17. Наилучшая минимаксная аппроксимация

Наилучшая минимаксная аппроксимация

Минимаксная аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем интервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см. ниже) и реализуется следующей функцией:

mimmax(f, x=a..b, [m.n], w, 'maxerror')

minimax(f, a..b, [m,n], w, 'maxerror')

Здесь помимо уже отмеченных параметров w — процедура или выражение, maxerror — переменная, которой приписывается значение miniraax-нормы. Ниже дан пример аппроксимации функции cos(x) в интервале [-3, 3]:

12.gif

18. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза

Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза

Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следующая функция:

remez(w, f, a, b, m, n,_crit, 'maxerror')

Здесь w — процедура, представляющая функцию w(x) > 0 в интервале [a, b], f — процедура, представляющая аппроксимируемую функцию а и b — числа,' задающие интервал аппроксимации fa,b], m и n — степени числителя и знаменателя аппроксимирующей функции, crit — массив, индексированный от 1 до m + n + 2 и представляющий набор оценок в критических точках (то есть точек максимума/минимума кривых погрешности), mахеrrоr — имя переменной, которой присваивается минимаксная норма w abs(f -r).

Следующий пример иллюстрирует применение данной функции для аппроксимации функции erf(x):

13.gif

19. Другие функции пакета

Другие функции пакета

Отметим назначение других функций пакета numapprox:

• chebdeg(p) — возвращает степень полинома Чебышева р;

• chebmult(p, q) — умножение полиномов Чебышева р и q;

• chebsort(e) — сортирует элементы ряда Чебышева;

• confracform(r) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь;

• confracform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь с независимой переменной х;

• hornerform(r) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера;

• hornerform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера с независимой переменной х;

• infnorm(f, x=a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезкех [а, b];

• infnorm(f, a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезке [а, b].

Действие этих функций очевидно, и читатель может самостоятельно опробовать их в работе.

20. Пакет интегральных преобразований inttrans

Пакет интегральных преобразований inttrans

Общая характеристика пакета

Это один из пакетов, наиболее важных для общематематических и научно-технических приложений. Он содержит небольшой набор функций:

> with(inttrans):

[addtable,fourier,fouriercos,fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invldplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]

Однако эти функции охватывают такие практические важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Лапласа и Фурье и ряд других интегральных преобразований. Ниже они обсуждены более подробно.

В предшествующих реализациях системы Maple функции прямого и обратного Z-преобразований также входили в пакет inttrans, однако в Maple 6 и 7 они перенесены в ядро системы.