posobie_TU

v z 0,5 ( 1,7645 10 4 )·1,638073 0,305148 ( 34785) 1,6380733 0,0047396 1,62·108

1,62·10200008 1,638073 2 ·0,0465803 7,72·10 5 м;

z 0,5 ( 1,7645 10 4 ) 0,998553 ( 34785) 1,6380732 0,0465803 1,62 108

1,62·10200008 1,638073 0,305148 1,413·10 4 рад;

M z 0,5 ( 34785) 1,638073 0,305148 4 1,62·108 ( 1,7645 10 4 ) 0,0047396 1,638073

6 20000 0,998553 2,91кНм;

Q z 0,5 ( 34785) 0,998553 4 1,62 108 ( 1,7645 10 4 ) 0,0465803 1,6380732

	4	20000 0,0047396	32,98 кН.
	1,638073

Аналогічно визначаються значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на I ділянці для решти перерізів.

Визначимо значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на II ділянці: z=2,5 м;

	v z 2,5 ( 1,7645 10 4 ) 1,638073 1,25216							( 34785)		1,6380733 0,577209
								1,62 108
			20000		2	100 103				3
				1,638073 1,09472				8 1,638073 0,0047396
			8
		1,62 10				1,62 10
			100 103 1,6380738 4 0,998553 1 5,328 10 4 м;
					4 1,62 10
	z 2.5 ( 1,7645 10 4 ) 0,107434						( 34785)		1,638073 2 1,09472
								EJ
			20 103			100 103				2
					1,638073 1,25216	1,62 108 1,638073 0,0465803
			1,62 108

100 103 1,6380733 0,0047396 0 3,322·10 4 рад; 4 1,62 108

M z 2,5 ( 34785) 1,638073 1,25216 4 1,62 108 ( 1,7645 10 4 ) 0,577209 20 103 1,638073

0,107434 100·103 ·1,638073·0,305148 100·103 ·1,6380732 · 0,0465803 0 8,58 кНм;

20

Q	z 2,5	( 34785)	0,107434	4 1,62 108	( 1,7645 10 4 ) 1,09472	4
			1,6380732			1,638073

100 103 0,577209 100 103 0,998553 100 103 1,638073· 0,305148 0 64,59 кН.

Аналогічно визначаються значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на II ділянці для решти перерізів.

Результати обчислень зведемо в таблицю 1.7.

За даними таблиці 1.7 будуємо відповідні епюри (рис. 1.13). Після побудові епюр необхідно виконати перевірку правильності їх побудови

(див. п. 1.1.3).

Таблиця 1.7 (початок) – Значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (до РР№1, задача 1)

Номери	z, м	v(z), мм	φ(z), рад·10-3	M(z), кНм	Q(z), кН
перерізів
1	0	0	-0,1765	20,00	-34,79
2	0,5	-0,0772	-0,1413	2,91	-32,98
3	1	-0,1498	-0,1567	-12,44	-27,90
4	1.5	-0,2411	-0,2146	-24,39	-19,22
5	2-0	-0,3693	-0,3016	-30,85	-5,65
6	2+0	-0,3693	-0,3016	-30,85	94,35
7	2.5	-0,5328	-0,3322	8,58	64,59
8	3	-0,6847	-0,2621	34,97	42,12
9	3.5	-0,7840	-0,1262	51,67	25,42
10	4	-0,8044	0,0492	60,85	11,49
11	4.5	-0,7319	0,2422	62,96	-3,58
12	5	-0,5632	0,4290	56,36	-24,09
13	5.5	-0,3092	0,5773	37,27	-54,18
14	6	0	0,6404	0	-97,11

Для перевірки міцності балки необхідно визначити максимальне значення згинального моменту і поперечної сили. У даній розрахунковій роботі не будемо визначати реальні максимальні значення параметрів M і Q, вирішуючи відповідні рівняння, а приймемо максимальні значення внутрішніх зусиль у вибраних нами перерізах. З епюр отримуємо, що Mmax=62,96 кНм, Qmax=- 97,11 кН.

Перевірка міцності балки здійснюється за формулами:

– за максимальними нормальними напруженнями:

max M max R;

Wx

– за максимальними дотичними напруженнями:

			Q			S відр
max				max		x	Rзр;
				I x d

Визначимо необхідні геометричні характеристики балки:

– момент опору поперечного перерізу відносно осі х:

21

Рис. 1.13

22

Wx bh62 30·6602 18000 см3 0,018 м3;

– статичний момент половини поперечного перерізу відносно осі х:

відр		h h				bh2		30·602	13500	см	3	3	;
Sx	b·	2	·	4		8		8				0,0135 м

– момент інерції поперечного перерізу відносно осі х:

Ix bh3 30·603 5,4·105 см4 0,0054 м4 ; 12 12

– ширина перерізу в місці визначення напружень: d=30 см=0,3 м.

Підставивши обчислені значення, отримаємо:

– міцність за максимальними нормальними напруженнями:

max		Mmax			62960	3,5	10	6	Па 3,5 МПа R 20 МПа;
		Wx			0,018

– міцність за максимальними дотичними напруженнями:

max		Qmax		Sxвідр		97110·0,0135	8,093	10	5	Па 0,8093 МПа R зр 10 МПа.
		Ixd				0,0054·0,3

Міцність балки за максимальними нормальними і дотичними напруженнями забезпечена.

Задача 2.

Вихідні дані: балка на суцільній пружній основі навантажена, як показано на рис. 1.14. Основа – суглинок з коефіцієнтом жорсткості k0=300 МН/м3.

		Довжина балки l=6 м, переріз балки
		прямокутний,			розмірами
		bxh=30х50 см. Модуль			пружності
		матеріалу	балки	Е=30000 МПа.
		Розрахунковий опір матеріалу балки
	Рис. 1.14	R=20 МПа,	Rзр=10 МПа.		Необхідно
		побудувати епюри v(z), φ(z), M(z), Q(z) і
		перевірити міцність балки.

Рішення. Визначимо, до якого типу відноситься балка. Обчислимо параметр L:

4E

bh3

10

0,3·0,53

L 4

4EI x

4

12

4 4·3·10 ·

12

1,4287 м.

k0b

k0b

300·106 ·0,3

Оскільки згідно (1.4):

l 6м

0,8h

3

E

3·104

0,8 0,5·3

4,251м;

E0

25

23

Ll 1,42876 4,2 23 4,7124,

то дану балку необхідно розраховувати як коротку.

Для знаходження v(z), φ(z), M(z) і Q(z) короткої балки використовуємо метод початкових параметрів. Приймаємо початок координат на лівому кінці балки. Для визначення початкових параметрів v0, φ0, M0 і Q0 розглянемо умови закріплення балки. Маємо, що при z = 0 (а) Qz=0=-100 кН, (b) Mz=0=0; при z=l=6

м(с) vz=6=0, (d) φz=6=0.

Зперших двох граничних умов (a) і (b) отримаємо, що початкові

параметри Q0=-100 кН, M0=0.

Для визначення початкових параметрів v0, 0 складаємо рівняння на підставі двох інших граничних умов. Підставивши умову (с) в рівняння (1.21), отримаємо:

v		v Ф		6							LФ			6				Q		L3Ф			6
	z 6																	0
			0 1	L					0				2	L				EI			4	L						(1.36)
			M						4				qL4					4					0
				2
				L Ф3												Ф1					Ф1							0
			EI										4EI
								L										L					L

Підставивши умову (d) в рівняння (1.22), отримаємо:

Ф

6

Q

L2Ф

6

4v

Ф

6

z 6

0

0

L

0

1

L

EI

3

L

4 L

(1.37)

M

4

qL3

4

0

EI

LФ2

EI

Ф4

Ф4

0

L

L

L

Визначимо значення функцій Крилова при L6 , а також для проміжних

перерізів, в яких ми знаходитимемо v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (табл. 1.8). Балку розіб’ємо на частини довжиною 0,5 м. Також визначимо значення функцій Крилова в перерізах, розташованих нескінченно близько від меж ділянок.

Таблиця 1.8 (початок) – Значення функцій Крилова за (1.20) (РР№1, задача 2)

	Відстань до	Ф1(ξ)	Ф2(ξ)	Ф3(ξ)	Ф4(ξ)
	перерізу z, м
	0	1	0	0	0
	0,5	0,9975	0,3498	0,06123	0,0071
	1	0,9600	0,6943	0,2443	0,0571
	1,5	0,7981	1,0074	0,5437	0,1918
	2-0*	0,3658	1,2216	0,9381	0,4488
	2+0**	0,3658	1,2216	0,9381	0,4488
	2,5	-0,5277	1,2098	1,3726	0,8533
	3	-2,0910	0,7740	1,7357	1,4016
	3,5	-4,4940	-0,3522	1,8340	2,0376
	4	-7,7729	-2,4748	1,3728	2,6204

24

Таблиця 1.8 (закінчення) – Значення функцій Крилова за (1.20) (РР№1, задача 2)

	Відстань до	Ф1(ξ)	Ф2(ξ)	Ф3(ξ)	Ф4(ξ)
	перерізу z, м
	4,5	-11,6853	-5,8684	-0,04703	2,8870
	5	-15,5162	-10,6468	-2,8976	2,4206
	5,5	-17,8503	-16,5576	-7,6336	0,6383
	6	-16,3561	-22,6982	-14,5174	-3,1750

*– переріз розташовано нескінченно близько зліва від z=2м;

**– переріз розташовано нескінченно близько справа від z=2м.

Підставивши значення діючих на балку навантажень і знайдених значень функцій Крилова в (1.36) і (1.37), отримаємо систему рівнянь:

			4
16,3561 0 32,4289 0 4,686·10				0;
					(1.38)
	16,3561 0 2,42113·10	2		0.
8,8892 0
Вирішивши систему	рівнянь (1.38), знайдемо початкові параметри

v0=–1,4265 мм, φ0=7,0501·10-4 рад.

Для побудови епюр v(z), φ(z), M(z) і Q(z) розіб'ємо балку на ділянки і запишемо рівняння для знаходження v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на кожній ділянці.

Балка має 2 ділянки. I ділянка:

v

z

v Ф ( )

LФ ( )

Q0

L3Ф ( );

(1.39)

0

1

0

2

EI

4

Q0

z

Ф ( )

L2Ф ( )

4v0

Ф ( );

(1.40)

0 1

EI

3

L

4

M

z

Q LФ ( )

4EI

v Ф ( )

4EI

Ф ( );

(1.41)

0

2

L2

0

3

L

0 4

Q z Q0Ф1 ( )

4EI

v0Ф2 ( )

4EI

0Ф3 ( ).

(1.42)

L3

L2

II ділянка:

v z v0Ф1( ) 0LФ2 ( ) Q0

L3Ф4

( ) M L2Ф3( )

EI

EI

(1.43)

4

qL

Ф (

п

) Ф (

) ;

4EI

1

1

к

z 0Ф1

( ) Q0

L2Ф3( )

4v0

Ф4 ( )

M LФ2 ( )

EI

L

EI

(1.44)

3

) Ф (

) ;

qL Ф (

п

к

EI

4

4

25

M

z

Q LФ ( )

4EI v Ф ( )

4EI Ф ( ) MФ ( )

0 2

L2

0 3

L

0 4

1

(1.45)

qL2 Ф (

) Ф (

) ;

к

3 п

3

Q

Q Ф ( )

4EI v Ф ( )

4EI

Ф ( )

4

MФ ( )

2

z

0 1

3

0 2

0 3

L

4

(1.46)

L

L

qL Ф2 ( п ) Ф2 ( к ) .

Підставивши в отримані рівняння (1.39)–(1.46) значення навантажень, відстані до перерізів z і відповідні ним значення функцій Крилова, обчислимо

значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) у вибраних перерізах. Визначимо значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на I ділянці:

z=0,5 м;

v z 0,5 ( 1,4265 10 3 ) 0,9975 7,0501 10 4 ·1,4287 0,3498

( 1000007)·1,4287 3 0,0071 1,0927·10 3 м; 9,375·10

z 0,5 7,0501 10 4 0,9975 ( 1000007)·1,42872 0,06123 9,375 10

4·( 1,4265·10 3 ) 0,0071 5,9829·10 4 рад; 1,4287

M z 0,5 ( 100000) 1,4287 0,3498 4 9,375·107 ·( 1,4265 10 3 ) 0,06123 1,42872

4·9,375·107 ·7,0501·10 4 0,0071 35,243кНм; 1,4287

Q z 0,5 ( 100000) 0,9975 4 9,375 107 ·( 1,4265 10 3 ) 0,3498 1,42873

4 9,375 107 7,0501·10 4 0,06123 43,515 кН. 1,4287 2

Аналогічно визначаються значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на I ділянці для решти перерізів.

Визначимо значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на II ділянці: z=2,5 м;

v z 2,5 ( 1,4265 10 3 ) ( 0,5277) 7,0501 10 4							1,4287 1,2098
	( 100 103 )	3	0,8533	20000		2	0,06123
	9,375 107	·1,4287			·1,4287
				9,375 107

26

100 103 1,42874 · 0,9975 1 7,1243 10 4 м; 4 9,375 107

z 2.5		7,0501 10	4	( 0,5277)				( 100·103 )		·1,4287	2	1,3726
								9,375·107
	4·( 1,4265·10 3 )				·0,8533		20 103		·1,4287 0,3498
		1,4287					9,375 107
		100 103 1,4287 3				· 0,0071		0 8,132·10 5 рад;
		9,375 107

M z 2,5 ( 100·10 3 ) 1,4287 1,2098 4 9,375 107 ·( 1,4265 10 3 ) 1,3726 1,42872

4 9,375 107 ·7,0501 10 4 0,8533 20·103 ·0,9975 1,4287

100·103 ·1,42872 · 0,06123 0 3,474 кНм;

Q		( 100·103 ) ( 0,5277) 4 9,375 107						·( 1,4265 10 3 ) 1,2098
z 2,5					1,42873
		4 9,375 107	·7,0501 10	4	1,3726		4		·20 10	3	0,0071
		1,42872				1,4287

100 103 1,4287· 0,3498 0 47,328 кН.

Аналогічно визначаються значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на II ділянці для решти перерізів.

Результати обчислень зведемо в таблицю 1.9.

За даними таблиці 1.9 будуємо відповідні епюри (рис. 1.15). Після побудові епюр необхідно виконати перевірку правильності їх побудови

(див. п. 1.1.3).

Таблиця 1.9 (початок) – Значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (РР№1, задача 2)

	Номери	z, м	v(z), мм	φ(z),	M(z), кНм	Q(z), кН
	перерізі
				рад·10-3
	в
	1	0	-1,4265	0,7050	0,00	-100,00
	2	0,5	-1,0928	0,5985	-35,25	-43,52
	3	1	-0,8476	0,3729	-45,74	-0,29
	4	1.5	-0,7202	0,1447	-36,94	34,56
	5	2-0	-0,6877	0,0079	-11,75	65,98
	6	2+0	-0,6877	0,0079	-31,75	65,98
	7	2.5	-0,7125	-0,0819	-3,47	47,31
	8	3	-0,7485	-0,0451	15,85	30,25
	9	3.5	-0,7441	0,0726	26,93	14,06

27

Рис. 1.15

28

Таблиця 1.9 (закінчення) – Значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (РР№1, задача 2)

	Номери	z, м	v(z), мм	φ(z),	M(z), кНм	Q(z), кН
	перерізі
				рад·10-3
	в
	10	4	-0,6697	0,2274	29,63	-3,84
	11	4.5	-0,5185	0,3708	22,24	-26,83
	12	5	-0,3110	0,4408	1,42	-58,04
	13	5.5	-0,1037	0,3539	-37,42	-98,86
	14	6	0	0	-98,72	-147,16

Для перевірки міцності балки необхідно визначити максимальне значення згинального моменту і поперечної сили. У даній розрахунковій роботі не будемо визначати реальні максимальні значення параметрів M і Q, вирішуючи відповідні рівняння, а приймемо максимальні значення внутрішніх зусиль у вибраних нами перерізах. З епюр отримуємо, що Mmax=98,7 кНм, Qmax=- 147,2 кН.

Перевірка міцності балки здійснюється за формулами:

– за максимальними нормальними напруженнями:

max M max R;

Wx

– за максимальними дотичними напруженнями:

			Q			S відр
max				max		x	Rзр;
				I x d

Визначимо необхідні геометричні характеристики балки:

– момент опору поперечного перерізу відносно осі х:

Wx bh62 30·6502 12500 см3 0,0125 м3 ;

– статичний момент половини поперечного перерізу відносно осі х:

відр		h h				bh2		30·502	9375	см	3	3	;
Sx	b·	2	·	4		8		8				0,009375м

– момент інерції поперечного перерізу відносно осі х:

I x	bh3		30·503	3,125·10	5	см	4	0,003125 м	4	;
	12		12

– ширина перерізу в місці визначення напружень: d=30 см=0,3 м.

Підставивши обчислені значення, отримаємо:

– міцність за максимальними нормальними напруженнями:

max		M max			98700	7,896	10	6	Па 7,896 МПа R 20 МПа;
		Wx			0,0125

29