- •Белорусско-российский университет
- •1.2.Определители и их свойства
- •1.3.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.4.Формулы Крамера
- •1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
- •1.6.Матричный метод решения линейной системы.
- •1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •1.9.Линейные операторы и матрицы
- •1.10.Задача о собственных значениях
- •1.11.Свойства симметрических матриц
- •1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Векторная алгебра
- •2.2.Скалярное произведение векторов
- •2.3.Векторное произведение векторов
- •2.4.Смешанное произведение векторов
- •2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •3.Аналитическая геометрия.
- •3.1.Уравнения линий и поверхностей
- •3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
- •3.3.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.4.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
- •3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
- •3.7.Цилиндры и поверхности вращения
- •3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
Опред. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+a41x+a42y+a43z+ a44=0 (6.3)
Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.
Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.
Реализуем метод при построении поверхности ++=1.Рассечем поверхность плоскостямиz=h. Тогда в сечении получим
+=1-, Из этой системы видно, чтоhне может превышать
z=h. с. Что означает – поверхность расположена между двумя
плоскостями – выше h=-cи нижеh=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскостиz=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.
Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.
3.7.Цилиндры и поверхности вращения
Из поверхностей, отличных от 2-го порядка рассмотрим два частных случая.
Пусть задано уравнение F(x;y)=0 в пространстве. И требуется установить, как выглядит поверхность.
Комментарий. Т.к. сказано, что уравнение задано в пространстве, то отсутствие в уравнении некоторых переменных не противоречит определению поверхности в разделе 6.1.
Рассуждаем так. Добавим к этому уравнению уравнение z=0. Тогда
Эта система есть линия на плоскости хОу. На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку перемещать вдоль Oz, не меняя х и у этой точки, то уравнение поверхности F(x;y)=0 будет тождественно выполняться, т.к. тождественно выполняется первое уравнение системы. Значит поверхность образована движением прямой, параллельной Oz и пересекающей данную линию на плоскости. Естественно эту поверхность назвать цилиндрической. У нее две характеристики, определяющие ее вид : кривая F(x;y)=0 при z=0 – направляющая цилиндра; и прямая, пересекающая эту кривую, перпендикулярная плоскости расположения кривой и называемая образующей цилиндра.
Вывод : всякое уравнение с двумя переменными в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной отсутствующей координате и направляющей – кривой в плоскости переменных, записанных в уравнении поверхности.
Пусть дана плоская линия для определенности в плоскости хОу уравнениями
На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку вращать около оси Oх, то точка опишет окружность с центром на оси Ох и радиусом, равным у точки М. Уравнение этой окружности Z2+Y2=y2 . В уравнении большими буквами записаны фактически меняющиеся координаты точки на окружности, а малое у – это радиус. Такие же окружности описывают все точки кривой и образуется поверхность вращения. На каждой окружности этой поверхности х=Х. Если из уравнения окружности выразить у и подставить в уравнение кривой, то получим F(Х,)=0. Но последнее уравнение содержит три переменные и потому является уравнением поверхности вращения взятой в начале линии относительно Ох.
Вывод: если в некотором уравнении квадраты двух переменных имеют одинаковые коэффициенты, то это поверхность вращения. А механизм получения уравнения поверхности , образованной вращением некоторой линии относительно координатной оси, представлен выше.