1.11.Свойства симметрических матриц

Опред. Матрицу называют симметрической, если a_ij=a_ji. Для всехi,j.

Теорема. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа, собственные векторы – ортогональны.

Док. Ограничимся матрицей размерности 2. Имеем А=. Характеристическое уравнение имеет вид к²-(а₁₁+а₂₂)+(а₁₁а₂₂-а₁₂²)=0. Его дискриминант равен (а₁₁+а₂₂)²-4(а₁₁а₂₂-а₁₂²)= (а₁₁-а₂₂)²+4а₁₂²0. А это значит – корни квадратного уравнения действительные числа.

Рассмотрим случай разных корней . Тогда по Виету имеем к₁+к₂= а₁₁+а₂₂, и к₁к₂= а₁₁а₂₂-а₁₂² .С другой стороны для к₁найдем собственный вектор ₁из системы Как известно, в этой системе одно из уравнений лишнее, т.к.rancA=1. И потому мы отбросим , например, второе уравнение в системе и возьмем х₂=а₁₁-к₁. Тогда получим собственный вектор ₁=(-а₁₂ а₁₁-к₁)^T. Из аналогичных рассуждений найдем ₂=(-а₁₂ а₁₁-к₂)^T. Теперь вычислим их скалярное произведение ₁₂=а₁₂²+(а₁₁-к₁)(а₁₁-к₂)= а₁₂²+а₁₁²- а₁₁(а₁₁+ а₂₂)+ а₁₁а₂₂-а₁₂²=0.

Если же корни равны, то это происходит только тогда, когда одновременно а₁₂=0 и а₁₁- а₂₂=0. Но это может быть только если к₁= к₂= а₁₁. Но тогда в качестве ₁можно взять ₁=(1 0)^T,а в качестве ₂можно взять ₂=(0 1)^T . И все равно они будут ортогональны.

1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Пусть в ЛП размерности 2 задан =( х1 х2)T в нормированном евклидовом ортогональном базисе i,j.

Опред. Выражение ф(х1,х2)= а11х12+2а12 х1 х2 +а22х22=0 где aij - действительные числа, называют квадратичной формой двух переменных х1,х2. Ее можно записать иначе ф(х1,х2)= (а11х1+а12х2) х2+(а12 х1+а22х2)х2. Затем, используя умножение матрицы на вектор получить ф(х1,х2)= =((),)=(Ах,х), причем матрица А – симметрическая и , как известно, ее ее собственные векторы ортогональны. Пусть это будут векторы 1 и 2 . Тогда их можно нормировать и принять в качестве базисных в ортонормированном евклидовом ЛП. Построим единичные векторы в новом базисе (базисе собственных векторов матрицы А). Получаем и - новые единичные . И в этом новом базисе вектор =( х’1 х’2)T. Но в этом случае и квадратичная форма примет новый вид ф(х1,х2)= (А(х’1+ х’2), х’1+ х’2). Но т.к. и - собственные для А, то получаем ф(х1,х2)=( (х’1 к1+ х’2 к2), х’1+ х’2)= к1(х’1)2+ к2(х’2)2 . Получен новый вид квадратичной формы, в котором отсутствует произведение текущих координат. Такой вид носит название – канонического вида квадратичной формы.

Т.о. в декартовом базисе собственных нормированных векторов матрицы квадратичной формы сама форма принимает канонический вид.

Остается важная задача: установить связь между координатами вектора =( х1 х2)T начального базиса i,j и координатами того же вектора

=( х’1 х’2)T в новом базисе нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Мы имеем = х1i+х2j = х’1I+х’2J . Но I и J тоже векторы, правда единичной длины. И потому I=iCos+jCos(90-), J= iCos+jCos(90+). Или после подстановки полученного вместо координат х’1,х’2 получим связь между старыми и новыми координатами = ( х’1 х’2)T, которая соответствует матрице поворота плоскости на некоторый угол.