2.4.Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведения трех векторов :

((,),) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;

[[,],] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;

([,],) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.

Анализируя известное произведение [,] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения

([,],). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной=. Если теперь перемножить скалярно векторыи, то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях,,как на ребрах. Т.о., модуль ([,],) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.

К определению ([,],)

Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения

([,],)=( с_x+с_y+с_z)=((a_хb_у-a_yb_x)+(a_zb_x-a_xb_z)+(a_yb_z-a_zb_у)) ) ( с_x+с_y+с_z)=(a_хb_у-a_yb_x) с_x+(a_zb_x-a_xb_z) с_y+(a_yb_z-a_zb_у) с_z= =. Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.

Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([,],)=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве .

2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры

Деление отрезка в данном отношении k.

Определение. Пусть дан отрезок АВ и точка М на нем или его продолжении. Говорят, сто М делит АВ в отношении к, если k=АМ/MB. При этом знак + берут, если векторыисонаправлены и знак --, если противоположно направлены.

Решение задачи. Из определения следует соотношение =к. Но точно таким же соотношением связаны соответствующие координаты указанных векторов. Получаемиз которой следуют формулы для вычисления координатделящей точких_М =и т.д.

Получение единичного вектораданного направления. Дан вектор(а_х, а_у,a_z) – своими координатами. Найти вектор единичной длины и того же направления.

Решение. Интересующий нас вектор равен

=(a_x+a_y+a_z)=Cos+Cos+Cos.

Угол между векторамиCosф=.

Проверка параллельности и перпендикулярности векторов.

Вычисление площадей многоугольников, разбиением их на треугольники и используя равенство из геометрической интерпретации векторного произведения. Имеем =0,5 .

Расстояние от точки М_о(х_о;у_о) до прямойс вектором.

d=.Используя рисунок, видно, что числитель – это площадь,

а знаменатель – это основание параллелограмма со сторонами и.

3.Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами , истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.