулем №2

2.1.В теорії розрахунку тонких пластин використовується:

А) гіпотеза прямих нормалей, гіпотеза про недеформованість серединної поверхні, гіпотеза про відсутність тиску між шарами пластини;

Б) гіпотеза жорсткого контуру, гіпотеза відсутності зсувів на серединній поверхні;

В) гіпотеза сплошності, однорідності, ізотропності; Г) гіпотеза про недеформованість серединної площини та гіпотеза

ізотропності.

2.2. Циліндричною жорсткістю пластинки є вираз:

А)	D		Eh2							;
		12(1				3		)
Б)	D		Eh3							;
		12(1			2		)
В)	D		Eh4							;
		12(1			2		)
Г)	D		Eh3							.
			12(1			4		)

2.3.У разі згину жорстких пластин для кожного краю встановлюється кількість граничних умов, що дорівнює:

А) трьом; Б) чотирьом; В) одному; Г) двом.

2.4.Для шарнірно опертого контуру пластинки граничні умови мають вигляд:

А) w 0 , wx 0 ; Б) w 0 , wx 0 ; В) w 0 , wx 0 ; Г) w 0 , wx 0 .

2.5.Для жорстко затисненого контуру пластинки граничні умови мають вигляд:

А) w 0 , wx 0 ; Б) w 0 , wx 0 ;

60

В) w 0 , wx 0 ; Г) w 0 , wx 0 .

2.6. Для вільного контуру у разі осесиметричного згину круглих пластинок граничні умови мають вигляд:

А)	dwdr	=0, w=0;
Б)	dwdr	=0, M r=0;
В)	Q=0, M r=0;
Г)	Q=0, dwdr =0.

2.7. Для затисненого контуру у разі осесиметричного згину круглих пластинок граничні умови мають вигляд:

А)	dwdr	=0, w=0;
Б)	dwdr	=0, M r=0;
В)	Q=0, M r=0;
Г)	Q=0, dwdr =0.

2.8.Диференціальне рівняння зігнутої поверхні пластинки має вигляд:

А) D 4 q ;

Б) D 4 q ;

В) D 4 qE .

Г) D 4 q / E .

2.9.У перерізі пластинки діє зусилля Mxy, яке називається: А) згинальним моментом; Б) поперечною силою; В) крутильним моментом; Г) розтягуючою силою.

2.10.Величина D, яка входить в рівняння Софі Жермен-Лагранжа, називається: А) діаметром; Б) циліндричною жорсткістю;

В) жорсткістю при згині; Г) жорсткістю при зрушенні;

Д) характеристикою матеріалу пластинки.

61

2.11.У поперечному перерізі тонкої пластинки при згині діють комбінації внутрішніх силових чинників:

А) крутильний і згинальний момент; Б) згинальний момент і поперечні сили;

В) згинальні та крутильні моменти, а також поперечні сили; Г) згинальні та крутильні моменти, а також розтягуючі сили; Д) згинальний момент, а також розтягуючі сили.

2.12.При інтегруванні основного рівняння пластинки довільні постійні визначаються:

А) з рівняння Леві; Б) з умов на контурі пластинки;

В) залежно від прикладеного навантаження; Г) з використанням функції напружень; Д) залежно від товщини пластинки.

2.13.У полярній системі координат положення точки на площині характеризується:

А) радіус-вектором r і координатою х; Б) полярним кутом θ і радіус-вектором r; В) координатами x, y;

Г) координатою x; Д) координатою y.

2.14.Розрахунковий момент за четвертою теорією міцності для кільцевої пластинки визначається за допомогою формули:

А)	M розр	M r2 M 2 ;
Б)	M розр	M r2 M 2	M r M ;
В)	M розр	M r2 M 2	M r M ;
Г)	M розр	M r2 M 2	M r M .

2.15.Функція прогину серединної поверхні осесиметричної кільцевої пластинки залежить від координат:

А) x; Б) r; В) r, θ; Г) θ; Д) y.

2.16.Функція прогину серединної поверхні прямокутної пластинки залежить від координат:

А) x; Б) x, y; В) r, θ; Г) θ.

62

Навчальний модуль 3. Розрахунок балок на динамічні навантаження

3.1Стислі теоретичні відомості

3.1.1Власні коливання балочних систем з одним ступенем вільності

У загальній теорії коливань пружних систем звичайно роздільно розглядаються системи з одним ступенем вільності, а також більш точні моделі

– з кінцевим та нескінченним числом ступенів вільності. У випадку присутності, наприклад, на балочних конструкціях зосереджених вантажів з масами, що істотно перевищують масу самої балки, задачу приводять до системи з кінцевим числом ступенів вільності, ігноруючи при цьому розподілену масу конструкції, та вважаючи її «невагомою» балкою.

Системою з одним ступенем вільності називається така система, геометричне положення маси якої в будь-який момент часу визначається лише однією координатою. Така система є найпростішим ідеалізованим випадком коливальної системи (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Динамічні моделі з одним ступенем вільності: а) невагома консольна балка із зосередженою на краю масою; б) шарнірно обперта невагома балка із зосередженою масою

У випадку відсутності зовнішнього збурюючого навантаження коливання називаються вільними або власними. Диференціальне рівняння руху маси при власних коливаннях систем з одним ступенем вільності без урахування сил опору руху має вигляд:

	2		(3.1)
y t y t 0 .
Рішення цього рівняння можна представити у вигляді:
y t Asin t		,	(3.2)

де А, і – відповідно амплітуда, кругова (кутова) частота і початкова фаза коливань.

Власні коливання виникають при наданні системі деяких початкових збурюючих параметрів – початкового переміщення y0 і початкової швидкості V0. При цьому характеристики процесу коливань визначаться як:

	1			g	,	(3.3)
	M	11		f

63

A	2		V 2	,	(3.4)
	y0		02
tg		y0	,		(3.5)
		V0

де g – прискорення вільного падіння (g=9,81 м/с2).

Очевидно, що для використання цих формул необхідно знати величину 11 – прогину балки в точці закріплення маси від одиничної сили, прикладеної в тій же точці, або такий же прогин балки f обчислений від дії сили ваги вантажу –

f= 11 Mg.

Лінійна частота коливань пов'язана з круговою частотою коливань залежністю:

					.	(3.6)
			2
Маючи закон переміщення маси у часі (3.2), можна знайти силу інерції
маси при коливаннях	Pin M	d 2 y
				. Сила інерції		маси є динамічним
		dt	2

навантаженням, на дію якого спільно зі статичним навантаженням здійснюється розрахунок конструкцій на міцність і жорсткість.

3.1.2 Вимушені коливання балочних систем з одним ступенем вільності

У випадку впливу на систему деякого збурюючого навантаження, інтенсивністю q(z, t), диференціальне рівняння руху маси приймає вигляд:

y t 2 y t 2 l 1z q(z,t)dz .

0

Рішення цього рівняння приводить до рівняння руху маси при коливаннях:

w(t) l	1z dz l	q(z, )sin (t )d ,		(3.7)
0	0
де – перемінна інтегрування.
Звідси диференціюванням можна знайти силу інерції маси			Pin M	d 2 w
				dt	2 .

При розрахунках очевидно важлива така інерційна сила, яка спільно зі статичною складовою зовнішнього навантаження викликає найбільші зусилля і переміщення в конструкції. У цьому зв'язку зручно використовувати динамічний коефіцієнт kд, який дорівнює:

kä	1P Pin 11 ,	(3.8)
	1P

де 1Р – переміщення точки закріплення маси від прикладеного статично зовнішнього навантаження.

Розглянемо окремі випадки дії збурюючої сили.

64

У випадку раптово прикладеного навантаження, що не змінюється в часі,

рівняння (3.7) прийме вигляд:
w(t) 1P 1 cos t .	(3.9)

Утому випадку, коли навантаження раптово знімається, система робить не

вимушені, а власні коливання, початкові умови яких y0= 1P і v0 =0. Інші параметри визначаються за формулами (3.2)-(3.5).

Увипадку впливу деякого гармонійного навантаження q(z,t) q(z) sin t з

частотою вимушених коливань , рішення рівняння (3.7) призведе до рівняння руху маси у вигляді:

w(z,t) 1P sin t ,

(3.10)

де 1Р – переміщення точки закріплення маси від статично прикладеного зовнішнього навантаження, узятого по своєму амплітудному значенню,– коефіцієнт наростання коливань, що характеризує співвідношення значень вимушеної та власної частот коливань:

		1
			2 .			(3.11)
1

Очевидно, що при = , одержимо та w(z, t) . Таке явище

називається резонансом. При врахуванні у рівнянні (3.6) сил опору руху – дисипативних сил, величина w(z, t) не дорівнює нескінченності, а має цілком

певне значення.

Розглянемо випадок ударних навантажень від деякої вільно падаючої маси M на систему із зосередженою масою M0 з висоти h. В інженерній практиці часто застосовують так звану технічну теорію удару, яка має ряд припущень:

при співударянні тіло, що ударяє, рухається разом з тілом, що зазнає удару, до розвитку найбільших деформацій. При цьому відсутні пружні хвилі у тілах і пов'язаних з ними відскоки тіла, що ударяє. Такий удар називають непружним ударом;

на протягу всього часу деформування тіл при співударянні залежність між деформаціями та зусиллями, що виникають в тілах, відповідає закону Гука, а самі деформації поширюються по всьому об'єму тіл;

кінетична енергія, яку мало тіло, що ударяє, до моменту удару, дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії тіл після удару. При цьому нехтують витратами енергії на зміну температури тіл, місцеві пластичні деформації та ін.

система тіл при співударянні має один ступень вільності, тобто положення системи визначається тільки однією координатою.

В момент удару швидкість маси M складає 2gh . У випадку, якщо

удар є непружним, то швидкість системи мас M+M0 за законом збереження імпульсу зменшиться в разів:

	M
	M M 0 .	(3.12)

65

Коефіцієнт прийнято називати коефіцієнтом передачі енергії. Для визначення максимальної сили інерції можна окремо розглянути два процеси коливань: власні коливання отриманої системи мас M+M0 при початковій

швидкості 0 2gh і вимушені коливання системи мас M+M0 при

раптовому прикладенні сили ваги падаючої маси Q=Mg. У результаті такого підсумовування рішень (3.2) і (3.9) нескладно одержати формулу динамічного коефіцієнта при ударі:

	kд 1	1	V 2	1	1	2h	,	(3.13)
			fg			f

де f – переміщення точки закріплення маси від статично прикладеної сили

ваги падаючої маси Q=Mg. Очевидно, що f=Q 11=Mg 11.

Важливо відзначити, що на динамічний коефіцієнт при розрахунках варто множити тільки вагу падаючої маси – Mg і приймати таке навантаження при

розрахунках як умовно статичне Pд kдMg . Прикладення до вихідної системи

навантаження Pд еквівалентно дії сил інерції мас системи при коливаннях і раптово прикладеної сили ваги падаючої маси Q=Mg. Таким чином Pд характеризує тільки додаткове навантаження від впливу падаючої маси. Тому, якщо до динамічного впливу до системи були прикладені якісь навантаження, наприклад, від ваги маси M0, то їх вплив необхідно враховувати додатково.

Якщо маса, що ударяє, не викликає вертикальної складової переміщення, наприклад, при горизонтальному ударі, то динамічний коефіцієнт в (3.13) слід обчислювати без одиниць.

При рішенні задач для обчислення прогинів балок рекомендується застосування відомого способу Верещагіна [5, 6, 8]. Для чого будують епюри згинальних моментів від дії зовнішніх навантажень МР (вагова епюра) та

згинальних моментів від дії одиничної сили M 1 (одинична еюра), прикладеної в точці визначення прогину. На ваговій епюрі МР за правилом Верещагіна

виділяють прості фігури, для яких обчислюють площі i та визначають центри ваги. Під центрами ваги кожної простої фігури на одиничній епюрі M 1

визначають ординати mi . Прогин за способом Верещагіна визначається за формулою (3.14):

	1P (M P		)	i m		i	.	(3.14)
		M1
				EI

У дужках останньої формули наведено пояснення про епюри, які використовують в розрахунках. У випадку визначення прогинів 11 від дії одиничної сили в якості вагової епюри приймається одинична епюра, тобто

11 (M1 M1 ) EIi mi .

66

3.1.3 Наближений розрахунок балочних систем з нескінченною кількістю ступенів вільності

Система з розподіленою масою має кількість ступенів вільності, яка дорівнює нескінченності. У цьому випадку виникає нескінченне число форм (тонів) власних коливань із відповідними частотами. Динамічна модель у вигляді системи з розподіленою масою найбільше точно відображає динамічну поведінку реальної конструкції. Однак, у зв'язку із складністю математичного апарата для даної моделі (тут доводиться використовувати диференціальні рівняння в частинних похідних) її часто в інженерних розрахунках спрощують, використовуючи метод приведення мас. Він вводиться до заміни системи з багатьма або нескінченною кількістю ступенів вільності системою з одним ступенем вільності, що має приведену (еквівалентну) масу Mпр (рис. 3.2) у заданій точці споруди. Еквівалентність початкової та приведеної системи, як правило, встановлюється за величиною частоти коливань основного тону.

Рис. 3.2. Вихідна та приведена динамічна модель: а) вихідна динамічна модель; б) приведена (еквівалентна) динамічна модель

Існує багато методів одержання приведеної маси динамічної системи, зупинимося на методі переносу мас, запропонованого Донкерлеєм. Величина приведеної (еквівалентної) маси, розташованої в деякій точці А с координатою z=a, визначиться як:

	1	l
M пр					,	(3.15)
			m(z) zz dz M i ii
	аа		0

де аа – переміщення точки приведення мас – точки А, від одиничної сили, прикладеної в точці А, ii – переміщення точки розташування i-тої маси від одиничної сили, прикладеної в точці закріплення i-тої маси, zz – переміщення точки c координатою z від одиничної сили, прикладеної в тій же точці (з координатою z). Після визначення приведеної маси подальший розрахунок пружної системи виконується як для системи з одним ступенем вільності.

67

3.2 Рішення простих задач

3.2.1 Приклади рішення задач

Задача 3.1. Невагома балка із зосередженою масою М завантажена силою P (рис. 3.3), що раптово знімається. Знайти розрахунковий згинальний момент, підібрати поперечний переріз балки із двотавра та обчислити лінійну частоту власних коливань балки. Дані прийняти:

M=500кг, Р=10кН, l=3м, R=240МПа.

Рішення. Знайдемо статичне переміщення точки закріплення маси від впливу сили P за правилом Верещагіна (рис. 3.4а):

__			1		1		l	2			Pl
1 p (M 1 M P )
			EI x		2		4				4
			Pl3		.
		32EI x

Знайдемо величину переміщення точки закріплення маси від одиничної

сили, прикладеної в тій же точці (рис. 3.4б):

Рис. 3.3

Рис. 3.4

__	__	2 1				l		l		2		l			l3
11 (M 1	M 1 )															.
				2		4		2		3		4
		EIx													48EIx

Після зняття навантаження балка здійснює власні коливання при початкових умовах y0= 1P, 0=0. Амплітуда коливань відповідно до (3.4) –

	ц A 1Р , частота власних коливань за (3.3) –		1	. Прискорення маси
			M 11

при коливаннях одержимо двічі продиференціювавши рівняння руху (3.2): y t A 2 sin t 1 p 2 sin t .

Максимальна за модулем сила інерції маси виникає при sin t 1:

d 2 y

1

Pl

3

P M

M

1P

32EI

x

1,5P

.

dt 2

1P M

l3

in

11

11

48EI x

Максимальна за модулем величина згинального моменту – розрахунковий згинальний момент, визначиться від спільної дії сили ваги закріпленої маси Mg і максимального значення сили інерції маси, коли її напрямок буде збігатися з напрямком дії сили ваги маси. Для визначення моменту використовуємо раніше побудовану одиничну епюру моментів (рис. 3.4б):

68

M x,max Mg Pin 4l Mg 1,5P 4l 500 9,81 10 3 1,5 10 34 14,93 кНм.

Підбираємо поперечний переріз двотавра із умови міцності:

Wx,min	M x,max		14,93 10	3	5		3		3
			240 106	6,221 10		м		62,21 см		.
	R

Приймаємо за сортаментом двотавр №14 з Wx=81,7 см3, Ix=572 см4, m=13,7 кг/м.пог. Загальна маса двотаврової балки становить Mб=m 1,5l=13,7 1,5 3=61,6 кг, що набагато менше зосередженої маси M=500 кг, і, отже, система дійсно може вважатися системою з одним ступенем вільності.

Знайдемо кругову частоту власних коливань балки за (3.3):

		1		48EI x		48 2,06 1011 572 10 8	112,1	рад.
		M				500 33
				Ml3				с
		11

Лінійна частота власних коливань балки становить:

				112,1	17,85 Гц.
		2		2 3,14

Відповідь: Mx,max=14,93 кНм, двотавр 14, 17,85 Гц.

Задача 3.2. На сталеву стійку із двотавра №20 зі швидкістю V налітає маса М та утримується на ній при коливаннях (рис. 3.5). Знайти розрахунковий згинальний момент і перевірити поперечний переріз стійки за умовою міцності. Власною масою стійки знехтувати. Дані прийняти: V=1м/с, M=300кг, l=3м, R=240МПа.

Рішення. Після удару маси о стійку в унаслідок повідомлення стойці деякої початкової швидкості виникають власні коливання. З умов задачі стійку приймаємо невагомою, а удар непружним. Таким чином маємо систему з одним ступенем вільності.

Рівняння руху такої системи має вигляд (3.2).	Рис. 3.5
Знаходимо складові рівняння руху з початкових умов задачі. Початкове

переміщення y0=0, оскільки в момент удару стійка знаходилась у

недеформованому стані. Початкова		швидкість коливань маси на стійки
V0=V=1м/с, оскільки за рахунок відсутності мас стійки коефіцієнт передачі
енергії за (3.12) дорівнює нулю ( =0).
Знаходимо амплітуду коливань за (3.4):
A	y02	V 2		V	V
		0		0		.
		2

Початкова фаза визначиться за (3.5):

69