- •Тема 1 Определители………………………………………………………………………4
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема1 Определители( 4 часа)
- •Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
- •Тема 3. . Аналитическая геометрия на плоскости (4 часа)
- •Примеры решения задач и комментарии
- •Тренинг по решению задач
- •Тема1 Плоскость в пространстве(4 часа)
- •Тренинг порешению задач
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг порешению задач
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач Задание
- •Решение
- •Выполните самостоятельно следующие задания:
- •Тренинг по решению задач
- •Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
- •Тема 4 Обратная матрица(2часа)
- •2. Задачи для самостоятельного решения:
Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
№ п/п |
Умение |
Алгоритм |
1 |
Вычислить площадь треугольника, пост-роенного на векторахи |
1. Изучить определение и свойства векторного произведения . 2. Найти координаты векторного произведения 3. Вычислить модуль векторного произведения :. 4. Выписать ответ: площадь треугольника Sравна половине площади параллелограмма, т.е.S= |
2 |
Проверить, будут ли векторы ,, линейно зависимы (компланарны), и най-ти объем параллелепипеда, построенно-го на этих векторах в противном случае |
1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл. 2. Вычислить смешанное произведение . 3. Сделать вывод: если = 0, то вектора,,лежат в одной плоскости, т.е. линейно зависимы (любой вектор может быть линейно выражен через другие); если(векторы не компланарны), то объем параллелепипеда, построенного на этихвекторах, , причем тройка,, будетправой, если , и левой в противном случае |
Тренинг по решению задач
Задание
Найти площадь треугольника , построенного на векторахи.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Ознакомиться с определением вектора, равного векторному произведению |
, где ,и. Т.е. - численно равен площади параллелограмма, построенного наи |
2 |
Вычислить координаты векторного произведения | |
3 |
Вычислить модуль векторного произ-ведения |
; |
4 |
Выписать ответ |
Площадь равна половине площади параллело-грамма = |
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Даны векторы и. Найти векторное произведение векторови, где,.
Задание 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, где,.
Задание 3
Найти векторы ,,, где,,- базисная тройка.
Задание 4
Найти координаты вектора , если известно:
1) ,;
2) ,;
3) .
Задание.5
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ,как на сторонах, еслии- единичные векторы, угол между которыми равен 30о.
Задание
Проверить, будут ли векторы ,икомпланарны, и найти объем параллелепипеда, построенного на,,, в противном случае.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Изучить определение смешанного произведе-ния трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл |
|
2 |
Вычислить смешанное произведение |
= Определитель считаем разложением по 1-му столбцу |
3 |
Сделать вывод: если = 0, то векторы лежат в одной плоскости, если0, то объем параллелепипеда |
Так как = 0, то векторы лежат в одной плоскости и будут линейно зависимыми. Так, . Объем параллелепипеда в этом случае V= 0 |
Решите самостоятельно следующие задания:
Задание 1
Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах ,икак на сторонах, если,,.
Задание 2
Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах ,,.
Задание 3
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ,,, если известно, что ,, скалярные произведения,и векторперпендикулярен осиОХ.
Задание 4
Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1),В(0, 1, 5),С(-1, 2, 1),D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Задание 5
Вектор ортогонален векторами;;;; угол между векторамииравен, т.е. (^) =. Вычислить.
Задание 6
Определить, какой является тройка векторов ,,(левой или правой), если,,.
Примеры решения задач
Пример 1. Даны два вектораи. Найти косинус угла между векторамии.
Решение. Найдем координаты векторови.
;;;
;;.
Итак: ,.
Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:
;
;
.
Теперь можно вычислить косинус угла между этими векторами
.
Пример 2. При каком значениивекторыиортогональны? (Координаты векторовизаданы в примере 1.)
Решение. Найдем координаты векторови:
;
.
Запишем условие ортогональности полученных векторов:
, или.
После преобразования получим ; откуда.
. Самостоятельно решите следующие задачи
1. Найти скалярное произведение .
2. При каком значении векторыиортогональны?
3. Даны три вектора ,,. Определить, лежат ли они в одной плоскости (являются ли они линейно зависимыми). Если нет, то вычислить объем треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на векторах,,.
№ п/п | |||
1 |
{1,2,0} |
{0,-1,2} |
{2,3,2} |
2 |
{1,2,-1} |
{0,-1,1} |
{1,1,4} |
3 |
{0,2,1} |
{1,1,0} |
{1,3,-2} |
4 |
{1,0,1} |
{0,2,1} |
{1,4,3} |
5 |
{2,1,0} |
{1,0,1} |
{2,2,-2} |
6 |
{0,1,-1} |
{2,2,-1} |
{2,3,-2} |
7 |
{2,-1,0} |
{0,-1,-1} |
{-2,0,1} |
8 |
{0,1,1} |
{1,1,0} |
{2,5,1} |
9 |
{1,0,1} |
{3,2,1} |
{-2,-2,0} |
10 |
{0,1,-2} |
{3,2,-1} |
{0,2,-4} |
11 |
{1,0,-1} |
{2,3,-1} |
{2,0,-2} |
12 |
{2,1,1} |
{0,1,-1} |
{3,1,0} |
13 |
{0,2,2} |
{3,1,2} |
{1,5,6} |
14 |
{1,1,1} |
{0,1,2} |
{1,1,4} |
15 |
{0,-1,-2} |
{1,-4,-2} |
{0,-1,-2} |
16 |
{1,2,0} |
{0,-1,2} |
{1,1,1} |
17 |
{1,2,-1} |
{0,-1,1} |
{1,1,1} |
18 |
{0,2,1} |
{1,1,0} |
{1,3,5} |
19 |
{1,0,1} |
{0,2,1} |
{3,2,4} |
20 |
{2,1,0} |
{1,0,1} |
{-1,-1,-1} |
21 |
{0,1,-1} |
{2,2,-1} |
{6,8,-5} |
22 |
{2,-1,0} |
{0,-1,-1} |
{4,-4,-2} |
23 |
{0,1,1} |
{1,1,0} |
{1,4,3} |
24 |
{1,0,1} |
{3,2,1} |
{-2,-2,0} |
25 |
{0,1,-2} |
{3,2,-1} |
{3,3,1} |
26 |
{1,0,-1} |
{2,3,-1} |
{3,3,0} |
27 |
{2,1,1} |
{0,1,-1} |
{2,2,0} |
28 |
{0,2,2} |
{3,1,2} |
{-3,1,0} |
29 |
{1,1,1} |
{0,1,2} |
{2,1,0} |
30 |
{0,-1,-2} |
{1,-4,-2} |
{1,-5,1} |