22. Иллюстративная графика пакета student

Иллюстративная графика пакета student

Пакет student имеет три графические функции для иллюстрации интегрирования методом прямоугольников:

• leftbox(f(x), x=a..b, о) или leftbox(f(x), x=a..b, n, 'shading'=<color>, о);

• rightbox(f(x), x=a..b, о) или rightbox(f(x), x=a..b, n, о);

• middlebox(f(x), x=a..b, о) или middlebox(f(x), x=a..b, n, o);

Здесь f (x) — функция переменной х, х — переменная интегрирования, а — левая граница области интегрирования, b — правая граница области интегрирования, n — число показанных прямоугольников, color — цвет прямоугольников, о — параметры (см. ?plot,options).

Рис. 16.16.Примеры иллюстративной графики пакета student

В этих функциях прямоугольники строятся соответственно слева, справа и по середине относительно узловых точек функции f(x), график которой также строится. Кроме того, имеется функция для построения касательной к заданной точке х = а для линии, представляющей f(x):

showtangent (f(x), x = а)

Рисунок 16.16 показывает все эти возможности пакета student. Три вида графиков здесь построены в отдельных окнах.

Графические средства пакета student ограничены. Но они предоставляют как раз те возможности, которые отсутствуют в основных средствах построения графиков.

49.gif

23. Пакет работы с тензорами tensor

Пакет для работы с тензорами tensor

Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов. Поле компонентов — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта. Поле характеристик индексов задается списком чисел 1 и -1. При этом 1 на i-й позиции Означает, что соответствующий индекс контрвариантный, а -1 — что он ковариантный.

Процедура tensor_type возвращает логическое значение true, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора, и false, если он этому свойству не удовлетворяет.

Каждому тензору соответствуют еще две таблицы. Таблица коэффициентов вращения задает коэффициенты вращения Ньюмена—Пенроуза, которые вычисляются функцией tensor[npspin] и индексируются именами греческих букв alpha, beta, gamma, epsilon и т. д. Другая таблица (компонент кривизны) содержит компоненты кривизны Ньюмена—Пенроуза. Они представлены тремя полями: полем Phi в виде массива размерности (0..2.0..2) с компонентами Риччи, поле Psi с массивом размерности (0. .4) с компонентами Вейля и полем R со скаляром Риччи.

Объявление:

> with(tensor);

[Christoffell, Christoffel2, Einstein, Jacobian, Killing_eqns, LevijCivita, Lie_diff, Ricci, Ricciscalar, Riemann, RiemannF, Weyl, act, antisymmetrize, change_basis, commutator,

compare, conj, connexF, contract, convertNP, cov_diff,

create,dlmetric, d2metric, directional_diff, displayGR, display_allGR, dual, entermetric, exteriorjiiff, exterior_prod, frame,geodesic_eqns, get_char, get_compts,get_rank, init, invars, invert, lin_com, lower, npcurve, npspin, partial_diff, permute_indices, petrov, prod, raise, symmetrize, tensorsGR, transform}

дает доступ к следующим функциям пакета:

• Christoffell — вычисление символов Кристоффеля первого рода;

• Christoffel2 — вычисление символов Кристоффеля второго рода;

• Einstein — возвращение тензора Эйнштейна;

• display_alJGR — описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой tensorsGR (общая теория относительности);

• displayGR — описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (общая теория относительности);

• Jacobian — Якобиан преобразования координат;

• Killng_eqns — вычисление компонентов для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства);

• LeviCivita — вычисление ковариантных и контрвариантных псевдотензоров Леви—Чивита;

• Lie_diff — вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю;

• Ricci — тензор Риччи;

• Ricciscalar — скаляр Риччи;

• Riemann — тензор Римана;

• RiemannF — тензор кривизны Римана в жесткой системе отсчета;

• tensorsGR — вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (общая теория относительности);

• Weyl — тензор Вейля;

• act — применяет операции к элементам тензора, таблицам вращений или кривизны;

• antisymmetrize — антисимметризация тензора по любым индексам;

• change_basis — преобразование системы координат;

• commutator — коммутатор двух контравариантных векторных полей;

• compare — сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны;

• conj — комплексное сопряжение;

• connexF — вычисляет связующие коэффициенты для жесткой системы координат;

• contract — свертка тензора по парам индексов;

• convertNP — преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена—Пенроуза;

• cov_diff — ковариантное дифференцирование;

• create — создает тензорный объект;

• dlmetric — первая частная производная метрики;

• d2metric — вторая частная производная метрики;

• directional_diff — производная по направлению;

• dual — осуществляет дуальную операцию над индексами тензора;

• entermetric — обеспечивает ввод пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрического тензора;

• externor_diff— внешнее дифференцирование полностью антисимметричного ковариантного тензора;

• exterior_prod — внешнее произведение двух ковариантных антисимметричных тензоров;

• frame — задает систему координат, которая приводит метрические компоненты к диагональной сигнатурной матрице (с положительными или отрицательными единицами);

• geodesic_eqns — уравнение Эйлера—Лагранжа для геодезических кривых;

• get_char — возвращает признак (ковариантный/контравариантный) объекта;

• getcompts — возвращает компоненты объекта;

• get_rank — возвращает ранг объекта;

• invars — инварианты тензора кривизны Римана (общая теория относительности);

• invert — обращение тензора второго ранга;

• lincom — линейная комбинация тензорных объектов;

• lower — опускает индексы;

• npcurve — компонента кривизны Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);

• npspin — компонент вращения Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);

• partial_diff — частная производная тензора;

• permute_indices — перестановка индексов;

• petrov — классификация Петрова тензора Вейля;

• prod — внутреннее и внешнее тензорные произведения;

• raise — поднятие индекса;

• symmetrize — симметризация тензора по любым индексам;

• transform — преобразование системы координат.

Примеры применения этого пакета можно найти в справочной базе данных системы. Пакет представляет интерес для физиков-теоретиков, работающих в области общей теории относительности и ее приложений/Для них (но не для большинства пользователей) приведенные данные полезны и понятны.