Тема 3. . Аналитическая геометрия на плоскости (4 часа)

№ п/п	Умение	Алгоритм
1	Написать уравнение прямой L, прохо-дящей через точкуи: а) точку ; в) перпендикулярно прямой	1. Изучить основные способы задания уравнения прямой на плоскости. 2а. Записать координаты вектора , являющегося направляющим вектором искомой прямой; 3а. Написать каноническое уравнение искомой прямой 2в. Выписать вектор нормали к прямой : 3в. Выписать вектор , который будет вектором нормали к искомой прямой, т.к. векторыиортогональны. 4в. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с вектором нормали
№ п/п	Умение	Алгоритм
2	с) параллельно прямой	2с. Записать уравнение прямой в виде,выписать угловой коэффициент. 3с. Использовать условие параллельности двух пря-мых и найти угловой коэффициент искомой пря-мой:. 4с. Написать уравнение прямой с угловым коэф-фициентом , проходящей через точку:
3	Найти точку Мпересечения прямых , . Вычислить расстояние от точки Мдо данной прямой	1. Изучить тему «Уравнения прямой». 2. Найти координаты точки М пересечения прямыхи, решив систему. 3. Найти расстояние dот точкидо прямой:
4	Определить тип кривой второго порядка по заданному общему уравнению (отсутствует произведение координат). Выписать её параметры	1. Ознакомиться с каноническими уравнениями кривых второго порядка. 2. Выделить полные квадраты независимых пере-менных. 3. Преобразовать уравнение к одному из сле-дующих видов: ; ; (1);(2). 4. Определить тип кривой, если уравнение при-вели к виду: а) – эллипс; b) – гипербола; с) – парабола. 5. Выписать параметры кривой из ее уравнения. Для эллипса и гиперболы: полуоси aиb; расстояние между фокусами 2с, где(для эллипса, еслиа– большая полуось) и(для гиперболы); координаты (х0,у0) центра симметрии. Для параболы: координаты вершины (х0,у0); координаты фокуса: в случае с (1),в случае с (2)

Примеры решения задач и комментарии

Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А(0, -2), В(1, 1), С(3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.

Решение. Найдем координаты точкиМ, середины основанияАС.

;.

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точкиВиМ:

;;.

После элементарных преобразований имеем

, или,

отсюда .

Получили искомое уравнение медианы.

Пример 2. Даны три точкиА(3, 1),В(1, -2),С(3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точкуСперпендикулярно прямойАВ.

Решение. Запишем уравнение прямойАВ, проходящей через две точкиАиВ.

или,

отсюда .

Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямойАВс угловым коэффициентом

.

Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k₁прямой, перпендикулярной прямойАВ:

.

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k₁и проходящей через точкуС. Воспользуемся формулой

,

отсюда .

После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение

.

Пример 3.Дано уравнение второго порядка

9x²- 4y²- 36x- 8y- 4 = 0.

Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или.

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О(х₀,у₀), полуосямиa,b (для гиперболыa- вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координатыF₁(x₀+c,y₀) иF₂(x₀-c,y₀), гдеc²=a²-b²(для эллипса, еслиa- большая полуось) иc²=a²+b²(для гиперболы).

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

9x² - 36x = 9(x² - 4x + 4) - 36 = 9(x - 2)² - 36;

- 4y² - 8y = - 4(y² + 2y + 1) + 4 = - 4(y + 1)² + 4.

Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:

9(x- 2)²- 36 - 4(y+ 1)²+ 4 - 4 = 0, или 9(x- 2)²- 4(y+ 1)²= 36.

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

.

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О(2, -1), прямыех- 2 = 0,у+ 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболыа= 2, мнимая полуосьb= 3,

.

Получим координаты фокусов ,.

Самостоятельно решите следующие задачи

1 В треугольнике М₀М₁М₂найти уравнение медианы, высоты, проведенных из вершиныМ₀, а также уравнение средней линииEF, параллельной основаниюМ₁М₂.

Вычислить длину найденной высоты.

Координаты точек М₀,М₁,М₂заданы в таблице.

№ п/п	М0	М1	М2
1	(3,2)	(-2,5)	(6,-2)
2	(-2,6)	(3,-1)	(1,4)
3	(2,5)	(3,3)	(-1,4)
4	(2,-3)	(1,0)	(-2,-4)
5	(5,3)	(1,4)	(-2,-3)
6	(-1,-2)	(0,-3)	(2,1)
7	(1,5)	(-3,0)	(-6,1)
8	(-3,-5)	(2,-2)	(1,0)
9	(1,1)	(4,6)	(-5,-1)
10	(3,2)	(4,-1)	(6,0)
11	(5,-5)	(2,3)	(-4,-3)
12	(1,4)	(2,2)	(-1,6)
13	(2,-3)	(-6,2)	(4,0)
14	(2,6)	(-1,-2)	(-3,-5)
15	(-1,2)	(4,-2)	(6,0)
16	(3,2)	(-2,5)	(6,-2)
17	(-2,6)	(3,-1)	(1,4)
18	(2,5)	(3,3)	(-1,4)
19	(2,-3)	(1,0)	(-2,-4)
20	(5,3)	(1,4)	(-2,-3)
21	(-1,-2)	(0,-3)	(2,1)
22	(1,5)	(-3,0)	(-6,1)
23	(-3,-5)	(2,-2)	(1,0)
24	(1,1)	(4,6)	(-5,-1)
25	(3,2)	(4,-1)	(6,0)
26	(5,-5)	(2,3)	(-4,-3)
27	(1,4)	(2,2)	(-1,6)
28	(2,-3)	(-6,2)	(4,0)
29	(2,6)	(-1,-2)	(-3,-5)
30	(-1,2)	(4,-2)	(6,0)

2. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить ее график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

Варианты заданий:

1) x^2+y^2- 4x+ 6y= 0	16) x^2+ y^2- 4x + 6y = 0
2) x^2+y^2+ 6x- 4y= 0	17) x^2+ y^2+ 6x - 4y = 0
3) 4x^2 + 4y^2 - 12x + 4y + 3 = 0	18) 4x^2+ 4y^2- 12x + 4y + 3 = 0
4) 9x^2+ 5y^2+ 18x - 30y + 9 = 0	19) 9x^2+ 5y^2+ 18x - 30y + 9 = 0
5) 4x^2+ 36y^2+ 72y - 16x - 92 = 0	20) 4x^2+ 36y^2+ 72y - 16x - 92 = 0
6) 9x^2+ 4y^2+ 54x +8y + 49 = 0	21) 9x^2+ 4y^2+ 54x + 8y + 49 = 0
7) x^2+ 4y^2- 2x + 56y + 181 = 0	22) x^2+ 4y^2- 2x + 56y + 181 = 0
8) x^2+ 4y^2+ 4x - 16y - 8 = 0	23) x^2+ 4y^2+ 4x - 16y - 8 = 0
9) x^2+ 2y^2+ 8x - 4 = 0	24) x^2+ 2y^2+ 8x - 4 = 0
10) 36x^2- 4y^2- 72x + 16y - 88 = 0	25) 36x^2- 4y^2- 72x + 16y - 88 = 0
11) 9y^2- 4x^2+16x + 18y + 29 = 0	26) 9y^2- 4x^2+16x + 18y + 29 = 0
12) x^2- y^2- 4y = 0	27) x^2- y^2- 4y = 0
13) 7x^2- 2 y^2- 42x - 16y + 17 = 0	28) 7x^2- 2y^2- 42x - 16y + 17 = 0
14) 9x^2- 4y^2+ 24y - 72 = 0	29) 9x^2- 4y^2+ 24y - 72 = 0
15) -x^2+ 4y^2- 4x + 8y - 4 = 0	30) -x^2+ 4y^2- 4x + 8y - 4 = 0