- •Белорусско-российский университет
- •1.2.Определители и их свойства
- •1.3.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.4.Формулы Крамера
- •1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
- •1.6.Матричный метод решения линейной системы.
- •1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •1.9.Линейные операторы и матрицы
- •1.10.Задача о собственных значениях
- •1.11.Свойства симметрических матриц
- •1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Векторная алгебра
- •2.2.Скалярное произведение векторов
- •2.3.Векторное произведение векторов
- •2.4.Смешанное произведение векторов
- •2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •3.Аналитическая геометрия.
- •3.1.Уравнения линий и поверхностей
- •3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
- •3.3.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.4.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
- •3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
- •3.7.Цилиндры и поверхности вращения
- •3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
Известно общее уравнение кривой 2-го порядка a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0
Известны виды возможных кривых, если кривые заданы каноническими уравнениями. Рассмотрим более общий случай уравнения a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0
Пусть a12=0. Тогда в общем уравнении отсутствует произведение текущих координат. Можно выделить полные квадраты по переменным. Тогда уравнение примет несколько модифицированный вид, но близкий к каноническому. Построить кривую будет возможно, если использовать известный принцип сдвига кривой вдоль осей координат.
Если же a12не равен нулю, тогда механизм упрощения уравнения кривой несколько усложняется и может быть выполнен в такой последовательности.
1-й шаг – по виду старших слагаемых выписываем матрицу квадратичной формы переменных (см. раздел 1.12);
2-й шаг – составляем и решаем характеристическое уравнение для поиска собственных значений матрицы квадратичной формы; собственные значения всегда действительные числа и они укажут нам ти кривой второго порядка (см. раздел 1.11); при этом квадратичная форма принимает канонический вид – в ней не будет произведения текущих координат; следует заметить, что порядок собственных значений не влияет на тип кривой;
3-й шаг – для известных собственных значаний находим собственные векторы; нормируем их и получаем новый ортонормированный базис и матрицу поворота плоскости для перехода к новому базису(см. раздел 1.9);
4-й шаг – строим старый декартов базис и в нем новый декартов базис из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы;
5-й шаг – выписываем формулы преобразования координат для перехода к новому базису и преобразуем с их помощью линейные слагаемые в уравнении кривой;
6-й шаг – теперь в уравнении кривой отсутствует произведение текущих новых координат и остается выделить полные квадраты по переменным и построить кривую в новой системе координат.