- •Белорусско-российский университет
- •1.2.Определители и их свойства
- •1.3.Системы линейных алгебраических уравнений
- •1.4.Формулы Крамера
- •1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
- •1.6.Матричный метод решения линейной системы.
- •1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •1.9.Линейные операторы и матрицы
- •1.10.Задача о собственных значениях
- •1.11.Свойства симметрических матриц
- •1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Векторная алгебра
- •2.2.Скалярное произведение векторов
- •2.3.Векторное произведение векторов
- •2.4.Смешанное произведение векторов
- •2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •3.Аналитическая геометрия.
- •3.1.Уравнения линий и поверхностей
- •3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
- •3.3.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.4.Уравнения первой степени в пространстве
- •3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
- •3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
- •3.7.Цилиндры и поверхности вращения
- •3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
3.3.Уравнения первой степени в пространстве
Опред. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+a41x+a42y+a43z+ a44=0 (6.3)
Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.
Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.
Реализуем метод при построении поверхности ++=1.Рассечем поверхность плоскостямиz=h. Тогда в сечении получим
+=1-, Из этой системы видно, чтоhне может превышать
z=h. с. Что означает – поверхность расположена между двумя
плоскостями – выше h=-cи нижеh=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскостиz=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.
Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.
3.4.Уравнения первой степени в пространстве
Всякую плоскость в пространстве геометрически однозначно задать:
-точкой Мо(хо;уо,zо;) на плоскости и вектором (А;В;С) нормальным к ней;
-точкой Мо(хо;уо,zо;) и расстояниемdот начала координат до плоскости;
-тремя точками на плоскости;
-двумя точками на плоскости и вектором, параллельным ей и т.д.
Во всех случаях – это задачи 2-го типа и решаются они по одной схеме. Пусть плоскость задана точкой Мо(хо;уо,zо;) и вектором (А;В;С) нормальным к ней. Тогда возьмем на плоскости точку М(х;у;z). И тогда векторы М Мо и будут ортогональны и получим А(х- хо)+В(у- уо)+С(z-zо)=0 –уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получимобщее уравнение плоскостиАх+Ву+Сz+D=0. Из этого уравнения видно, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными – уравнение плоскости в пространстве. Можно рассматривать частные его случаи в зависимости от значений коэффициентов А,В,С,D.
Типовые задачи на плоскость в пространстве.
1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.
2.Расстояние от точки до плоскости.
3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).
4.Точка пересечения плоскостей.
5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.
Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию : для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую полоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.
Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде
пересечения двух плоскостей или .
Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(хо;уо,zо) и М1(х1;у1;z1). Тогда из условий параллельности(коллинеарности) векторов ММо и МоМ1получим. Если же обозначить вектор МоМ1= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что , фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).
Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.
Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей 2х+2у+z=19,
x+2y+4z=31, Решение.Сразу видно, что ранг основной и расширен-
4x+6y+9z=-2. ной матриц не болше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0. Т.о.rancA=2. Для расширенной матрицы имеем =0. Т.е.rancA’=3. Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.
При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: полскость характеризуется норамлью и точкой Мо(хо;уо,zо) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М1(х1;у1;z1) на прямой .
Так, если плоскость параллельна прямой , то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой,то всегда коллинеарен. Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему
Ах+Ву+Сz+D=0
можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметруt; затем выразить через параметр переменныеx,y,z(x=mt+ хо,e=nt+yо,z=pt+zо; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметраtдля точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.