posobie_TU

Функція	Похідна							Інтеграл
Ф1(ξ)	4					Ф4		LФ2
				L
Ф2(ξ)	1				Ф1			LФ3
			L
Ф3(ξ)	1				Ф2			LФ4
			L
Ф4(ξ)	1				Ф				L	Ф
			L
					3			4		1

Враховуючи, що на балку можуть діяти декілька моментів, зосереджених і рівномірно розподілених навантажень, остаточні рівняння методу початкових параметрів для балки на пружній основі (рис. 1.4) можна записати в наступному вигляді:

v

v0Ф1( ) 0 LФ2 ( )

M0

L2Ф3 ( )

Q0

L3Ф4 ( )

Mi

L2Ф3 ( mi )

EI

EI

EI

P

к qL3

i

L3Ф4 ( pi

) п EI Ф4 ( 4 )d ;

EI

Ф( )

M0

LФ ( ) Q0

L2Ф ( )

4v0

Ф ( )

Mi

LФ (

)

0 1

EI

2

EI

3

L

4

EI

2

mi

P

к qL2

i

L2Ф3 ( pi

) п EI Ф3 ( 4 )d ;

EI

M M 0Ф1 ( ) Q0 LФ2 ( )

4EI

v0Ф3 ( )

4EI

0Ф4 ( ) MiФ1 ( mi )

2

L

L

Pi LФ2 ( pi ) пк qLФ2 ( 4 )d ;

Q Q0Ф1 ( ) 4EI3

v0Ф2 ( )

4EI2 0Ф3 ( )

4

M 0Ф4 ( )

4

MiФ4 ( mi )

L

L

L

L

PiФ1 ( pi ) пк qФ1 ( 4 )d .

Величини ξ, ξm, ξp, ξп, ξк – див. рис. 1.5.

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

Правила користування даними рівняннями такі ж, як і для методу початкових параметрів для звичайних статично визначених балок:

а) знаки в рівняннях перед навантаженнями визначаються за правилом знаків для згинальних моментів;

б) у рівняння включаємо навантаження, які розташовані між початком координат і перерізом, для якого визначаються v(z), φ(z), M(z) або Q(z).

10

Рис. 1.5. Розрахункова схема короткої балки

Початкові параметри v0, φ0, M0 і Q0 знаходяться в залежності від умов закріплення балки (граничних умов). Нижче в таблиці 1.3 наведені деякі типи закріплень.

Таблиця 1.3 – Деякі типи закріплень

z=0	z=l	z=0	z=l	z=0	z=l
v≠0	v≠0	v=0	v=0	v=0	v≠0
φ≠0	φ≠0	φ≠0	φ≠0	φ=0	φ=0
M=M1	M=M1	M=M1	M=M1	M≠M1≠0	M≠M1≠0
Q=P	Q=P	Q≠0	Q≠0	Q≠P≠0	Q=P

Побудовані за залежностями (1.21)-(1.24) епюри v(z), φ(z), M(z), Q(z) повинні відповідати початковому диференційному рівнянню (1.2). Перевірка правильності побудови епюр виконується на підставі диференційних залежностей між параметрами v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (див. курс опору матеріалів):

dv

z

d 2v

d

z

d 3v

d 2

z

dM

z

z

;

z

EI

EI M

z

;

z

EI

EI

Q

.

dz

dz2

dz

dz3

dz2

dz

z

Перевірка правильності побудови епюри Q(z).

У перерізі під зосередженим навантаженням на епюрі Q(z) спостерігається стрибок, значення якого дорівнює значенню прикладеного навантаження.

11

Перевірка правильності побудови епюри М(z).

1. У перерізі під прикладеним зосередженим моментом на епюрі М(z) спостерігається стрибок, значення якого дорівнює значенню прикладеного моменту.

2. У перерізі, де поперечна сила дорівнює нулю (Q(z)=0), момент приймає екстремальне (максимальне або мінімальне) значення.

3. На ділянках балки, де поперечна сила більше нуля, значення моменту зростають, а на ділянках балки, де поперечна сила менше нуля, значення моменту зменшуються.

Перевірка правильності побудови епюри φ(z).

1. У перерізі, де згинальний момент дорівнює нулю (М(z)=0), функція кутів повороту приймає екстремальне (максимальне або мінімальне) значення.

2. На ділянках балки, де згинальний момент більше нуля, функція φ(z) зростає, а на ділянках балки, де згинальний момент менше нуля, функція φ(z) зменшується.

3. На ділянках балки, де поперечна сила більше нуля, функція φ(z) увігнута, а на ділянках балки, де поперечна сила менше нуля, функція φ(z) опукла.

Перевірка правильності побудови епюри v(z).

1. У перерізі, де функція φ(z) дорівнює нулю (φ(z)=0), функція v(z) приймає екстремальне (максимальне або мінімальне) значення.

2. На ділянках балки, де функція φ(z) більше нуля, функція v(z) зростає, а на ділянках балки, де функція φ(z) менше нуля, функція v(z) зменшується.

3. На ділянках балки, де згинальний момент більше нуля, функція v(z) увігнута, а на ділянках балки, де згинальний момент менше нуля, функція v(z) опукла.

1.2 Рішення простих задач

1.2.1 Приклади рішення задач

	Задача 1.1. Балка з двотавра №24, довжиною
	8 м, навантажена посередині зосередженою силою
	Р=100 кН (рис. 1.6). Модуль пружності матеріалу
	балки E=2·105 МПа.		Основа	– пісок	середньої
	крупності з	коефіцієнтом		жорсткості основи
Рис. 1.6	k=20 МПа.	Найти	максимальний		згинаючий
	момент і поперечну силу в балці. Знайти

допустиме значення сили Рдоп з умови міцності за нормальними напруженнями (розрахунковий опір балки прийняти R=200 МПа). Розрахунок провести як для нескінченно довгої балки.

Рішення.

Оскільки в умові сказано, що балку необхідно розрахувати як нескінченно довгу, то скористаємося відповідними рівняннями (1.7) і (1.8).

12

Параметр L обчислимо за формулою:

L 4	4EI	4	4 2·1011·3460·10 8	1,0846 м.
	k		20·106

Максимальні значення як згинального моменту, так і поперечної сили спостерігаються під точкою прикладення сили (див. рис. 1.2), тобто, якщо взяти початок координат в точці прикладення сили, то максимальні значення M і Q будуть при ξ=0. Підставивши в рівняння (1.7) і (1.8) значення ξ=0, отримаємо:

Mmax

PL

e

(cos sin )

100·103·1,0846

0

·(cos0

sin0)

27,12 кНм.

4

4

·e

Qmax P e cos

100·103

·e 0·cos0 50 кН.

2

2

Умова міцності балки за нормальними напруженнями записується як:

Mmax

R,

W

де

Mmax

PдопL

e (cos sin )

PдопxL

e 0

(cos0

sin0)

PдопL

; W=289 см3

(для

4

4

4

двотавра №24).

З врахуванням виразу для Mmax умова міцності запишеться:

	P	L	R →	Pдоп	4WR		4·289·10 6 ·200·106	213,2 кН.
	доп				L		1,0846
	4W

Відповідь: Mmax=27,12 кНм, Qmax= –50 кН; Рдоп=213,2 кН.

Задача 1.2. Балка лежить на
суцільній	пружній			основі		і
навантажена, як показано на рис. 1.7.
Основа – пісок середньої крупності з
коефіцієнтом		жорсткості			основи
k=18 МПа.		Модуль		пружності
матеріалу	балки		Е=30000 МПа.
Розглядаючи її як коротку балку,
необхідно	визначити				початкові
параметри і прогин балки в перерізі,
розташованому		нескінченно			близько		Рис. 1.7
праворуч від		точки		прикладення

зосередженого навантаження Р.

Рішення.

Приймемо початок координат на лівому кінці балки. Визначимо початкові параметри. Відповідно до умов закріплення при z=0 (а) v=0, (b) M=0; при z=l=7 м, (c) M=-20 кНм, (d) Q=0. З граничних умов (а) і (b) виходить, що початкові

13

параметри v0=0, M0=0. Для визначення початкових параметрів φ0 і Q0 складаємо рівняння (1.23), (1.24) на підставі двох останніх граничних умов (c) і (d):

		7		4EI		7			5	2			7			2
M Q0 LФ2	(		)		0Ф4 (		) PLФ2	(		) qL	Ф3	(		) Ф3	(		)	20 кНм
		L		L		L			L				L
																L

	7		4EI		7			5			7			2
Q Q0Ф1 (		)	2	0Ф3 (		) PФ1	(		) qL Ф2	(		) Ф2	(		)	0.
	L				L			L			L
			L											L

Визначимо			значення		функцій				Крилова						для			0		,		2		,			5		и		7
																		L									L				L
																						L
(табл. 1.4). Для цього визначимо значення параметру L:
					bh3						10			0,4 0,63
	L 4		4EI 4	4 E		12			4 4 3·10				·		12		2,6322 м.
										18·106
			k		k
Таблиця 1.4 – Значення функцій Крилова за (1.20) (до задачі №1.1)
z, м			Ф1(ξ)						Ф2(ξ)							Ф3(ξ)										Ф4(ξ)
			1						0							0											0
2			0,9445				0,7514									0,2876									0,0730
5			-1,103						1,089							1,546										1,072
7			-6,361						-1,485							1,648										2,407
Підставивши значення навантажень і функцій Крилова у відповідних
перерізах, отримаємо систему рівнянь:
M z 7											8				3.909Q0										5
	20000 Нм;						7.901·10					0								6.359·10						0;
	0.																				4.784·105						0.
Qz 7							6.361Q 2.0551·108													0
									0

Вирішивши систему, отримаємо Q0=120,5 кН, φ0=-1,401·10-3 рад. Використовуючи рівняння (1.21) запишемо вираз для визначення vz для

указаного перерізу, розташованого на відстані 2 м від початку координат:

2

Q

2

P

0

qL4

2

0

vz 2 0 LФ2 (

)

0 L3Ф4 (

)

L3Ф4

(

)

Ф1

(

) Ф1 (

)

1,72 мм

L

L

EI

L

L

L

EI

4EI

Відповідь: v0=0; φ0 =3,29·10-4 рад; M0=0; Q0=42,5 кН; vz=2=-1,72 мм.

Задача 1.3. Балка на суцільній

пружній основі навантажена рівномірно

розподіленим навантаженням q=20 кН/м

(рис. 1.8). Основа – пісок середньої

крупності

з

жорсткістю

основи

k=18 МПа.

Знайти поперечну силу в

перерізі

балки,

розташованому

Рис. 1.8

нескінченно

близько

справа

від

лівої

опори.3 Модуль пружності матеріалу балки Е=30000 МПа.

14

Рішення. Визначимо, до якого типу відноситься дана балка. Для цього обчислимо параметр L:

	4EI		4 E	bh3		4 2·	0,4 0,63
L 4		4		12	4		12	4,2295 м.
	k		k			18·106

Оскільки, згідно з (1.4):

l 8м			0,8h		3	E			3·104
								0,8 0,6·3		40 4,3611м.
						E
						0
	l			8				1,8915	3	4,7124,
	L		4,22949						2

то дану балку необхідно розраховувати як коротку.

Приймаємо початок координат на лівому кінці балки. Поперечна сила в перерізі балки, розташованому нескінченно близько справа від лівої опори, буде дорівнювати початковому параметру Q0. Початковий параметр Q0 визначимо з урахуванням умов закріплення балки. Відповідно до умов

закріплення при z=0 (а) v(z=0)=0, (b) M(z=0)=0; при z=l=8 м, (c) v(z=i)=0, (d) M(z=l)=0.

З граничних умов (а) і (b) виходить, що початкові параметри v0=0, M0=0. Для визначення початкового параметра Q0 складаємо рівняння (1.22), (1.24) на підставі двох останніх граничних умов (c) і (d):

v z l 0 LФ2 (

l

Q

L3Ф4 (

l

qL4

u

u

)

0

)

Ф1 (

п

) Ф1 (

к

)

0;

L

L

EI

4EI

L

L

l

4EI

l

2

uп

) Ф3

uк

M z l Q0 LФ2

(

)

0Ф4 (

)

qL

Ф3

(

L

(

L

)

0.

L

L

L

0

8

Визначимо значення функцій Крилова для

и

(табл. 1.5).

L

L

Таблиця 1.5 – Значення функцій Крилова за (1.20) (до задачі 1.2.)

z, м

Ф1(ξ)

Ф2(ξ)

Ф3(ξ)

Ф4(ξ)

0

0

1

0

0

0

8

1,8915

-1,0685

1,0980

1,5370

1,0595

Підставивши значення навантажень і функцій Крилова у відповідних перерізах, отримаємо систему рівнянь:

v

0;

55.6708·10

9

Q0

2.2984·10

3

0;

z 8

4.6443 0

1.443·109

0.5499·106

0.

M z 8 0.

4.6443Q

0

0

Вирішивши систему, отримаємо Q0=12,979 кН.

Відповідь: Q0=12,979 кН.

15

	1.2.2 Задачі для самостійної роботи
	Задача С1.1. Балка з двотавра №20,
	довжиною 6 м, навантажена зосередженою силою
	Р=80 кН (рис. 1.9). Модуль пружності матеріалу
	балки E=2·105 МПа. Основа – супісь. Найти
	максимальний згинаючий момент і поперечну
Рис. 1.9	силу в балці. Знайти допустиме значення сили Рдоп
	з умови міцності за нормальними напруженнями

(розрахунковий опір балки прийняти R=200 МПа). Розрахунок провести як для нескінченно довгої балки.

Задача С1.2. Балка лежить на суцільній пружній основі і навантажена, як показано на рис. 1.10. Основа – пісок середньої

крупності	з	коефіцієнтом
жорсткості	основи	k=18 МПа.

Модуль пружності матеріалу балки Е=30000 МПа. Розглядаючи її як коротку балку, необхідно визначити початкові параметри і кут повороту балки в перерізі, розташованому нескінченно близько праворуч від лівої опори.

Задача С1.3. Балка на суцільній пружній основі навантажена рівномірно розподіленим навантаженням q=20 кН/м (рис. 1.11). Основа – суглинки з жорсткістю основи k=18 МПа. Знайти поперечну силу на лівій опорі. Модуль пружності матеріалу балки прийняти

Е=30000 МПа.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

1.3 Розрахункова робота №1 «Розрахунок балки на суцільній пружній основі»

1.3.1 Зміст роботи

Дві балки на суцільній пружній основі навантажені, як вказано у завданні. Для балок відомі: довжина, розміри поперечного перерізу, характеристики матеріалу. Необхідно побудувати епюри v(z), φ(z), M(z) і Q(z) і перевірити міцність балок за максимальними нормальними і дотичними напруженнями. Вихідні дані прийняти за варіантом у Додатку В.

16

1.3.2Порядок виконання роботи

1.Перевірити, до якого типу відноситься балка (нескінченно довга або коротка).

2.Вибрати систему координат, записати граничні умови і знайти початкові параметри.

3.Розбити балку на ділянки, для кожної ділянки записати вирази для

визначення v(z), φ(z), M(z) і Q(z).

4.Побудувати епюри v(z), φ(z), M(z) і Q(z).

5.Перевірити міцність балки за максимальними нормальними і дотичними напруженнями.

1.3.3 Приклад виконання роботи

Задача 1.

Вихідні дані: балка на суцільній пружній основі навантажена, як показано на рис. 1.12. Основа – суглинок з коефіцієнтом жорсткості k0=300 МН/м3.

		Довжина балки l=6 м, переріз балки
		прямокутний,			розмірами
		bxh=30х60 см. Модуль			пружності
		матеріалу	балки	Е=30000 МПа.
		Розрахунковий опір матеріалу балки
	Рис. 1.12	R=20 МПа,	Rзр=10 МПа.		Необхідно
		побудувати епюри v(z), φ(z), M(z), Q(z) і
		перевірити міцність балки.

Рішення. Визначимо, до якого типу відноситься балка. Обчислимо параметр L:

4E

bh3

10

0,3·0,63

L 4

4EI x

4

12

4

4·3·10

·

12

1,6380 м.

k0b

k0b

300·106 ·0,3

Оскільки згідно (1.4):

l 8м

0,8h

3

E

3·104

0,8 0,6·3

25 5,101м;

E

0

l

6

3,663 3

4,7124,

L

1,638073

2

то дану балку необхідно розраховувати як коротку.

Для знаходження v(z), φ(z), M(z) і Q(z) короткої балки використовуємо метод початкових параметрів. Приймаємо початок координат на лівому кінці балки. Для визначення початкових параметрів v0, φ0, M0 і Q0 розглянемо умови

закріплення балки. Маємо, що при z = 0 (а) vz=0=0, (b) Mz=0= М; при z=l=6 м (с) vz=6=0, (d) Mz=6= 0.

З перших двох граничних умов (a) і (b) отримаємо, що початкові параметри v0=0, M0=20 кНм.

17

Для визначення початкових параметрів 0, Q0 складаємо рівняння на підставі двох інших граничних умов (оскільки v0=0, M0=0, то їх участь в рівняннях виключаємо). Підставивши умову (с) в рівняння (1.21), отримаємо:

					6				M0		2		6					Q0		3	6
v z 6		0 LФ2 (						)		L Ф3			(		)					L Ф4	(		)
						L			EI					L				EI				L
	P	3		4			qL4				4						0				(1.25)
		L Ф4	(		)				Ф1 (			) Ф1				(			)	0.
	EI			L							L
							4EI										L

Підставивши умову (d) в рівняння (1.23), отримаємо:

M	z 6		M Ф				(	6	) Q LФ				(	6	)			4EI			Ф	(	6	)
								L											L
						0 1					0 2			L						0 4			L		(1.26)
					4		2				4					0
PLФ2				(		) qL			Ф3	(		) Ф3 (					)		0.
					L						L
																L

Визначимо значення функцій Крилова при 6L , а також для

проміжних перерізів, в яких ми знаходитимемо v(z), φ(z), M(z) і Q(z) (табл. 1.6). При виконанні розрахункової роботи рекомендується розбити балку на 7-8 частин (бажано приймати на кожній ділянці не менш 4-х перерізів, включаючи і межі ділянок). Також необхідно визначити значення функцій Крилова в перерізах, розташованих нескінченно близько від меж ділянок. У даній роботі розіб’ємо балку на частини довжиною 0,5 м. Розрахунок значень функцій Крилова рекомендується виконувати з використанням Microsoft Office Excel. При обчисленні функцій "вручну" або з використанням спеціальних таблиць рекомендується проводити обчислення з точністю до чотирьох значущих цифр.

Таблиця 1.6 (початок) – Значення функцій Крилова за (1.20) (РР№1, задача 1)

	Відстань до	Ф1(ξ)	Ф2(ξ)	Ф3(ξ)	Ф4(ξ)
	перерізу z, м
	0	1	0	0	0
	0,5	0,9985	0,3051	0,04653	0,0047
	1	0,9768	0,6076	0,1860	0,0378
	1,5	0,8830	0,8942	0,4159	0,1275
	2-0*	0,6315	1,1307	0,7269	0,3001
	2+0**	0,6315	1,1307	0,7269	0,3001
	2,5	0,1074	1,2521	1,0947	0,5772
	3	-0,8249	1,1548	1,4692	0,9692
	3,5	-2,3025	0,6929	1,7627	1,4660
	4	-4,4302	-0,3172	1,8366	2,0232
	4,5	-7,2295	-2,0804	1,4924	2,5449
	5	-10,5641	-4,7859	0,4704	2,8655
	5,5	-14,0434	-8,5455	-1,5370	2,7319
	6	-16,9093	-13,2984	-4,8484	1,7943

*– переріз розташовано нескінченно близько зліва від z=2м;

**– переріз розташовано нескінченно близько справа від z=2м.

18

Підставивши значення діючих на балку навантажень і знайдених значень функцій Крилова в (1.25) і (1.26), отримаємо систему рівнянь:

			8	Q0 2,1502·10			3
21,7837 0 4,8684·10								0;
									(1.27)
	8				6
21,7838Q0 7,0982·10		0		0,8830·10		0.

Вирішивши систему рівнянь (1.27), знайдемо початкові параметри

Q0=–34,785 кН, φ0=–1,7645·10-4 рад.

Для побудови епюр v(z), φ(z), M(z) і Q(z) розіб'ємо балку на ділянки і запишемо рівняння для знаходження v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на кожній ділянці.

Балка має 2 ділянки. I ділянка:

v

LФ

M 0

L2Ф

Q0

L3Ф

;

(1.28)

z

0

2

EI

3

EI

4

z

0Ф1

M 0

LФ2

Q0

L2Ф3 ;

(1.29)

EI

EI

M

z

M Ф

Q LФ

4EI

Ф

;

(1.30)

0

1

0

2

L

0 4

Q

4

M Ф

Q Ф

4EI

Ф .

(1.31)

z

L

0

4

0

1

L2

0

3

II ділянка:

M0

Q0

P

L3Ф4 p

v z 0 LФ2

L2Ф3

L3Ф4

EI

EI

EI

(1.32)

qL4

Ф

;

п

Ф

к

4EI

1

1

M0

Q0

P

L2Ф3 p

z 0Ф1

LФ2

L2Ф3

EI

EI

(1.33)

EI

qL3

Ф

Ф

;

п

4EI

4

4

к

Q LФ 4EI Ф PLФ

M

z

M Ф

p

0 1

0

2

L

0 4

2

(1.34)

qL2 Ф

Ф

;

п

3

3

к

Q

4

M Ф

Q Ф 4EI

Ф

PФ

p

z

L

0 4

0 1

L2

0 3

1

(1.35)

qL Ф2 п

Ф2 к .

Підставивши в отримані рівняння (1.28)–(1.35) значення навантажень, відстані до перерізів z і відповідні ним значення функцій Крилова, обчислимо

значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) у вибраних перерізах. Визначимо значення v(z), φ(z), M(z) і Q(z) на I ділянці:

z=0,5 м;

19