Тема 4 Обратная матрица(2часа)

№ п/п	Умение	Алгоритм
3	Вычисление обратной матрицы а) методом Гаусса б) с помощью алгебра-ических дополнений	Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Полу-чим матрицу. Привести матрицу к ступенчатому виду, используя изве-стные элементарные преобразования. Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица . К элементарным преобразованиям первого и второго типов добавляется преобразование третьего типаумножение (деление) строки на число. Преобразования следует начинать с последней строки. Окончательно матрица будет иметь вид. Выписать обратную матрицу , гдематрица, стоящая справа отв последней преобразованной матрице. Вычислить определитель матрицы , убедиться, что. Для каждого элемента вычислить его алгебраическое допол-нениеи составить матрицу Транспонировать матрицу , получить "присоединенную" мат-рицу Разделить все элементы матрицы на; обратная матрица. Выписать обратную матрицу:
5	Решение невырожден-ной системы уравне-ний с помощью обратной матрицы	Найти и убедиться, что матрицаневырожденная. Найти обратную к матрице матрицу. Вектор-решение системы получить по формуле

Тренинг по решению задач

Задание

Вычислить матрицу , обратную матрице, с помощью алгебраических допол-нений.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Вычислить определитель матрицы	Разложим определитель по первой строке:
2	Для каждого элемента вычислить алгебраи-ческое дополнениеи составить матрицу
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
3	Транспонировать , получить матрицу
4	Разделить все элементы матрицы на. Выписать

Решите самостоятельно следующие задания:

Найти матрицу, обратную матрице A

Задание 1

.

Задание 2

^.

Задание 3

^.

Задание 4

^.

Задание 5

Найти матрицы, обратные к матрицам AиB:

,.

Убедиться, что матрицы AиBвзаимно обратны, т.е..

Указание: умножить матрицу AнаB. Чему равно произведениеAB?

2. Задачи для самостоятельного решения:

Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.

Задача 1.Дана матрицаCи вектор.

Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:

1) ранг матрицы C;

2) общее решение однородной системы уравнений , где

,– вектор неизвестных,– вектор правых частей однородной системы. Выписать решения в координатной и векторной формах;

3) совместна ли неоднородная система уравнений ?

Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.

Задача 2.Даны матрицыAи вектор. Считая векторвектором неизвестных, выписать систему уравнений:

1) вычислить определитель матрицы A, убедиться, что матрицаAневырожденна,;

2) найти матрицу ;

3) решить неоднородную систему , найти вектор-решение;

4) найти произведение матрицы на вектор.

№ варианта	Задача 1			Задача 2
1
2
3
4
№ варианта	Задача 1			Задача 2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
№ варианта	Задача 1			Задача 2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
№ варианта	Задача 1			Задача 2
27
28
29
30

64