posobie_TU

L 4 4kEI – параметр, що має розмірність довжини;

Е – модуль пружності матеріалу балки; Е0 – модуль пружності основи;

Ф1(ξ), Ф2(ξ),

Ф3(ξ), Ф4(ξ)- функції Крилова;

φ(z)– функція кута повороту перерізу в залежності від координати z, рад; M(z) – функція згинального моменту в залежності від координати z, Нм,

(кНм);

Q(z) – функція поперечної сили в залежності від координати z, Н, (кН).

	Перелік основних позначень навчального модуля 2
w –	прогин пластини;
q –	вертикальне навантаження на пластинку;
D –	циліндрична жорсткість;
E –	модуль пружності;
μ –	коефіцієнт Пуасона;
Mx, My –	згинаючі моменті в пластині;
Mxy –	крутильний момент;
Qx, Qy –	поперечна сила;
σx, σy –	нормальні напруження;
τxy, τyz, τzx -	дотичні напруження;
C –	постійний коефіцієнт, що входить в рівняння зігнутої серединної
Mr –	поверхні пластинки;
	радіальний згинальний момент в перерізі, перпендикулярному
Mθ –	радіусу вектору r в даній точці;
	тангенціальний (кільцевий) згинальний момент в перерізі
Qr –	паралельному радіусу r в даній точці;
	радіальна поперечна сила на площині з нормаллю r;
Qθ –	тангенціальна (кільцева) поперечна сила на площині, яка співпадає з
h –	радіусом r;
	товщина пластинки.
	Перелік основних позначень навчального модуля 3

А– амплітуда коливань;

– Кругова (кутова) частота власних коливань;

– частота вимушених коливань;

– початкова фаза коливань;

g – прискорення вільного падіння (g=9,81 м/с2);– прогин від одиничної сили;

Pin – сила інерції маси;

kд – динамічний коефіцієнт;

– коефіцієнт передачі енергії.

100

Додаток А. Відповіді на питання тестових контролів і рішення задач для самостійного контролю

А.1. Варіанти відповідей на питання тестового контролю за навчальним

		модулем №1
1.1.	А);	1.12. А);
1.2.	Б), В);	1.13. А);
1.3.	Б);	1.14. А);
1.4.	А);	1.15. А);
1.5.	А);	1.16. Г);
1.6.	А);	1.17. Б);
1.7.	А);	1.18. А);
1.8.	А);	1.19. Г);
1.9.	А);	1.20. В);
1.10.	Г);	1.21. А).
1.11.	Г);

А.2. Варіанти відповідей на питання тестового контролю за навчальним

		модулем №2
2.1.	А);	2.9.	В);
2.2.	Б);	2.10.	Б);
2.3.	Г);	2.11.	В);
2.4.	А);	2.12.	Б);
2.5.	В);	2.13.	Б);
2.6.	В);	2.14.	Г);
2.7.	А);	2.15.	Б);
2.8.	Б);	2.16.	Б);

А.3. Варіанти відповідей на питання тестового контролю за навчальним

		модулем №3
3.1.	А);	3.10. В);
3.2.	Б);	3.11. Б);
3.3.	Г);	3.12. В);
3.4.	Б);	3.13. Г);
3.5.	В);	3.14. Б);
3.6.	Г);	3.15. В);
3.7.	Б);	3.16. А);
3.8.	Г);	3.17. В);
3.9.	А);	3.18. Г);

А.4. Відповіді на рішення задач для самостійного контролю

Задача С1.1.

Відповідь: Mmax=19,91 кНм, Qmax=-40 кН; Рдоп=147,9 кН.

101

Задача С1.2.

Відповідь: v0= 5,261 мм; φ0 = 0,3112·10-3 рад; φz=2+0 = 0,42721·10-3 рад; Q0=50 кН; M0=0.

Задача С1.3. Відповідь: Q0=42,465 кН.

Задача С2.1.

Відповідь: внутрішній контур Мr = М, Q=0, зовнішній контур φ =0, w = 0.

Задача С2.2.

Відповідь: Грань AB – шарнірне закріплення; Грань OC – шарнірне закріплення; Грань OA – шарнірне закріплення; Грань BC – вертикальний повзун.

Задача С2.3.

Відповідь: Грань AB – шарнірне закріплення; Грань ВC – вільний край; Грань OA – вільний край; Грань ОC – шарнірне закріплення.

Задача С3.1.

Відповідь: Mx,max=13,92 кНм, двотавр 12, ν=3,38Гц.

Задача С3.2.

Відповідь: Mx,max=39,09 кНм, двотавр 20, ν=4,62 Гц.

Задача С3.3.

Відповідь: Mx,max=21,38 кНм, умова міцності виконується, ν=15,50 Гц.

Задача С3.4.

Відповідь: Mx,max=27,20 кНм, умова міцності виконується.

Задача С3.5.

Відповідь: Mx,max=28,54 кНм, умова міцності виконується.

Додаток Б. Рекомендації до використання програми MS Excel для рішення математичних задач. Використання MathCAD при виконанні розрахункової роботи №2

У наш час ПК доступний практично кожному і його використання може в значній мірі полегшити виконання розрахункових робіт.

Допомогти в цьому можуть програми MathCAD і MS Excel. MathCAD – програма для виконання документації інженерних і наукових розрахунків. MathCAD дозволяє розв’язувати диференційні рівняння різними чисельними методами, будувати 2-х і 3-х мірні графіки функцій, використовувати грецький алфавіт в обчисленнях і в тексті, виконувати обчислення в символьному режимі, виконувати операції з векторами і матрицями, вирішувати символьні системи рівнянь і багато іншого. Наприклад, MathCAD в значній мірі може

102

полегшити виконання розрахункової роботи «Згин тонких пластинок. Прямокутні пластинки.»

В зв’язку з тим, що MathCAD і MS Excel є комерційними програмами, і MS Excel має більше розповсюдження, мова піде про деякі аспекти застосування MS Excel при розв’язанні задач до самостійної роботи за курсом «Опір матеріалів-Спецкурс».

MS Excel, який також іноді називається MS Office Excel – програма для роботи з електронними таблицями, створена корпорацією Microsoft для MS Windows i Mac OS надає можливості економіко-статистичних розрахунків, графічні інструменти і, за виключенням MS Excel 2008 для Mac OS, мову програмування VBA (Visual Basic for Applications).

При розв’язанні задач в модулі 1 і модулі 2 використовуються тригонометричні функції sin і cos. В MS Excel їм відповідають тригонометричні функції:

SIN(аргумент);

COS(аргумент).

Повертають відповідно синус і косинус аргументу. Аргумент повинен бути в радіанах. Для того, щоб обчислити значення аргументу в радіанах, можна використовувати функцію:

РАДИАНЫ(аргумент).

Наприклад, нехай в осередку A1 записано число 30 і необхідно обчислити синус осередку A1. Тоді слід записати в будь-якому іншому осередку, наприклад A2:

=SIN(РАДИАНЫ(A1)). У осередку A2 буде 0.5.

Для знаходження значень кутів при відомих синусах і косинусах можна використовувати зворотні функції:

ASIN(аргумент);

ACOS(аргумент).

Їм відповідають математичні функції arcsin і arcos. Ці функції повертають значення кутів у радіанах. Щоб набути значень цих функцій або кутів в градусах, зручно використовувати функцію ГРАДУСЫ(аргумент).

Наприклад, потрібно обчислити arcsin(0.2). Записуємо, наприклад в осередок A1, 0.2. У інший осередок, наприклад A2, записуємо: =ГРАДУСЫ(ASIN(A1)). Осередок A2 повертає значення 11.537. Це arcsin(0.2)=11.537°.

103

Рис. 4.1

Уінженерних калькуляторах зручно подібні обчислення проводити в градусах, для цього необхідно включити режим deg (градуси), не плутайте з grad (гради). Зворотні тригонометричні функції обчислюються за допомогою тих же кнопок, що і відповідні тригонометричні функції, тільки перед цим слід натискати клавішу shift або 2ndf (подвійна функція).

Умодулі 1 використовуються гіперболічний синус і косинус, які входять у вирази функцій О.М. Крилова. Для цього в MS Excel можливо застосовувати функції:

COSH(аргумент), SINH(аргумент), що повертають відповідно гіперболічний косинус і гіперболічний синус.

Також, якщо при запису рівнянь для внутрішніх зусиль, кута повороту і прогину в балці на пружній основі з декількома ділянками використовувати функцію ε(x), то відповідні рівняння можна буде записати тільки для самої крайньої ділянки (відносно початку координат). При реалізації такого способу вирази в осередках виходять декілька громіздкими і не дуже зручними для аналізу.

Умодулі 2 також використовується функція ln(x) - натуральний логарифм, якій в MS Excel відповідає функція LN(аргумент) - повертає натуральний логарифм аргументу.

Умодулі 3 використовується одинична функція ε(x), що залежить від знака аргументу. Для програмування відповідних формул в MS Excel ця функція може бути записана за допомогою логічного оператора:

ЕСЛИ (логічний вираз; значення у разі істини; значення у разі неправди). Записуємо, наприклад в осередок A1, -5. У інший осередок, наприклад A2, записуємо: =ЕСЛИ(А1>=0;1;0). Осередок A2 повертає значення функції ε(-5)=0. При розв’язанні складних задач набагато ефективніше використовувати можливість програмування MS Excel за допомогою інтегрованого в цю

програму модуля VBA.

Для цього слід в MS Excel зайти в меню Сервис -> Параметры -> перейти на вкладку "Безопасность", натиснути кнопку "Безопасность макросов" і обрати "Средний уровень безопасности (решение о запуске потенциально опасных макросов принимается пользователем)". Ця опція дасть можливість користувачеві самому обирати макроси, які він буде запускати.

104

Для виклику редактора VBA в MS Excel потрібно натиснути одночасно клавіші Alt+F11, перейти на віконце "Project" у меню обрати Insert -> Module (при цьому з'явиться вікно модуля і у вкладинці Modules вікна Project об'єкт Module 1). Далі, знову заходимо в меню Insert -> Procedure (з'являється вікно "Add procedure"), у полі "Name" вписуємо ім'я функції, яку потрібно створити. Наприклад hev для функції ε(x) (формула 2.17). Обираємо тип процедури (у полі "Type" прапорець "Function") - процедура буде реалізована у вигляді функції і її можна буде використовувати також, як і вбудовані функції MS Excel. Натискаємо ОК і у вікні модуля з'являється текст:

Public Function hev() End function

Для освоєння мови VBA можливо використовувати як довідкову інформацію, що є в програмі MS Excel, так і додаткову спеціалізовану літературу. Приведемо тут готовий код функції ε(x) і функцій Крилова.

Функція ε(x) (визначається за (2.17)):

Public Function hev(x as Double) as Double If x>=0 Then hev=1

Else: hev=0 End Function

Викликається функція користувача точно так, як і вбудовані функції MS Excel: Обирається категорія функцій "Определенные пользователем" і в меню "Выберите функцию" відображаються всі написані користувачем функції, наприклад hev(x). Далі всі дії як з вбудованою функцією.

Для запису функцій Крилова знадобляться допоміжні функції ch і sh - для обчислення відповідно гіперболічного косинуса і синуса

Public Const exp As Double = 2.718281828

Public Function ch(z As Double) As Double ‘гиперболічний косінус

ch = (exp ^ z + exp ^ (-z)) / 2 End Function

Public Function sh(z As Double) As Double ‘гиперболічний синус

sh = (exp ^ z - exp ^ (-z)) / 2 End Function

Public Function F_1(z As Double) As Double ‘функція Ф1(z)

F_1 = ch(z) * Cos(z) End Function

Public Function F_2(z As Double) As Double ‘функція Ф2(z)

105

F_2 = 0.5 * (ch(z) * Sin(z) + sh(z) * Cos(z)) End Function

Public Function F_3(z As Double) As Double ‘функція Ф3(z)

F_3 = 0.5 * sh(z) * Sin(z) End Function

Public Function F_4(z As Double) As Double ‘функція Ф4(z)

F_4 = 0.25 * (ch(z) * Sin(z) - sh(z) * Cos(z)) End Function

Таким чином, якщо використовувати наведені функції користувача і проводити обчислення в MS Excel в табличній формі, значно спрощується рішення РПР.

Приклад використання MathCAD при виконанні розрахункової роботи №2

MathCAD є засобом програмного забезпечення, яке покликане виконувати комплексні обчислення математичного і технічного характеру. Як правило за допомогою MathCAD, користувачі працюють з текстами, числами, графіками, формулами, а за самою програмою закріплено забезпечення численних логічних функцій. Для вирішення математичних задач, в рамках MathCAD, розроблена спеціальна система числового і символьного розпізнавання.

До складу програмного забезпечення входять обчислювач, вбудований довідник (MathCAD Calculation Server), текстовий і формульний редактор, використовуваний для введення і перетворення текстів, набір електронної літератури.

Розглянемо приклад використання MathCAD при розв’язанні приклада 2 розрахункової роботи №2 (приклад виконано з використанням MathCAD 2001).

Дані вказівки для використання MathCAD складені для тих студентів, що мають початкові навики роботи з комп’ютером.

У новому документі задаємо функції прогинання серединної поверхні w(x,y), для привласнення значення функції скористаємося «:» або, на панелі

«Evaluation», кнопкою «:=» або, такою ж кнопкою на панелі «Calculator».

Аналогічно задаємо функцію навантаження q(x,y). Для набору нижнього символу q0 в MathCAD використовується точка (у англійській розкладці). Грецькі символи в MathCAD вставляються за допомогою панелі «Greek». Деякі панелі MathCAD зображені на рис. Б.1.

106

Рис. Б.1. Панелі MathCAD

Лістинг:

	q(x y) q	sin			2 x	cos			y
					a			2 b
		0
	w(x y) C sin				2 x		cos	y
					a			2 b

Для визначення граничних умов використовуватимуться частинні похідні функції серединної поверхні. Задамо їх окремими функціями wx(x,y) та wy(x,y) – похідні по х та по у відповідно. Для завдання похідних, інтегралів, сум, додатків і меж функцій використовується панель «Calculus».

Лістинг:

wx(x y) ddxw(x y) wy(x y) ddy w(x y)

Далі, можна вивести символьний результат диференціювання (MathCAD дозволяє проводити символьні і чисельні обчислення):

Лістинг:

wx(x y) 2 C cos 2 xa a cos 12 yb

w (x y)	1	C sin	2 x sin 1			y
y	2		a	2		b b

Це робиться за допомогою кнопки на панелі «Evaluation» або на панелі

«Symbolic». Поєднання клавіш «Ctrl + .».

Визначаємо граничні умови пластини. Для цього в задані функції підставляємо рівняння граней пластини:

107

Лістинг:

w( a y) 0

wx( a y) 2 C cos 2 a cos 12 yb w(a y) 0

wx(a y) 2 C cos 2 a cos 12 yb w(x b) 0

w	(x b)		1	C sin 2		x		sin 1
y			2			a				2	b
w(x b) 0
w	(x b)	1 C sin 2 x						sin 1
y			2		a				2		b

Рівняння Софі Жермен – Лагранжа розв’язується з використанням операторів given – find, які дозволяють розв’язувати в символьному і чисельному вигляді рівняння і системи рівнянь. В даному випадку використовуватимемо символьне розв’язання рівняння, для цього записуємо оператор given, під ним саме рівняння (або систему рівнянь) з жирним знаком рівності, який знаходиться на панелі «Boolean», його так само можна набрати поєднанням клавіш «Ctrl + =». Після рівняння (системи рівнянь) додають оператор find(),у дужках цього оператора додають змінну (або змінні через кому), щодо якої (яких) необхідно вирішити рівняння (або систему рівнянь). Рівняння вирішуємо щодо коефіцієнта C.

Лістинг:

Given

4

2

2

4

D

d

w(x y) 2

d

d

w(x y)

d

w(x y)

q(x y)

4

2

2

4

dx

dx

dy

b4

dy

Find(C) 16 q

a4

D 4 256 b4

a4

0

32 a2 b2

Як видно з лістингу, оператор find() відразу видає символьне розв’язання заданого рівняння і непотрібно окремо обчислювати частинні похідні. Якщо ж є така необхідність, можна знайти частинні похідні окремо:

Лістинг:

d2 dx2

d3 dx3

d4 dx4

w(x y)

4 C sin

2

x

2

cos

1

y

a

a

2

2

b

x

3

1

y

w(x y)

8 C cos

2

cos

a

2

b

a

3

w(x y)

16 C sin

2

x

4

cos

1

y

a

a

4

2

b

108

d2 d

3

cos

1

y

1

x

2

b

w(x y)

C cos

2

dy

2 dx

2

a

a

b

2

d2 d																												3		sin					1					y
																					x														2					b
				w(x y)							2 C sin							2
2 dy																					a					a		2							b
dx
d2 d2																												4		cos					1					y
																					x																			b
						w(x y)							C sin					2																	2
2		dy		2																	a					a	2								b	2
dx
d2		w(x y)							1			C sin					2			x				cos							1				y					2
dy	2								4											a										2					b					b	2
d3		w(x y)							1	C sin					2				x				sin						1					y			3
dy	3								8										a										2					b			b		3
d4		w(x y)							1			C sin					2			x				cos						1					y					4
dy	4								16											a										2					b					b	4

Далі, задамо функції зусиль в загальному вигляді для отримання символьного результату і використання цих функцій для подальших обчислень:

Лістинг:

Згинальні моменти:

M (x y) D

d2

w(x y)

d2

w(x y)

2

2

x

dy

dx

16 b2

a2

M (x y) simplify

1

D C sin 2

x

2 cos

1

y

x

4

a

2

b

a

2

b

2

2

2

My(x y) D

d

w(x y)

d

w(x y)

2

2

dy

dx

a2

16 b2

1

x

1

y

2

My(x y) simplify

D C sin

2

cos

4

a

2

b

a

2

b

2

Крутильний момент:

Mxy(x y) D 1 ddxddy w(x y)

sin

1

y

D 1 C cos 2

x

2

2

b

M

(x y) simplify

xy

a

a b

Поперечні сили:

d

3

d

2

d

w(x y)

Q (x y) D

w(x y)

3

2

x

dy

dx

dx

16 b

2

2

1

x

3

1

y

a

Qx(x y) simplify

D

2 C cos

2 a

cos

2

b

3

b

2

a

109