- •Тема 1 Определители………………………………………………………………………4
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема1 Определители( 4 часа)
- •Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
- •Тема 3. . Аналитическая геометрия на плоскости (4 часа)
- •Примеры решения задач и комментарии
- •Тренинг по решению задач
- •Тема1 Плоскость в пространстве(4 часа)
- •Тренинг порешению задач
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг порешению задач
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач
- •Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
- •Тема 4 Обратная матрица(2часа)
- •2. Задачи для самостоятельного решения:
Задание 4
Принадлежит ли точка плоскости?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Определить, какая из точек илилежит на плоскости.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Двум координатам из трех следует придать произвольные значения; если все три коэффициента отличны от нуля, то любой паре координат можно присвоить произвольные значения. |
Пусть ,
|
2 |
Подставить выбранную пару координат в уравнении плоскости. |
|
3 |
Из полученного равенства найти третью координату. Замечание: если в уравнении плоскости отсутствует какая-либо из координат, то этой координате и одной из оставшихся присваиваются произвольные значения |
Точка (0,-1,-1) лежит на заданной плоскости. |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторыи.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Проверить, будут ли векторы ,коллинеарны |
Условие коллиеарности не выполнено, задача имеет единственное решение |
2 |
Найти векторное произведение | |
3 |
Положить вектор равным |
= |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки,и.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найти расстояние от точки до плоскости.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие |
1 |
Вычислить расстояние dпо формуле |
Точка отстоит от плоскости на расстоянии 4 ед. |
Выполните самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Найдите расстояние от точки до плоскости.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите расстояние от точкидо плоскости.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите расстояние от точки до плоскостиXOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найти расстояние от начала координат до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и. (Указание: использовать умение 3).
Тема 2 Прямая в пространстве(4 часа)
№ п/п |
Умение |
Алгоритм |
1 |
Каноническое и параметрическое уравнение прямой а) Написать каноническое уравне-ние прямой по двум точкам и |
1. Вычислить координаты вектора . 2. Взять направляющим вектором прямой вектор:=. 3. Написать каноническое уравнение прямой, прохо-дящей через точку (можно) с направляющим вектором
|
б) Написать параметрическое урав-нение прямой, заданной канони-ческим уравнением |
1. Обозначить коэффициент пропорциональности через t(параметр);;. 2. Из полученных равенств выразить координаты : | |
2 |
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей
() |
1. Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого надо найти какое-нибудь решение системы.(*) Одной из переменных следует присвоить произвольное значение (удобно брать значение равное нулю) и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: если , то положить(z=0), если, то -(х=0), если же, то -(у=0). 2. Выписать координаты векторов нормали и. 3. Найти векторное произведение 4. Взять направляющим вектор прямой . 5. Написать каноническое уравнение прямой |
3 |
Найти точку пересечения прямойс плоскостью |
1. Записать параметрические уравнения заданной прямой (см. ум. 4). 2. Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости: . 3. Из последнего уравнения вычислить значение параметра t. 4. а) если найденное значение tединственно, то под-ставив его в параметрическое уравнение прямой, получим единственную точку пересечения; б) если уравнение для tнесовместно, точек Пересе-чения нет, прямая параллельна плоскости; в) если уравнение справедливо при любом t, то прямая лежит на плоскости – точек пересечения множества. Замечание. Фактически здесь описан один из способов решения совместного уравнения плоскости и прямой |