Пример расчета

Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по нормальному закону на уровне значимости =0,1 по значениям выборки наблюдений показателя качества, приведенным в табл. 7 (объем выборки n=500).

Таблица 7

Исходные данные

Номер интервала	Границы интервала	Частота ni	Середина интервала xi
1	162…166	5	164
2	166…170	33	168
3	170…174	70	172
4	174…178	132	176
5	178…182	119	180
6	182…186	87	184
7	186…190	42	188
8	190…194	12	192
	Итого	ni=500

1. Отрываем новую книгу Microsoft Excel и на первом листе заносим исходные данные в ячейки А1…Е9 (см. табл. 8).

2. В массиве ячеек Е2:Е9 определяем значения середин интервалов (например, ячейка Е2 содержит формулу =(В2+С2)/2; ячейка Е3 – формулу =(В3+С3)/2 и т.д.). В ячейку D12 заносим формулу =СУММ(D2:D9) для расчета общего количества проведенных наблюдений.

3. В ячейке Е12 вычисляем среднее арифметическое значение наблюдаемого показателя качества x_ср по формуле =СУММПРОИЗВ(D2:D9;E2:E9)/D12.

4. В ячейке F12 определим стандартное отклонение, с этой целью рассчитаем массив F2:F9 значений (x_i-x_ср)². Например, в ячейке F2 содержится формула =СТЕПЕНЬ(E2-E12;2), в ячейке F3 – формула =СТЕПЕНЬ(E3-E12;2) и т.д. Ячейка F12 содержит формулу =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(D2:D9;F2:F9)/D12).

5. В массиве G2:G9 вычисляем значения функции плотности нормального распределения (например, ячейка G2 содержит формулу =НОРМРАСП(E2;E12;F12;0); ячейка G3 – формулу =НОРМРАСП(E3;E12;F12;0) и т.д.).

6. В массиве H2:H9 рассчитываем теоретические частоты нормального распределения n_i (например, в ячейке Н2 содержится формула =G2*D12*(C2-B2); в ячейке Н3 – формула =G3*D12*(C3-B3) и т.д.). Их округленные значения помещаем в массив I2:I9.

7. Для расчета критерия ²_наблвводим дополнительный массив J2:J9 значений (n_i - n_i)² / n_I (например, в ячейке J2 содержится формула =СТЕПЕНЬ(D2-I2;2)/I2; в ячейке J3 – формула =СТЕПЕНЬ(D3-I3;2)/I3 и т.д.). Значение критерия ²_наблсодержится в ячейке J12 с формулой СУММ(J2:J9). Для приведенных исходных данных ²_набл=4,33.

8. Определяем правостороннюю критическую границу, используя функцию ХИ2ОБР, занося это значение в ячейку К12. Ячейка К12 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,1;5), где 0,1 – уровень значимости , 5 – число степеней свободы k с учетом того, что число интервалов в выборке равно 8. Получилась следующая правосторонняя критическая область (9,24;+).

Результаты вычислений заносим в табл. 8.

Таблица 8

Результаты расчета

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Номер ин-тервала	Границы интервала		Частота, ni	Середина интервала, xi	(xi-xср)^2	Значение функции НОРМРАСП	Теор. частоты, ni	Округленные, ni
2	1	162	166	5	164	211,06	0,003235	6,47	6	0,17
3	2	166	170	33	168	110,84	0,013712	27,42	27	1,33
4	3	170	174	70	172	42,61	0,036649	73,30	73	0,12
5	4	174	178	132	176	6,39	0,061768	123,54	124	0,52
6	5	178	182	119	180	2,17	0,065645	131,29	131	1,10
7	6	182	186	87	184	29,94	0,043992	87,98	88	0,01
8	7	186	190	42	188	89,72	0,018590	37,18	37	0,68
9	8	190	194	12	192	181,49	0,004953	9,91	10	0,40
10

Окончание табл. 8

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
11				n	xср					^2
12				500	178,528	5,89043				4,33

Так как ²_набл =4,33 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Проверка гипотезы о равенстве средних

(математических ожиданий) двух нормальных

распределений с известными дисперсиями

Важное практическое применение имеет критерий проверки гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями (известными из предшествующего опыта или найденными теоретически). Подобная задача возникает, например, при сравнении качества изделий, изготовленных на разных установках.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, по независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, определены выборочные средние и.

Нулевая гипотеза, которую требуется проверить по выборочным средним при заданном уровне значимости , запишется следующим образом:

, (5)

т.е. генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами. Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические ирезультатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическоерезультатов измерений физической величиныА значимо отличается от среднего арифметического результатов измерений физической величиныВ, то это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

. (5)

Если нулевая гипотеза выполняется, то критерий Z – нормированная случайная величина, т.е. ее математическое ожидание М(Z)=0 и стандартное отклонение (Z)=1.

Для проверки гипотезы о различии между средними (математическим ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями используется режим Двухвыборочный z-тест для средних. В диалоговом окне данного режима (рис. 6) задаются следующие параметры:

Рис. 6

1. Интервал переменной 1 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины X. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

2. Интервал переменой 2 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины Y. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

3. Гипотетическая средняя разность – вводится число, равное предполагаемой разности средних (математических ожиданий) изучаемых генеральных совокупностей. Значение 0 указывает на то, что проверяется гипотеза Н₀: a_x=a_y.

4. Дисперсия переменной 1 (известная) – вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины X.

5. Дисперсия переменной 2 (известная) – вводится известное значение дисперсии генеральной совокупности величины Y.

6. флажок Метки – устанавливается в активное состояние, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовки. Если заголовки отсутствуют, флажок следует деактивизировать, в этом случае будут автоматически созданы стандартные названия для данных выходного диапазона.

7. Альфа – вводится уровень значимости , равный вероятности возникновения ошибки первого рода.

8. переключатель Выходной интервал / Новый рабочий лист / Новая рабочая книга. В положении Выходной интервал активизируется поле, в которое необходимо ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически и на экране появится сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. В положении Новый рабочий лист открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа. Если необходимо задать имя открываемого рабочего листа, его вводят в поле, расположенное напротив соответствующего положения переключателя. В положении Новая рабочая книга открывается новая книга, на первом листе которой начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа.