- •Тема 1 Определители………………………………………………………………………4
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема1 Определители( 4 часа)
- •Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
- •Тема 3. . Аналитическая геометрия на плоскости (4 часа)
- •Примеры решения задач и комментарии
- •Тренинг по решению задач
- •Тема1 Плоскость в пространстве(4 часа)
- •Тренинг порешению задач
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг порешению задач
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач
- •Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
- •Тема 4 Обратная матрица(2часа)
- •2. Задачи для самостоятельного решения:
Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
№ п/п |
Умение |
Алгоритм |
1 |
Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса: а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме |
1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). 2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг. 3.Сравнить с числом переменных и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если, то система имеет един-ственное решениетривиальное. 4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменныхсвободными |
|
б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения |
5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса). 6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы. 7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам . По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР)базис в про-странстве решений однородной системы. Общее реше-ние в векторной форме имеет вид, где– произвольные постоянные.
1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрицевектор свободных членов:. 2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определитьи. 3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Еслигде– число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Еслиперейти к п. 4. 4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы . 5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, зависимые, остальныесвободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса). 6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8. 7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляемв предпоследнее уравнение, вычис-ляеми т.д., пока не найдем вектор-решение. 8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системыи общее решение однородной системы. Общее решение неоднородной системы имеет вид |
Тренинг по решению задач
Задание
Методом Гаусса найти решение системы
.
Решение
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Выписать матрицу коэффициен-тов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду |
|
2 |
Выписать ступенчатую систему и определить ранг матрицы |
. Ранг матрицы равен 2, так как имеем два угловых элемен-та (подчеркнуты) |
3 |
Сравнить ранг матрицы с числом переменных nи определить, ско-лько решений имеет система |
; система имеет множество решений; пере-ходим к отысканию общего решения системы |
4 |
Определить зависимые и свобод-ные переменные; переменные, со-ответствующие угловым элемен-там, объявляем зависимыми, а остальные – свободными |
Так как угловые элементы в ступенчатой матрице явля-ются коэффициентами при переменных , то– зависимые,– свободные переменные |
5 |
Выразить зависимые переменные через свободные |
Из последнего уравнения получаем, что , затем, подставляяв первое уравнение, получаем выражение для: . Итак, (*) |
6 |
Найти общее решение системы, используя формулы (*), выража-ющие зависимые переменные через свободные |
Формулы (*) задают общее решение системы. Давая пере-менным произвольные значения и вычисляя, получим все решения системы |
7 |
Выписать общее решение в век-торной форме. Получить ФСР , записать общее реше-ние в виде |
Число переменной , а ранг матрицы системы. Базис подпространства решения (ФСР) состоит из двухвекторов. Дадим свободным переменнымзначения , получим вектор, если,. Для вычисленияиспо-льзуем формулы (*). – любые числа |
Решите самостоятельно следующие задания:
Найти общее или единственное решение однородных систем:
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Задание
Исследовать неоднородную систему на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместности системы:
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Записать расширенную матрицу сис-темы, приписав к матрице коэф-фициентов вектор свободных членов: | |
2 |
Привести матрицу к ступенчатому виду и определить ранг основной матрицыrang(A) и ранг расширеннойrang |
rang(A) = 2, rang= 2 |
3 |
Исследовать систему на совместность. Если , система несовместна, если же, система совместна, имеет единствен-ное или бесчисленное множество решений |
, система имеет решение; так как, гдеn– число переменных, то решение системы не единственное, переходим к нахождению общего решения (п. 4) |
4 |
Определить зависимые и свободные переменные |
Угловые элементы соответствуют переменным ;– зависимые переменные,– свободные пере-менные |
5 |
Выразить зависимые переменные через свободные обратным ходом метода Гаусса |
Выражаем переменные через: |
6 |
Найти общее решение системы, ис-пользуя выражения зависимых пе-ременных через свободные и вектор свободных членов |
Окончательно формулы, определяющие общее решение, имеют вид: (*) |
7 |
Получить единственное решение в случае |
Здесь , система имеет не единственное решение, переходим к п. 8 |
8 |
Записать общее решение в векторной форме. Найти частное решение неоднородной системы, используя формулы (*) в п.6. Найти ФСР од-нородной системы , вы-писать общее решение неоднородной системы в виде , т.е. |
Найдем , положив в формулах (*) свободные пере-менные. Тогдаи=(-7,3,0,0) – частное решение неоднородной системы. Для получения ФСР однородной системы выпишем общее решение этой системы в координатном виде. В формулах (*) заменим свободные члены нулями, об-щее решение однородной системы
Так как , то ФСР состоит из двух векторов. Пусть, тогда, еслитои общее решение однородной системы имеет вид . Окончательно получим векторную форму общего ре-шения неоднородной системы как сумму и: |
Решите самостоятельно следующие задания:
Исследовать и решить в случае совместности неоднородные системы уравнений:
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.