- •Случайные события
- •Стохастический мир
- •Случайные величины
- •Совместная и условная вероятности
- •Зависимость и независимость
- •Характеристическая функция
- •Модель аддитивного блуждания
- •Случайные процессы
- •Стохастические уравнения
- •Уравнение Ито
- •Остановка перед восхождением
- •Лемма Ито
- •Точные решения
- •Простые стохастические модели
- •Представление решений
- •Автокорреляция и спектр
- •Порождающий процесс Винера
- •Средние значения
- •Динамическое уравнение для средних
- •Процесс Феллера
- •Логистическое уравнение
- •Вероятности
- •Марковские плотности вероятности
- •Граничные условия
- •Стохастические интегралы
- •Площадь под траекторией Винера
- •Интегралы Ито
- •Интегрирование стохастических уравнений
- •Единственность решений
- •Метод последовательных приближений
- •Системы уравнений
- •Скоррелированные блуждания
- •Системы стохастических уравнений
- •Стохастический осциллятор
- •Линейные многомерные модели
- •Многомерие помогает одномерию
- •Как решать стохастические задачи?
- •Стохастическая природа
- •Теория броуновского движения
- •Стохастический осциллятор
- •Дрожание земной оси
- •Электронный шум
- •Хищники и их жертвы
- •Стохастическое общество
- •Финансовые рынки
- •Эмпирические закономерности
- •Диверсификация
- •Портфель на всю жизнь
- •Опционы
- •Кривая доходности
- •Компьютерное моделирование
- •Статистики
- •Случайные числа
- •Моделирование стохастических процессов
- •Ошибки вычислений и ускорение сходимости
- •Вычисление средних
- •R: Стохастический справочник
- •Основные соотношения теории
- •Системы уравнений с одинаковым шумом
- •M: Математические приложения
- •H: Помощь
- •C: Примечания
- •Рекомендуемая литература
164 |
Глава 6. |
6.4Линейные многомерные модели
Найд¼м решение линейных стохастических уравнений (по j сумма):
dxi = Aij (xj cj) dt + Bij Wj:
Постоянный вектор cj можно убрать сдвигом xj ! xj + cj. В решении делается обратный сдвиг. Поэтому будем изучать однородное уравнение, которое запишем в матричной форме:
dx = A x dt + B W;
где A и B не зависящие от x и времени матрицы.
Для определения среднего проще всего сразу воспользоваться соотношением (6.16):
_ |
|
|
|
|
=> |
|
At |
x0 |
; |
(6.20) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = A x |
x = e |
|
|||||||||
ãäå x0 вектор начального значения. Если мы хотим вернуть |
c, òî |
||||||||||
потребуются две замены: |
|
! |
|
c è x0 ! x0 c. |
|
|
|||||
x |
x |
|
|
Монотонная зависимость от t в матричной записи решения (6.20) îá-
манчива. Рассмотрим стохастический осциллятор из предыдущего раздела:
dy ! |
|
y Wy |
|
|
|
|||
dx = |
|
! |
|
x + |
Wx |
: |
|
(6.21) |
В этом случае матрицу A можно разбить на сумму двух матриц: |
|
|||||||
! |
|
|
|
0 |
1 |
1 0 |
||
A = ! = ! q |
|
1; |
|
1 = 1 |
0 ; |
q = 0 |
1 : |
|
Несложно проверить, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 = 1; |
q3 = q; |
|
q4 = 1; |
q5 = q; ::: |
|
|
Так как матрицы 1 и q коммутируют друг с другом (q 1 = 1 q), экспонента суммы разбивается на произведение eAt = e 1 t eq !t. Раскладывая
второй множитель по степеням t и учитывая аналогичное разложение для синуса и косинуса, решение можно представить в следующем виде:
y |
sin !t |
cos !t |
y0 |
|
|
x = e t |
cos !t |
sin !t |
x0 |
: |
(6.22) |
Оно же выше было получено другим методом. Таким образом, монотонная зависимость от времени в матричных соотношениях вполне может превратиться в периодическую функцию.
Системы уравнений |
165 |
Найд¼м более практичное, чем (6.20), представление для решения линейного уравнения. Будем его искать в виде:
|
(t) = u eat |
=> |
A u = a u: |
(6.23) |
x |
Постоянный вектор u является собственным вектором матрицы A, а параметр a е¼ собственным значением. Перенося (a u) в левую часть, получаем систему однородных уравнений относительно u, которая имеет ненулевое решение, только если е¼ детерминант равен нулю:
det(A a 1) = 0:
Это уравнение называется характеристическим и является полиномом n-той степени по a. Обычно оно имеет n различных решений a1; :::; an.
Часть из них может оказаться комплексными. Для каждого из них мы решаем уравнение (6.23) и находим собственные вектора u(k). Внимание!
Верхний индекс это номер собственного вектора, а не его компонента. Теперь общее решение для среднего значения вектора переменных со-
стояния можно записать в следующем виде:
X X
x(t) = k u(k) eakt; x0 = k u(k); (6.24) k k
ãäå k произвольные константы, выражающиеся через начальные условия x0 = x(0). Прямой подстановкой в исходное уравнение можно проверить справедливость этого решения. Действительная часть собствен- ных значений ak будет приводить к экспоненциально уменьшающимся (Re ak < 0) или увеличивающимся (Re ak > 0) решениям. Мнимая часть соответствует колебательным режимам.
Если матрица A симметрична, то собственные вектора можно выбрать ортогональными: u( ) u ( )
жение). В этом случае k = x0 u (k).
Когда k выражены через x0, можно найти явное представление экспоненты от матрицы. Действительно, из (6.20), âçÿв производную по компо-
нентам начального условия, имеем |
eAt |
= @x =x0 . В частности, если |
|||
собственные вектора ортогональны |
( k |
= x0 u (k)), òî: |
|
||
eAt |
= Xk |
u(k) u (k) eakt: |
(6.25) |
||
|
|
|
|
|
|
В качестве упражнения (l H33) предлагается найти eAt для матрицы 2x2,
óкоторой A12 = A22 = 0. Необходимо это сделать прямым разложением экспоненты при помощи собственных значений.
166 |
Глава 6. |
Выразим теперь решение стохастической линейной системы через гауссовы переменные. Введ¼м новый вектор y, удовлетворяющий, по лемме Ито (6.13), ñòð. 157, следующему уравнению:
y = e At x => dy = e At B W = G(t) W:
Матрица G(t) = e At B зависит только от времени, поэтому решение |
|
этого уравнения легко найти при помощи итерационного метода: |
|
y (t) = y (t0) + Xk |
G (tk)" (tk)p t = y (t0) + g " : |
Сумма независимых гауссовых чисел " (tk) снова пропорциональна гауссовому числу, которое удобно представить в виде суммы независимых величин " (второе равенство). Найд¼м значения g . Для этого вычис-
лим среднее от y(t) y(t0)) (y(t) y(t0) :
X
g g h" " i = G (tk)G (tl) h" (tk)" (tl)i t:
k;l
Учитывая независимость случайных величин h" (tk)" (tl)i = ; k;l è h" " i = ;, а также переходя к непрерывному пределу t ! 0, полу- чаем (t0 = 0):
|
|
t |
g g = |
i |
G (ti)G (ti) t = Z G ( )G ( ) d ; |
|
X |
0 |
èëè: |
t |
|
g(t) gT (t) = Z0 |
|
|
e A B BT e AT d : |
(6.26) |
Напомню, что (A B)T = BT AT (ñì. ñòð. 304). Решение для y запишем в матричном виде, учитывая, что y0 = x0 ïðè t = 0:
y = x0 + g(t)
Поэтому, так как x = eAt y, окончательное решение системы линейных стохастических уравнений имеет вид:
x(t) = x(t) + S(t) ; |
(6.27) |
ãäå S = eAt g. Вектор = f"1; :::; "ng представляет собой набор независимых случайных чисел с гауссовым распределением, имеющим нулевое среднее и единичную дисперсию, а x(t) среднее значение (6.20), (6.24). В качестве упражнения (l H34) предлагается найти матрицу eAt äëÿ двухмерного осциллятора и проверить решение (6.27).
Системы уравнений |
167 |
Вычислим матрицу дисперсий:
h i
D = h(x x) (x x) i = SiSj h"i"ji = S ST = eA t g gT eAT t :
Учитывая (6.26), имеем:
D(t) = S ST = Z |
t |
|
eA(t ) B BT eAT (t ) d : |
(6.28) |
|
0 |
|
|
Это соотношение можно (l H38) сразу получить из уравнения для средних (6.17), ñòð. 159, из которых следует матричное уравнение:
_ |
T |
T |
(6.29) |
D = A D + D A + B B : |
Если существует стационарный режим, то D_ = 0 и уравнение (6.29) ïîç- воляет легко найти D.
Распределение для x имеет гауссовый вид, поэтому, зная матрицу дисперсий, можно записать марковскую плотность вероятности:
P (x0; 0 ) x; t) = (2 )n=2 |
det D(t) exp |
2 |
(x x) D 1(t) (x x) |
; |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
ãäå D |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратная |
матрица дисперсий и |
x = x(t) средние значения ди- |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
p |
намических переменных. Они полностью определяют свойства процесса. В частности, характеристическая функция ( l H35):
he{ p xi = e{ p x 12 p D p
позволяет легко находить моменты произвольных порядков.
При помощи (6.27), (6.28) несложно ( l H39) найти ковариационную матрицу:
cov (t; t+ ) = hx (t)x (t + )i hx (t)i hx (t + )i = D(t) eAT : (6.30)
Если в пределе t ! 1 у системы существует стационарный режим, то в этом случае матрица дисперсий D становится постоянной, а ковариация зависит только от разности врем¼н .
Таким образом, алгоритм решения линейной задачи следующий: B Находим собственные значения и вектора матрицы A.
B Записываем решение для средних (6.24) и выражаем k через x0.
BПри помощи соотношения eAt = @x =x0 находим eAt.
BВычисляем матрицу дисперсий D .