posobie_TU

y a

A B

x

b

O C

Рис. 2.14

2. Визначимо коефіцієнт С, використовуючи диференціальне рівняння пружної поверхні пластинки.

2

w x, y 4

2 x

2

y

C sin

a

2 cos 2b

;

2

a

x

3

2 x

3

y

w x, y 8 C cos

a

3 cos 2b

;

3

a

x

4

2 x

4

y

w x, y 16 C sin

a

4 cos 2b

;

4

a

x

3

w x, y

1

2 x

3

y

2 C cos

a

cos

2b ;

2

3

2

y

x

a b

3

w x, y

2 x

3

y

2 C sin

a

sin 2b

;

2

a

2

b

x

y

4

w x, y

2 x

4

y

C sin

cos

;

x2 y2

a2b2

2b

a

2

w x, y

1

2 x

y

2

C sin

cos

;

y2

4

a

2

2b b

3

w x, y

1

2 x

y 3

8 C sin

a

sin

2b

3 ;

3

y

b

4

w x, y

1

2 x

y 4

C sin

a

cos

2b

4 .

4

16

y

b

Підставивши знайдені значення в рівняння (2.1), отримаємо:

	4w	4w	2	4w				4w	q(x, y)	,
		4			2	2		4
									D
		x		x	y			y

50

2 x

4

y

2 x

4

y

16 C sin

cos

2 C

sin

cos

a4

a

a2b2

a

2b

2b

1

2 x

y 4

q

2 x

y

C sin

a

cos

0

sin

a

cos

.

16

2b b4

D

2b

Тут тригонометричні функції скоротяться, і тоді

C 16q a4			b4		.
0	D 4	256b4	32a2b2	a4

3. Складемо вирази Mx, My, Mxy, Qx, Qy, використовуючи знайдені частинні похідні:

Згинальні моменти:

M x x, y D x22 w x, y y22 w x, y ;

M			4		2 x		2
	x	x, y D		C sin				2
					a		a

	y		1		2 x		y		2
cos				C sin		cos				2	;
2b 4				a		2b b

2

2

M y x, y D

y

2

w x, y

x

2 w x, y

;

1

2 x

y

2

2 x

2

y

4

2

2

M y x, y D

4

C sin

cos

b

C sin

a

a

cos

.

a

2b

2b

Крутильний момент:

M xy x, y D 1

2

w x, y ;

x y

2 x

2

y

M xy x, y D 1 C cos

a

ab

sin

2b

.

Поперечні сили:

Qx x, y D x33 w x, y y23 x w x, y ;

Qx x, y D

Qy x, y D

2 x

3

y

1

2 x

3

y

8 C cos

3

cos

C

cos

2

cos

a

2

a

ab

;

a

2b

2b

x, y

3

w x, y

3

Q

D

y

y

3

x

2

y

1

2 x

y

3

2 x

3

y

C sin

sin

3

2 C

sin

2

sin

8

b

a

a

b

.

a

2b

2b

51

Підставивши в ці формули відомі значення параметрів а, b і інші, отримаємо:

M x x,0,5 8,487	10	2		2 x
			q sin	2	,
M y x,0,5 3,006	10	2		2 x
			q sin	2	,

M xy x,0,5 6,011 10 3 q sin 2 x ,

2

Qx x,0,5 0,277q sin 2 x ,

2

Qx x,0,5 0,029q sin 2 x .

2

Використовуючи отримані формули для внутрішніх силових чинників, обчислимо значення цих силових чинників в перерізі y=0.5 м. Розділимо переріз пластини на 10 ділянок, які дорівнюють 0,4 метра (11 точок). Визначимо всі шукані величини у вказаних точках.

Результати розрахунків зведемо в таблицю 2.2.

Таблиця 2.2 – Внутрішні зусилля в пластині
№	x, м	Mx·102	My·102	Mxy·103	Qx·103	Qy
точки
1	-2	0	0	6.011q	0.2770q	0
2	-1.6	8.072q	2.859q	1.857q	0.0856q	-0.0276q
3	-1.2	4.989q	1.767q	-4.863q	-0.2241q	-0.0170q
4	-0.8	-4.989q	-1.767q	-4.863q	-0.2241q	0.0170q
5	-0.4	-8.072q	-2.859q	1.857q	0.0856q	0.0276q
6	0	0	0	6.011q	0.2770q	0
7	0.4	8.072q	2.859q	1.857q	0.0856q	-0.0276q
8	0.8	4.989q	1.767q	-4.863q	-0.2241q	-0.0170q
9	1.2	-4.989q	-1.767q	-4.863q	-0.2241q	0.0170q
10	1.6	-8.072q	-2.859q	1.857q	0.0856q	0.0276q
11	2	0	-7.366q	6.011q	0.2770q	0

Відповідні епюри з інтервалом 0,4 м будуємо за даними таблиці, вони показані на рис. 2.15.

Визначаємо найбільші нормальні і дотичні напруження. Для цього спочатку визначимо геометричні характеристики смуги b1 = 1 м, вирізаної з пластини шириною паралельно осі x і паралельно осі у (рис. 2.11).

Момент опору прямокутного перерізу товщиною h і шириною b1 =1 м відносно осей x та y:

W	W	W	b h2		h2	.
			1
x	y		6		6

52

Статичний момент відносно осей x та y відсіченої площі прямокутного перерізу товщиною h/2 і шириною b1 = 1м:

Sxmax S ymax S max		b h			h		h2	.
			1		4		8
			2
Осьовий момент інерції прямокутного перерізу відносно осей x та y
товщиною h і шириною b1 =1м:
I x I y I	b h3				h3	.
	1			12
	12

Рис. 2.15

53

Нормальні напруження:

x

max

M x

max

8,072 10

2

q

6

12,108q;

W

h2

y

M y

max

2,859 10 2 q

6

4,288q.

h2

max

W

Дотичні напруження:

xy

M xy

max

6,011 10 3 q

6

0,902q;

h2

max

W

Qy

max S ymax

h2

12

yz

0,0276q

h3

0,207q;

max

I x b1

8

Qx

max

Sxmax

h2

12

zx

max

0,277q

h3

2,077q.

Відповідь.

Ix b1

8

x

max 12,108q,

Найбільші

нормальні

напруження:

y

max

4,288q;

найбільші

дотичні

напруження:

xy

max

0,902q,

yz

0,207q,

zx

max

2,077q.

max

Примітка: У додатку Б наведений приклад використання MathCAD до розв’язання цієї задачі.

2.4.Розрахункова робота №3 «Згин тонких пластинок. Кільцеві

пластинки»

2.4.1 Зміст роботи

Кільцева пластинка товщиною h, зовнішній радіус якої rн і внутрішній rв, завантажена симетричним навантаженням інтенсивністю q.

Потрібно:

1.Використовуючи граничні умови визначити довільні постійні, які входять в рівняння прогину пластини.

2.Побудувати епюри прогинів, поперечних сил і згинальних моментів для діаметрального перерізу пластини.

3.Підібрати товщину пластини h, використовуючи четверту теорію міцності. Розрахунковий опір матеріалу пластини R=200МПа, коефіцієнт Пуасона μ=0.25, модуль пружності E=200 ГПа.

Вихідні дані прийняти за варіантом у Додатку Д.

Граничні умови на внутрішньому і зовнішньому контурі кільцевої пластинки (рис. 2.16).

54

A	B	( wA		=0, M rA=0, wB =0, M rB=0)
A	B	( w		=0,	dwA	=0,		dw
			A				w =0, B =0)
					dr		B	dr
A	B	(QA=0, M rA=0, QB=0, M rB=0)

rB rН

Рис. 2.16

Товщину пластинки h знайдемо, виходячи з IV теорії міцності (2.27). Враховуючи, що r 0 .

2.4.2Порядок виконання роботи

1.Викреслюємо задану пластину з вказівкою закріплень і напрямів прикладеного навантаження.

2.Записуємо граничні умови, відповідні закріпленню пластинки.

3.Підставляємо граничні умови в рівняння (2.22)-(2.26).

4.Розв’язуємо спільно отримані рівняння. Знаходимо довільні

постійні А1, А2, А3, А4.

5.Підставляємо значення А1, А2, А3, А4 в рівняння (2.22)-(2.26).

6.Отримуємо остаточні вирази w, r , Mr, M , Qr. Будуємо відповідні

епюри.

7.Визначаємо товщину пластинки, обчисливши заздалегідь значення

розрахункового моменту M ð

M r2 M 2 M r M .

2.4.3 Приклад виконання

Вихідні дані: кільцева пластинка жорстко закріплена за внутрішнім контуром і завантажена, як показано на рис. 2.17.

Розміри кільцевої пластинки: rB = 0.8 м, rH =1.6 м.

Навантаження: q=0.2 МПа, P=9 кН/м, M=22 кНм, R=210 МПа, μ=0.3.

55

		P
	A	M
		B
		q

rB

rЗ

Рис. 2.17

Рішення

1.Основне рівняння пластинки в полярній системі координат має вигляд (2.12).

При q(r)=const загальне розв’язання цього рівняння приймає вигляд (2.22).

2.Довільні постійні А1, А2, А3, А4 визначаємо із граничних умов на зовнішньому і внутрішньому контурі пластинки.

Внутрішній контур – точка А. Радіус r = rВ = 0,8 м.

Прогин і кут повороту в защемленні дорівнюють нулю, звідкіля:

wA 0,		(a)
dw	0.	(b)
dr

Умову (a) підставимо у рівняння (2.22), а умову (b) у рівняння (2.23):

(a) (1.22) A1 A2 0.82 A3 ln 0.8 A4 0.82 ln 0.8										0.2 103 0.84	0 ,
					1.28					64D
A1 A2 0.64 A3 0.2231 A4 0.1428								0 .			(I)
						D
(b) (1.23) 2 A2 0.8 A3	1		A4 (2 ln 0.8			1)			0.2 103 0.84		0 ,
	0.8									16D
				6.4
A2 1.6 A3 1.25 A4			0.4429			0 .					(II)
				D
В рівняннях (I) та (II) перед навантаженням q ставимо знак "-", тому, що
воно направлене вгору (ось z направлена вниз).
Зовнішній контур – точка В. Радіус r = rН = 1,6 м.
Силові фактори на зовнішньому контурі дорівнюють:
M r M 22 кНм ;											(c)
			м
Q P 9 кН .											(d)
r			м

Умову (с) підставимо в рівняння (2.24), а умову (d) в рівняння (2.26):

(c)→(2.24)	D 2 1	A		1 A		2 1 ln1,6 3 A 3		200 1,62		22	;
		2		1,6	2 3	4	16D

56

105,6

D 2,6 A2

0,2734 A3

4,522 A4

22

;

(III)

D

4

200 1,6

(d) → (2.26)

D

A4

2D

9

;

1,6

2,5A4

160

9

або

2,5A4

151

.

(IV)

D

D

D

Отримуємо систему рівнянь (I), (II), (III), (IV):

A	0,64A 0,223A			0,1428A				1,28	;	(I)
1		2	3		4			D
					6,4
1,6A		1,25A 0,4429A				;				(II)
	2	3		4	D
					22
2,6A		0,2734A	4,522A				;			(III)
	2	3		4	D
		151.								(IV)
2,5A4
		D

Із рівняння (IV) знаходимо: A4 60D,4 . Підставимо А4 в рівняння (II), (III), отримаємо:

				20,35
1,6A2		1,25A3				;	(IIa)
					D
				145,59 .
2,6A		0,2734 A					(IIIa)
	2		3			D

Розв’язавши спільно ці рівняння, знайдемо:

A 50,8414		,	A 48,7927 .
2	D		3	D

Отримані значення A2, A3, A4 підставимо в рівняння (I) і знаходимо:

A1 53,3321D .

Знайдені значення довільних постійних A1, A2, A3 і A4 підставляємо в рівняння (2.22) – (2.26). Після перетворень, отримаємо вирази:

D w 53,3321 50,8414r2 48,7927 ln r 60,4r2 ln r 3,125r4 ; D D dwdr 101,6828r 1r 48,7927 r(2 ln r 1) 60,4 12.5r3 ;

M r 132,1876 34,r15492 2,6 ln r 3,3 60,4 41,25r2 ;

Mθ 132,1876 34,1549r2 2,6 ln r 1,9 60,4 23,75r2 ; Qr 241r2,6 100r.

57

Розбивши величину (rH – rВ) = 0,8м на 10 рівних частин по 0,08 м, визначимо в граничних точках 0÷10 величини w, Мr, Мθ, Qr (таблиця 2.3). За знайденими значеннями будуємо відповідні епюри (рис. 2.18).

Таблиця 2.3 – Внутрішні зусилля в пластині
Номер	r, м	D·w,	D· ,	Mr,		Mq,	Qr,	Mрозр,
точки		кНм2	кНм	кНм/м		кНм/м	кН/м	кНм/м
0	0.8	0	0	47.677		121.037	-222	105.605
1	0.88	-0.1301	-2.9902	28.992		100	-186.545	89.114
2	0.96	-0.4417	-4.599	14.355		82.787	-155.667	76.625
3	1.04	-0.8378	-5.1515	2.902		68.534	-128.308	67.13
4	1.12	-1.2446	-4.9005	-5.957		56.651	-103.714	59.852
5	1.2	-1.606	-4.0495	-12.645		46.715	-81.333	54.156
6	1.28	-1.881	-2.7666	-17.469		38.419	-60.75	49.521
7	1.36	-2.0409	-1.1948	-20.658		31.534	-41.647	45.526
8	1.44	-2.0678	0.5422	-22.389		25.883	-23.778	41.841
9	1.52	-1.9527	2.3349	-22.8		21.328	-6.947	38.223
10	1.6	-1.6953	4.0852	-22		17.76	9	34.498

Товщину сталевої пластинки визначаємо за четвертою теорією міцності:

			h			6M p	;
						R
	M p		Mr2 M 2 Mr M ;
M p 47,677 2	121,137 2				47,677 121,137			105,605 кНм;
h		6 105,6			0,0549 м 5,49 см.
		210 103

Величини максимального прогину пластинки:

D wmax 2,00777 кНм2 ;

D	Eh3		2 105 103 0,0549	3
	12 1 2		12 1 0,32	=3030,57 кНм;

w 2,00777D 3030,572,00777 =0,00066 м = 0,066 см.

58

Рис. 2.18

Відповідь: товщина пластинки h=5,49 см.

59