- •Белорусско-российский университет
- •1.2.Определители и их свойства
- •1.3.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.4.Формулы Крамера
- •1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
- •1.6.Матричный метод решения линейной системы.
- •1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •1.9.Линейные операторы и матрицы
- •1.10.Задача о собственных значениях
- •1.11.Свойства симметрических матриц
- •1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Векторная алгебра
- •2.2.Скалярное произведение векторов
- •2.3.Векторное произведение векторов
- •2.4.Смешанное произведение векторов
- •2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •3.Аналитическая геометрия.
- •3.1.Уравнения линий и поверхностей
- •3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
- •3.3.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.4.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
- •3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
- •3.7.Цилиндры и поверхности вращения
- •3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
2.2.Скалярное произведение векторов
Термином (билинейные операции над векторами) иногда называют операции скалярного и векторного произведений двух векторов.
Определение. Скалярным произведениемдвух векторовиназывают величинуCosф , где ф – угол между векторами. Обозначенияили (,).
По этому определению двум векторам ставится в соответствие скаляр, который можно истолковать как работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути.
Из определения вытекают простейшие свойства такого произведения.
=; 2. С()=(С). 3. (+)=+и 4.=0
для ненулевых векторов, если векторы ортогональны (перпендикулярны).
Можно получить формулу для вычисления скалярного произведения,
если векторы заданы в координатной форме (своими координатами). Пусть =ax+ay+az и =bx+by+bz. Тогда=axbx+ayby+azbz. Т.к. при перемножении по свойству 3 с учетом определения остальные слагаемые будут равны нулю.
Из последнего соотношения следует, что =2.Читается – скалярный квадрат равен квадрату модуля.
Из определения и полученных соотношений вытекают другие формулы. Например, для проекции одного вектора на другой получаем =. Условие перпендикулярности векторовaxbx+ayby+azbz=0.
2.3.Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением двух векторов иназывают вектор, который:
-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними - =sinф;
-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов и(т.е. плоскости с векторамии);
-вместе с векторами ив порядке,,образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведениеили [,].
Комментарий. Классическое понятие правой тройки векторов ,,в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.
Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов ,,. А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.
Т.к. sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителяхиравна модулю вектора.
К определению
В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент силы(постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Векторнаправлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величинеSinф.
Механическая интерпретация .
Справедливы следующие свойства векторного произведения.
С1.Для коллинеарных векторов исправедливо=0.
С2. =.
С3. =).
Координатная форма вычисления . Пусть =ax+ay+az и =bx+by+bz. Тогда=(ax+ay+az)х(bx+by+bz). Далее используем взаимное расположение векторов,,и свойство 3 получим по определению
axbxх+aybxх+azbxх+aхbух+aуbyх+azbух+ +axbzх+aybzх+azbzх= (aхbу-aybx)+(azbx-axbz)+
+( aybz-azbу)=. Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений(или пропорциональность координат).