14

Глава 1.

1.2Случайные величины

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам на-

бор чисел x1; x2; ::: Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа x1; x2; ::: можно рассматривать как возможные реализации случайной величины x. На первом этапе ис-

следования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, xi встречается ni раз, а общее количество чисел равно n. Мы называем средним значением случайной величины x выражение:

x = hxi = n			i	xini =	i	1	x P (x) dx;	(1.7)
						xipi = Z
1			X		X
						1
ãäå pi = ni=n относительные частоты (или вероятности)								появления

того или иного xi. Åñëè âñå xi различны, то среднее равно их сумме, дел¼нной на n. Чем вероятнее xi, тем больший вклад оно да¼т в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию P (x),

умножение которой на интервал dx дает вероятность pi того, что значе- ние x окажется в отрезке от x до x + dx.

Вероятность обнаружить случайную величину x в любом месте диапазона [ 1::1] равна площади под кривой P (x). Понятно, что такое достоверное событие (любое значение x) имеет единичную вероятность:

P(x)dx = pi			1
P(x)		i	pi = Z	P (x)dx = 1:	(1.8)
x	x+dx	X	1

Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещ¼нные значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить x в области x < 0 равна нулю. При вычислении

средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещ¼нных для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Случайные события

15

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее зна- чение произвольной функции F (x) случайной величины x:

1
hF (x)i =		= Z
	F (x)		F (x) P (x) dx:

1

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение EF (x).

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

h f(x)i = hf(x)i ; hf(x) + g(x)i = hf(x)i + hg(x)i :

Но это и вс¼! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вы-

несены из-под знака среднего:			x2		6= hxi2.
Второй важнейшей
	характеристикой случайной величины является
е¼ волатильность :					1
2 =	(x x)2			= Z		(x x)2 P (x) dx:
					1

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Е¼ квадрат 2 это дисперсия или вариация, 2 = Var(x). Среднее значение x как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

2 = (x x)2 = x2 2xx + x2 = x2 2x hxi + x2 = x2 hxi2 :

Если плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует наиболее типичное значение x. Волатильность это типичные отклонения x

от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности P (x), и при ! 0 случайная величина становится практически детерминированной со значением x = x.

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

asym = (x x)3 = 3;

excess = (x x)4 = 4 3

(1.9)

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной P (x) она равна

нулю. При больших положительных эксцессах P (x) медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.

16

Глава 1.

Очень часто встречается плотность вероятности Гаусса, или нор-

мальное распределение. Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как ". Мы не будем различать

обозначения для случайной величины " и переменной в е¼ плотности вероятности, которая для нормального распределения имеет вид:

0.40

P( )			e 21 "2
0.24
		P (") =	p				(1.10)
	0.05			2
-2 -1 0 1	2

Среднее значение " равно нулю h"i = 0, а е¼ квадрата единице

"2 = 1. Следовательно, дисперсия также равна единице "2 = 1. Далее это будет обозначаться следующим образом: " N(0; 1). Если перей-

ти к случайной величине x = + ", то она будет иметь среднее и волатильность (l C4), поэтому x N( ; 2).

Для гауссовых величин полезно знание			производящей функции, рав-
ной среднему значению от экспоненты [см. (14), ñòð. 312]:
	1
he "i =	Z	e " P (") d"	= e 2=2:	(1.11)

1

Разложение в ряд по параметру левой и правой части (1.11) позволяет легко находить средние произвольных степеней h"ni (l H3).

В частности: "4 равно 3, и, следовательно, excess = 0. Вычитание из безразмерного момента четв¼ртого порядка тройки в определении эксцесса (1.9) связано с желанием рассматривать в качестве эталона нормальное распределение. Если excess > 0, то, скорее всего, распределение

имеет толстые хвосты , т.е. лежит выше графика нормального распределения (при x ! 1). Если эксцесс отрицательный наоборот, ниже.

Интегральным распределением:

x	e "2=2
F (x) = Z
	p			d"	(1.12)
		2
1

мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения x.

константа.

Случайные события

17

Если известна плотность вероятности P (x) величины x, то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины y, связанной с x некоторой функциональной зависимостью y = f(x). Для этого вычисляется среднее от произвольной функции F (y). Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности P (x):

1	F y
hF (y)i = Z

1	F f(x) P (x) dx:
P~(y) dy = Z		(1.13)

1 1

Òàê êàê ~

P (y) нам неизвестна, мы интегрируем с P (x) и подставляем y = f(x) в F (:::). При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при F (y) в подынтегральной функции

окажется искомой плотностью вероятности ~

P (y) äëÿ y.

Рассмотрим в качестве примера случайную величину r = + ", имеющую нормальное распределение со средним значением и волатильностью . Найд¼м распределение для x = x0 er, ãäå x0

1	F x0e + "		e "	=2 p2		=	1	F (x) e [ln(x=x0) ] =2		x p2 :
hF (x)i = Z							Z
			2		d"			2	2	dx
1							0

Первый интеграл вычисление среднего при помощи нормального распределения. В н¼м проводится замена x = x0 e + ", dx = xd". В резуль-

òàòå ïðè x > 0:

1					(ln(x=x0)		)2	:
PL(x) =	x p		exp		2 2				(1.14)
		2

Вероятность PL(x) называется логнормальным распределением. В каче- стве упражнения предлагается вычислить среднее hxi при помощи PL(x) или гауссовой плотности P (") (l H4).

Используя случайные величины в соотношениях типа x = + ",

мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о потенциальном вычислении: если " окажется равным неко-

торому значению, то x ... Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы X, а при вычислении среднего строчной буквой x, как переменную интегрирования.

Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии.