Пример расчета

Выборочные данные о диаметре валиков (мм), обработанных на автоматах 1 и 2, приведены в табл. 9, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel. По выборке объема n=14 найден средний размер диаметра валиков =124,49 мм, обработанных на автомате № 1 (ячейкаD38 содержит формулу =СРЗНАЧ(D24:D37)). По выборке объема m=9 найден средний размер диаметра валиков =124,62 мм, обработанных на автомате № 2 (ячейка Е38 содержит формулу =СРЗНАЧ(Е24:Е32)).

Таблица 9

Выборочные данные о диаметре обработанных валиков

	C	D	E
23	Номер	Автомат № 1	Автомат № 2
24	1	124,55	126,73
25	2	123,08	124,42
26	3	125,37	124,92
27	4	126,91	124,70
28	5	126,80	123,45
29	6	127,60	123,29
30	7	121,72	125,76
31	8	124,65	122,45
32	9	126,64	125,90
33	10	123,37
34	11	123,96
35	12	122,46
36	13	122,23
37	14	123,53
38	Среднее	124,49	124,62
39	Дисперсия	3,66	1,92

Кроме того, предварительным анализом установлено, что размер диаметра валиков, обработанных на каждом автомате, имеет нормальный закон распределения с дисперсией _x²=3,66 мм² для автомата 1 и _y²=1,92 мм² для автомата 2. В ячейках D39 и Е39 содержатся соответственно следующие формулы: =ДИСП(D24:D37) и =ДИСП(Е24:Е32).

Можно ли на уровне значимости  = 0,05 объяснить различие выборочных средних случайными причинами? Или, иными словами, при уровне значимости  = 0,05 требуется проверить гипотезу Н₀: a_x = a_y.

Для решения задачи используем режим работы Двухвыборочный z-тест для средних.

Устанавливаем следующие параметры в одноименном диалоговом окне (см. рис. 6):

1. Интервал переменной 1 – $D23:$D37;

2. Интервал переменной 2 – $Е23:$Е32;

3. Гипотетическая средняя разность – 0;

4. Дисперсия переменной 1 (известная) – 3,66;

5. Дисперсия переменной 2 (известная) – 1,92;

6. Метки – устанавливаем флажок в активное состояние;

7. Альфа – 0,05;

8. Выходной интервал – $C$41.

Рассчитанные в данном режиме показатели представлены в табл. 10.

Таблица 10

Результаты расчета

	C	D	E
40
41	Двухвыборочный z-тест для средних
42
43		Автомат № 1	Автомат № 2
44	Среднее	124,49	124,62
45	Известная дисперсия	3,66	1,92
46	Наблюдения	14	9
47	Гипотетическая разность средних	0
48	z	-0,19
49	P(Z  z) одностороннее	0,423826596
50	z критическое одностороннее	1,64
51	P(Z  z) двухстороннее	0,847653193
52	z критическое двухстороннее	1,96
53

Нулевая гипотеза имеет вид Н₀: a_x = a_y, следовательно, альтернативная ей гипотеза – Н₁: a_x  a_y. В этом случае стоим двустороннюю критическую область (рис. 7), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости.

Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна :,.

Поскольку z – нормированная нормальная случайная величина, критические точки симметричны относительно 0.

В результате расчета получено: расчетное значение критерия z_р = -0,19; критическая область (-; -1,96)  (1,96; +) (рис. 8).

Т.к. расчетное значение критерия не попадает в критическую область, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, следовательно, различие выборочных средних обусловлено случайными причинами.