H: Помощь

В этой главе приведены решения задач, которые в основном тексте были помечены символом (l Hi).

323

324

H1 Решение логистического уравнения.

Сделав замену x(t) = 1=y(t) для y(t), получаем линейное уравнение:

y = y + :

Решим сначала однородное уравнение y = y => y = A e t, ãäå
A константа интегрирования. Решение неоднородного уравнения ищем
â âèäå y = A(t) e t, и для функции A(t) получаем уравнение:
_	t	:
A = e

Разделяя переменные и интегрируя, находим A(t) = A0 + ( = ) e t. Â результате y(t) = A0 e t + = . Начальное условие y(0) = 1=x0 = A0 +

= позволяет определить константу A0 = 1=x0 = .

H2 Решение осцилляторного уравнения .

Взяв производную по времени от определения импульса x = p=m и

подставив в не¼ уравнение Ньютона для упругой силы p = kx, имеем: x• + !2 x = 0;

p

где две точки над x вторая производная по времени, а ! = k=m. По-

добные линейные уравнения с постоянными коэффициентами решаются подстановкой x(t) = e{k t, где { мнимая единица, а k константа, опре-

деляемая из квадратного характеристического уравнения k2 = !2 èëè k = !. В результате получаются два частных решения, сумма которых с произвольными константами да¼т общее решение:

x(t) = C1 e{!t + C2 e {!t:

Воспользовавшись формулой Эйлера ei = cos + { sin , получаем решение в виде суммы косинуса и синуса с частотой !. Осталось задать начальные условия.

H3 Эксцесс и другие моменты распределения Гаусса . Воспользуемся средним от экспоненты (1.11), ñòð. 16:

he "i = e 2=2:

Разложим в ряд по левую и правую части соотношения:

2

3

4

4=

2

1 + h"i + "2

+ "3

+ "4

+ :: = 1 + 2=2 +

2

+ :::

2!

3!

4!

2!

Приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями , получаем:

h"i = 0;

"2 = 1;

"3 = 0;

"4 = 3:

H: Помощь

325

H4 Среднее логнормального распределения . Вычислим среднее значение

hxi = x0 heri = x0 e he "i = x0 e + 2=2;

где использована формула (1.11) íà ñòð. 16. Получается любопытный и важный результат. Если = 2=2, то среднее значение hxi = x0. Ïðè

этом среднее логарифма отрицательно: hln(x=x0)i = hri = < 0.

H5 Регрессионная прямая.

Взяв производные ( + x y)2 по , и приравняв их к нулю:

2 h + x yi = 0;

2 hx ( + x y)i = 0;

получим систему линейных уравнений относительно параметров и :

(

+ hxi = hyi

hxi + x2 = hxyi :

Она легко решается и да¼т наклон прямой, равный:

=	hxyi hxi hyi	=	h(x x)(y y)i	= (x; y)	y	;
	hx2i hxi2		x2
					x
è = y x.

H6 Бесконечная делимость Гаусса, Коши и гамма . Характеристическая функция для n гауссовых чисел равна:

z(k) = heix0k 2k2=2in = ein x0k n 2k2=2:

Поэтому среднее суммы равно n x0, ãäå x0 среднее каждого слагаемого, p

а волатильность z = n . Для распределения Коши:

z(k) = einx0k najkj

ân раз увеличиваются и среднее значение, и ширина распределения a. Для гамма-распределения:

1

z(k) = (1 i k)n

параметр не изменяется, а увеличивается в n раз.

Заметим, что, если для Гаусса и Коши сумма двух распределений с любыми параметрами снова да¼т исходное распределения, то для гаммараспределения у них должны быть одинаковые (!).

326

H7 Эксцесс суммы z = x1 + ::: + xn.

Будем вычислять средние hzmi при помощи характеристической функции z(k) = n(k). Для этого возьм¼м е¼ производные (опуская аргумент k):

z0

= n n 1 0

00

= n(n

1) n 2

02 + n n 1 00

z

000

=

n(n

1)(n

2) n 3 03 + 3n(n

1) n 2

0 00

+ n n 1 000

z

0000

=

n(n

1)(n

2)(n

3) n 4

04

+ 6n(n

1)(n

2) n 3

02

00

z

+ 3n(n

1) n 2 002 + 4n(n

1) n 2 0 000

+ n n 1 0000:

Будем считать, для простоты, что средние hxii = 0 (что всегда можно сделать соответствующим сдвигом). Поэтому 0(0) = 0. Кроме этого,

hzmi = (zm)(0)=im, hxmi = (m)(0)=im и (0) = 1. В результате:

z3

= n

x3

z2

= n

x2

z4

= n

x4

+ 3n(n 1) x2

2

:

Эксцесс

распределения

z

равен:

x2 2

n !

z2 2

n

excess =

z4

3 =

1

x4

+ 3

n 1

3 0:

h

i

h i

В пределе n ! 1 эксцесс становится равным нулю. Несложно видеть,

что и асимметрия также стремится к нулю. Именно гауссово распределение обладает нулевой асимметрией (оно симметрично) и нулевым эксцессом.

H8 Детерминированность dx = "m dt. Решаем итерациями:

		"1m + ::: + "nm
x(t) = x0 + u t;	u =		:
		n

Статистические свойства случайной величины u выясняются, как и в случае m = 1; 2. Е¼ среднее равно нулю для неч¼тных m и h"mi для ч¼тных. Для квадрата получаем:

n

u2 = n12 X "mi "mj = n12 hn "2m + (n2 n) h"mi2i:

i;j=1

Поэтому дисперсия u2 hui2 = "2m h"mi2 =n ! 0 ïðè n ! 1.

H: Помощь							327
H9 Решение нестационарного уравнения .
q			p		= q
	s02 + ::: + sn2					(s02 + ::: + sn2	1) t:
		1		t

В пределе t ! 0 сумма под корнем превращается в интеграл от s2(t).

H10 Точное решение стохастического уравнения .

@F

=

s(t)

=>

@2F

=

s(t) @b(x; t)

=

s @b

:

@x

b(x; t)

@x2

b2(x; t)

@x

b2

@x

Подставляя эти производные в детерминированную часть формулы Ито и приравнивая е¼ к f(t), получим второе уравнение (2.21) íà ñòð. 57

H11 Логарифмический процесс Орнштейна-Уленбека .

s(t) = e t; F (x; t) = e t ln x; f(t) = (1 + ln )	2	e t:
	2

После элементарного интегрирования получаем решение уравнения (2.28):

x(t)

2

ln

x

2

e t +

ln

= 1

+

0

1 +

p

p1

e 2 t ":

2

2

2

Обратим внимание на член 2=2 в сносе. Среднее значение цены полу- чается при помощи формулы (1.11), ñòð. 16:

	2			x		2		2
x(t) = exp 1		+	ln	0	1 +		e t +		1 e 2 t :
	2					2		4

В асимптотическом пределе t ! 1 среднее стремится к уровню e1 2=4 .

Решение можно также получить, сделав при помощи формулы Ито замену y = ln x. Стохастическое уравнение для y имеет форму обычного

процесса Орнштейна-Уленбека.

H12 Броуновская ловушка.

s(t) = ; F (x; t) = ln jx j; f(t) = 2=2;

и, соответственно, решение записывается в следующем виде:

p

x = + (x0 ) e ( + 2=2) t+ t": (29)

Это решение можно получить сразу из (2.25), ñòð. 58, заменами x ! x ,

x0 ! x0 . Среднее значение и волатильность равны:

e t;

ê

p

.

x t

x

)

t

) = j

x

0

e t

e 2t

1

:

( ) =

+ ( 0

(

j

Видно, что среднее значение стремится к

, à

íóëþ, åñëè

2

> =2

328

H13 Автоковариация логарифмического блуждания.

Мы уже вычисляли среднее случайного процесса и среднее квадрата:

D p E

hxti = x0 e( 2=2)t+ t " = x0e t; x2t = x20 e(2 + 2)t:

Решение в момент времени t + мы записываем в виде:

p xt+ = xt e( 2=2) + ";

где случайная величина " не зависит от xt = x(t). Поэтому:

D p E

hxt+ xti = x2t e( 2=2) + " = x2t x0e :

Автоковариация окончательно равна :

h i cov(t; t + ) = x20e (2t+ ) e 2t 1 :

H14 Автоковариация броуновского моста .

Запишем решение в момент времени t + в следующем виде:

t+

t

T t

r

T t

x

= + (x

)

T t

+

(T t

)

":

Поэтому:

x

x

=

T t

x2(t)

x(t)

2

:

ti

h

h

i

i

T t

h

t+

Окончательно:

cov(t; t + ) = 2 (T t ) t t0 : T t0

H15 Автоковариация процесса Орнштейна - Уленбека . Запишем решение относительно момента t:

xt+ = + (xt )e +	p		p1		e 2 ":
		2

Среднее произведения, в силу независимости xt и ", равно: hxt+ xti = hxti + x2t hxti e :

Поэтому

cov(t; t + ) = hxt+ xti hxt+ i hxti = ( x2t hxti2) e :

H: Помощь

329

H16 Фурье-разложение f(t) = t t2=T на интервале t = [0::T ]. Воспользуемся формулами приложения M на стр. 314:

1			T
		ckei2 kt=T ;	cn = Z	f(t)e i2 nt=T	dt
f(t) = k=						:
	1				T
			0
X

Для вычисления интегралов с f(t) = tm удобно сначала вычислить сле- дующую производящую функцию :

T					e T 1
Z0		dt
	e t i2 nt=T			=		:
		T			T i2 n

Взяв производные левой и правой части по при значении = 0, мы получим необходимые нам интегралы:

T

t e i2 nt=T

T

= 2 n;

T

t2 e i2 nt=T

T

= 2 n

1n + i

:

Z0

Z0

dt

iT

dt

T 2

Они справедливы для n 6= 0. Коэффициент при n = 0 вычисляется прямым интегрированием:

T	t	t2
Z0				dt		=	T		:
		T		T				6

Поэтому разложение в ряд Фурье имеет вид:

t T		= 2		"	6		cos(2k2	)#:
	t2		T		2	1	kt=T
						Xk
						=1

Часть в сумме, пропорциональная синусам, сокращается в силу е¼ неч¼тности и ч¼тности ck. Остаются только косинусы. Заметим, что, если t = 0, то получается следующий ряд:

	1	1	2
	Xk
		k2	= 6 :
	=1

Представим теперь по формуле cos(2 ) = 1 2 sin2( ) косинус двойного угла и учт¼м значение этого ряда. В результате:

		t2		2T	1	sin2( kt=T )
					Xk
	t T		= 2			k2	:
					=1

330

H17 Решение системы связанных уравнений итерациями .

dy = x W:
dx = W
Итерационная схема имеет вид:
yk = yk 1	p
	+ xk 1	"k p t:
xk = xk 1	+ "k	t:

p

Для переменной x, n я итерация xn = x0 + ("1 + ::: + "k) t сворачи- p

вается в одно гауссово число xk = x0 + " t, ãäå t = n t. Äëÿ yn: p

yn = y0 +x0 ("1 +:::+"n) t+["1"2 +("1 +"2)"3 +("1 +"2 +"3)"4 +:::] t:

p

Множитель при x0 снова " t. В квадратных скобках стоят все неповторяющиеся произведения "i"j с i < j. Этот ряд можно переписать:

"1"2 + ("1 + "2)"3 + ("1 + "2 + "3)"4 + ::: = 12 ("1 + ::: + "n)2 12 ("21 + ::: + "2n):

Вводя случайное число u = ("21 + ::: + "2n)=n, получаем решение: yn = y0 + x0 "pt + ("2 u2)2t :

В разделе x2.2, ñòð. 52 мы видели, что величина u не является случайной

èфактически равна единице u = 1 при n ! 1 и t ! 0.

H18 Вычисление средних для системы связанных уравнений . Запишем решение при помощи гауссовой случайной величины:

y = y0 + x0 W + 12 (W 2 t) = y0 + x0 " pt + 12 ("2 1) t

Òàê êàê " = 0, "2 = 1, очевидно, что y = y02. Найд¼м дисперсию:

t

(y y0)2 = x02 t "2 + x0t3=2

"3 " +

"4 2"2 + 1 :

4

стороны, при

(y y0)2

Учитывая, что

"4

= 3, получаем

= x02 t + t2=2. С другой

помощи (2.44), ñòð. 74, имеем:

t

t

(y(t) y0)2

= Z

(x0 + "p

)2

d = Z [x02 + ]d ;

0

0

что приводит к тому же результату.

H: Помощь

331

H19 Средние значения для линейного по x процесса. Рассмотрим уравнение:

dx = ( + x) dt + ( + x) W:

Выбирая F (x) = xk, k = 1; 2; :::, имеем:

x_k

= k +

k 1

2

+

k(k 1) 2

xk + k [ +

(k

1) ] xk

1

xk

2

:

2

2

Это простое неоднородное уравнение относительно

xk(t) с функциями

времени xk 1(t) è xk 2(t), вид которых получается из предыдущих уравнений. Например, для k = 1 справедливо (3.2), ñòð. 78, поэтому

x_ = + x =>	x(t) =		+ x0	+ e t:

Для квадрата (k = 2):

x_2 = (2 + 2) x2 + 2( + ) x + 2:

Так как x(t) нам известна, уравнение легко интегрируется. Получим сна-

чала решение однородного уравнения x_2 = (2 + 2) x2 â âèäå x2 =
A e	(2 + 2)t	. Считая, что константа A является функцией времени, под-

ставляя в неоднородное уравнение, найд¼м для A(t) интегрируемое уравнение. В результате:

			2~ 2		2~( + x0)	e t + x2		2~x0	+	2~ + 1 2	e 2t;
	x2(t) =						+
			2		1					1 2
						0		1

ãäå ~ = + , n = n + 2, и в качестве начального условия выбрано x2(0) = x20. Для средних более высоких степеней будут появляться вс¼ новые экспоненты.

H20 Асимптотическая плотность вероятностей .

dx = (x ) dt + x W:

В этом случае ( = 2 = 2, = ) также возможно стационарное решение с плотностью вероятностей:

		x 1	exp	x						= 1=2;
P (x)		8 x 2	exp x2 2 =(2				2 ) + x1 2 =(1		2 )	6= 1=2; 1
		< x 2 exp		=x						= 1:
		:

При = 1 всегда P (0) = 0, и нормировочный интеграл имеет конечное значение, хотя подынтегральная функция убывает достаточно медленно.

332

H21 Процесс Феллера.

x2

â âèäå

2 t

. Äëÿ ôóíê-

ции A(t) получаем уравнение:

Ищем решение уравнения для

x2

= A(t) e

_

2

2 t

t

,

A = (2 + ) e + (x )e :

Учитывая начальное условие

x = x0 ïðè t0 =x0

2

2

получаем:

2

0

x2

= x2e 2 t + (2 + 2)

1

e 2 t

+

0

e t

e 2 t

:

Теперь несложно найти дисперсию.

H22 Стационарное распределение для уравнения Феллера .

Выбирая в динамическом уравнении для средних (3.2), ñòð. 78, функцию F = xn, получаем систему уравнений с n = 1; 2; ::::

hx_ni = n hxni + n xn 1 + n(n 1) 2 xn 1 :

2

В асимптотическом пределе t ! 1 производная по времени от hxni равна нулю, поэтому:

hxni = ( 1 + n) xn 1 ;

ãäå = 2=2 , = = . Пусть f(x) = f0 + f1x + f2x2 + :: произвольная функция. Используя соотношения для средних, можно записать:

hf(x)i = ( 1) hf(x)=xi + hf0(x)i :

Среднее это интеграл с плотностью вероятности. Поэтому:

1				x
Z0
	f(x)			1	f(x)		f0(x) P (x) dx = 0:

Пределы интегрирования выбраны в соответствии с положительностью

x. Если волатильность	невелика и	> 0, > 0, ñíîñ (x )
не будет подпускать	x ê íóëþ, ãäå	динамика квазидетерминирована.

Поэтому положим в качестве граничных условий для плотности вероятности P (0) = 0, P (1) = 0. Интегрируя по частям последнее слагаемое

под интегралом и требуя в силу произвольности f(x), чтобы множитель при ней был равен нулю, получаем:

P 0(x)		=	1				1	=>	P (x) =	(x= ) 1	e x= :
P (x)				x						( )

H: Помощь

333

H23 Решение уравнения для производящей функции .

Уравнение

1		@		+ p p2	@	= p
@t					@p

необходимо сделать однородным при помощи замены = e . В резуль-

тате оно оказывается эквивалентным системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

dt

=

dp

=

d ln

:

1

p p2

p

Их решения имеют вид:

p e t

ln (1 p) = C2;

= C1 ;

ln +

1

p

ãäå C1 è C2 константы интегрирования. Общее решение записывается в виде произвольной функции !(C1; C2) = C, равной константе. Выражая из не¼ , перепишем решение в виде:

(t; p) = (1 p) =	1 p	:
	p e t

Определим функцию (z) при помощи начального условия (0; p) = ep x0 (среднее при t0 = 0 равно x0 = x(0)):

		p		= (1 p) = ep x0 :
	1		p

Вводя z = p=(1 p), несложно получить:

(z) = (1 + z) = exp		1 + z	:
		zx0

Поэтому окончательное решение имеет вид:

(t; p) =	1 p	1 e t	exp	(	1 p 1 e t )	:
		=			x0p e t

Видно, что (0; p) = ep x0 . Кроме этого, (t; 0) = 1. Это следует из представления (t; p) в виде среднего (t; p) = ep x.

334

H24 Марковость гауссовой плотности.

При подстановке гауссовых плотностей вероятности в уравнение Чепмена - Колмогорова в показателе экспоненты возникнут слагаемые следующего вида:

(x1 x0)2	+	(x x1)2	:
t1 t0		t t1

Раскрывая скобки и собирая члены с x1, несложно выделить полный квадрат, содержащий x1. В результате получим:

t t0

x

x0 (t t1) + x (t1

t0)

2 +

(x x0)2 :

1

t

t0

(t1

t0)(t

t1)

t t0

Интегрирование по x1 сводится к обычному гауссовому интегралу, и опять получается условная вероятность, зависящая только от x0; t0 è x; t.

H25 Марковость распределения Коши. Пусть

P (x0; t0 ) x; t) = P (x x0; t t0) =	1	eik(x x0) (k; t t0)2 :
	Z
			dk
	1

Умножим уравнение Чепмена - Колмогорова (4.5), ñòð. 103, íà e ik(x3 x1) и проинтегрируем по x3:

1

Z

(k; t3 t1) = e ik(x2 x1)P (x2 x1; t2 t1) e ik(x3 x2)P (x3 x2; t3 t2)dx2dx3;

1

откуда:

(k; t3 t1) = (k; t3 t2) (k; t2 t1):

Теперь, воспользовавшись характеристической функцией распределения Коши (стр. 26), несложно проверить, что оно удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова.

H: Помощь

335

H26 Решение уравнение Фоккера-Планка для dx = f(t)dt + s(t) W . Уравнение Фоккера - Планка имеет вид:

@P	+ f(t)	@P		s2(t) @2P			= 0:
@t		@x		2 @x2

Представим P (x; t) в виде фурье-интеграла. Для функции (k; t) имеем уравнение:

@ (k; t)

s2(t)

i k f(t) (k; t) +

k2 (k; t) = 0:

@t

2

Разделим переменные:

d

s2(t)

= { k f(t)

k2

dt:

2

Проинтегрировав, получаем:

(k; t) = exp

8{ k x0

+ ik

t

f( )d

k2

t

s2( )d

9

:

2

Z

<

Z

=

t0

t0

:

;

Сравнивая (k; t) с характеристической функцией на стр. 26, мы видим, что результирующее распределение P (x; t) является гауссовым с соответ-

ствующими средним и волатильностью, зависящими от времени. Этот результат мы уже получали итерационными методами (2.18) íà ñòð. 56.

H27 Время достижения границ при винеровском блуждании .

	2			2
T 0 +		T 00 = 1	=> T +		T 0 = A x0;
	2			2

где A некоторая константа. Решаем сперва однородное уравнение с нулевой правой частью, и ищем решение в виде T (x0) = C(x0)e 2 x0= 2 . В результате:

T (x

) =

2

+

A x0

+ Be 2 x0= 2

= A0

1

x

+ Be 2 x0= 2

;

2 2

0

0

где B ещ¼ одна константа интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках x = 0; L. Тогда граничные условия T (0) = T (L) = 0 приводят к:

	T (x	) =	L	e 2 x0= 2 1	x0	:
			e 2 L= 2 1
	0

Предел больших L необходимо отдельно рассматривать для случая > 0 и < 0. В частности, если снос направлен к началу координат, то среднее время конечно T = x0=j j.

336

H28 Уравнение Фоккера - Планка процесса Орнштейна - Уленбека . Для сокращения формул проделаем сдвиг переменной x ! x . В

конечном решении мы сделаем обратный сдвиг. Дифференциальное уравнение Фоккера-Планка имеет вид:

@P	=	@(x P )		+	2 @2P			:	(30)
@t		@x			2 @x2

Перейд¼м от условной вероятности P (x; t) к характеристической функции (s; t):

1

Z

(x; t) = eisx P (x; t) dx:

1

Умножим уравнение (30) íà eisx и проинтегрируем от минус до плюс бесконечности:

@		1		@ x P	)		2	1		@2P
		= Z	eisx	(		dx +		Z	eisx		dx:
@t				@x			2			@x2
		1						1

Так как функция P (x; t) на границах интегрирования (1) равна нулю,

мы можем проинтегрировать по частям один раз первый интеграл и два раза второй:

@t	1	eisx x P dx		2	2	1	eisxP dx:
	= is Z			2s		Z
@
	1					1

Интеграл в последнем слагаемом в правой части равен , а в первом производной по s, которая опускает вниз из экспоненты требуемый множитель x. В результате функция (s; t) удовлетворяет следующему уравнению:

@			@	=	2s2
		+ s				:	(31)
@t			@s		2

Это дифференциальное уравнение первого порядка решается при помо-

щи метода характеристик (см. Приложение М, стр. 316). Для этого сделаем замену = ew. Òàê êàê d = ewdw, или dw = d = , несложно

получить соответствующие уравнения:

	ds		d			=	2
dt =		;						s ds
	s						2
для характеристик.

H: Помощь

337

Их решения сводятся к табличным производным и имеют вид:

s = C1 e t;

= C2 e 2s2=4 ;

ãäå C1 è C2 произвольные константы. Общим интегралом этой системы уравнений будет произвольная функция:

F (C1; C2) = F s e t; e 2s2=4 = C = const;

которую можно разрешить относительно , введя произвольную функцию f. В результате решение можно записать в виде:

(s; t) = e 2s2=4 f s e t :

Начальное условие, в силу интегрального представления - функции Дирака (20, ñòð. 315), приводит к характеристической функции:

	(s; t0) = eix0s			в момент времени			t0. Поэтому, обозначая z = s e t0 ,
	можно найти функцию f:
		2s2		f s e t0			f(z) = exp	2	2e2 t0		:
	eix0s = e					=>			z	+ ix0z e t0
		4
									4

Окончательно фурье-образ плотности вероятности равен:

(s; t) = exp	2s2	1 e 2 (t t0)
	4

+ ix0s e (t t0) :

Его интегрирование с e isx=2 для восстановления условной вероятности P приводит к гауссовому распределению с соответствущими дисперсиями и средним.

	1		1			x x(t; t0)		2
P (x0; t0 ) x; t) =			exp (			D(t; t0)			);
	p			2
		2 D(t; t0)

ãäå:

x(t; t0) = + x0 e (t t0); D(t; t0) =	2	1 e 2 (t t0) :
	2

Стоит обратить внимание, что прямое решение соответствущего дифференциального уравнения Ито для процесса Орнштейна-Уленбека выглядит существенно проще, чем решение уравнения Фоккера-Планка. Тем не менее, совпадение результатов должно нас радовать ^• .

338

H29 Уравнения осциллятора с уч¼том корреляции .

dy = +! x y + Wx + p1 2	Wy:
dx = x ! y + Wx

В стохастическоpé части проведpåно перемешивание винеровских переменных Wx = "x t è Wy = "y t с коэффициентом для возникновения

корреляции. Сами гауссовые переменные "x è "y по-прежнему считаем независимыми. Для получения матрицы b мы взяли диагональную матрицу скоррелированных величин и умножили е¼ на (1.37), ñòð. 33:

b =	0				p1 2		=	p1 2			:
		0		1	0				0

H30 Асимптотическое решение для средних осциллятора .

Âуравнениях (6.17), ñòð. 159, последовательно положим = = 1,

= = 2 и = 1; = 2. В результате получается следующая система:

8 x_2 = 2 x2 2! xy + 2

>

<

y_2 = 2 y2 + 2! xy + 2

>

: xy_ = 2 xy + ! (x2 y2) + 2:

Когда средние перестают изменяться, их производная становится равной нулю:

8 2 x2 2! xy + 2 = 0

<

2 y2 + 2! xy + 2 = 0

: 2 xy + ! (x2 y2) + 2 = 0:

Е¼ решением являются следующие асимптотические значения средних:

1 2

2

1 2!

2

1 2!

x2 !

; y2

!

;

!

+

:

xy

2

!2 + 2

2

2

!2 + 2

2

2 !2 + 2

H31 Средние моменты для осциллятора .

Средние значения квадрат координат равны:

2(t) +

2

e 2 t

x2

(t) =

1

;

x

2

2

y2(t) = y2(t) + 2 1 e 2 t :

Для смешанного среднего:

xy(t) = x(t) y(t):

Проверка уравнений для средних проводится прямой подстановкой в ( l H30) ïðè = 0, с использованием уравнений x_ = x !y, y_ = y+!x.

H: Помощь

339

H32 Комплексная ковариация для затухающего осциллятора . Вычислим комплексную ковариационную функцию hzt zt+ i, равную

следующей комбинации: hxt xt+ i hyt yt+ i + i(hxt yt+ i hyt xt+ i). Çà-
пишем:
	zt+ = zte +i! +	p		p1		e 2 ":
			2

Òàê êàê h"zti = h"i hzti = 0, получаем:

hzt zt+ i = jztj2 e i! = jztj2 e (cos ! i sin ! ):

Автоковариация является периодической функцией. Это приводит к тому, что в системе возникают квазипериодические колебания с плавающей частотой.

340

H33 Матрица с A12 = A22 = 0. Прямыми вычислениями проверяем:

A =	0	=> Am = m 1A:
	0

Поэтому:

At2

2At3

1

( t)2

( t)3

eAt = 1 + At +

+

+ :: = 1 +

A

t +

+

+ ::: ;

2!

3!

2!

3!

или окончательно:

eAt = 1 + e t 1 A:

Таким образом, бесконечный ряд, которым является формальная мат- ричная запись eAt, пропорционален первой степени матрицы.

Вычисление при помощи собственных значений выглядит следующим образом:

det	a	0		= a		(a		) = 0:
			a

Поэтому имеется два собственных значения a1 = 0 è a2 = . Уравнения на собственные функции приводят к следующим решениям:

u(1) =	1	;	u(2) =		:
	0

Запишем начальное условие:

1	1	+ 2		=	y0
	0				x0

откуда 2 = x0= , 1 = y0 x0 = . Поэтому:

=

y0 x0

0

+

x0e t

=

x

:

x

y

1

Теперь можно записать:

e t

0

@x

eAt

=

i

=

(e t

1 ;

ij

@x0j

1) =

что совпадает с полученным выше прямым разложением экспоненты.

H: Помощь

341

H34 Двухмерный осциллятор из собственных значений . Характеристическое уравнение приводит к двум различным собствен-

ным значениям:

det		a	!	= 0; =>	a =				i!:
	!		a

Решаем теперь уравнение на собственные функции. Например, для первого собственного значения:

	!	u1	=	u1 !u2		= ( + i!)	u1	:
	!	u2		!u1 u2			u2

Откуда u2 = i u1. Аналогично поступаем со вторым собственным зна- чением. В результате собственные векторы имеют вид:

	1		1		1		1
u(1)	= p		i ;	u(2)	= p		i	:
		2				2

Произвольные множители при векторах выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки u u = 1. Хотя матрица A не являет-

ся симметричной, легко видеть, что собственные вектора ортогональны, поэтому:

2		1		1		i		1	1	i
eAt =	u(k)u (k) eakt =						e t+i!t +				e t i!t:
		2			i 1			2	i
k=1										1
X

Воспользовавшись формулой Эйлера ei!t = cos(!t) + i sin(!t), получаем уже известное нам представление:

cos !t	sin !t
eAt = e t sin !t	cos !t :

Откуда несложно получить среднее значение (6.22) ñî ñòð. 164. Найд¼м теперь матрицу S. Так как B диагональна, то BBT = 1 2

S ST = 1 2 Z	t	S = 1 p2			e2 t 1
	e2 d =>
0					p

(матрица AT получается из A заменой ! ! !). Окончательно:

				cos !t	sin !t	"1
							p1 e 2 t:
x(t) = x	(t) +	p		sin !t	cos !t	"2
			2

Так как ортогональное перемешивание независимых гауссовых чисел да¼т снова пару независимых гауссовых чисел, матрицу в решении можно опустить.

342

H35 Характеристическая функция n-мерного распределения Гаусса . Самый простой способ вычисления при помощи (6.27), (6.28), ñòð. 166:

(p) = he{p xi = e{p x e{p S ; = e{px 12 pDp:

где в силу независимости "i среднее разбивается на произведение средних, каждое из которых вычисляется при помощи (1.11), ñòð. 16.

Можно также выполнить прямое интегрирование:

(p) = Z

exp

{p x 2(x x) D 1 (x x) (2 )n=2

1

det D(t):

1

dx ::dxn

x = x + R

y. Якобиан

p

Сделаем замену переменных

преобразования

det(@x=@y) = det R = 1 (R ортогональна R RT = 1). Поэтому:

(p) = eipx Z

exp { p R y 2 y RT D 1 R y (2 )n=2

1

det D(t):

1

dy ::dyn

p

Симметричную матрицу D всегда можно

n = 3:

D~ = RT D R =

0 01

диагонализовать. Для

D2

0 1:

@

D

0

0

0

0

D3A

Интеграл распадается на произведение n одномерных гауссовых интегра-

ëîâ âèäà (1.11) ñòð. 16. Детерминант не изменяется при ортогональном преобразовании и равен det D = D1 D2 ::: Dn. Например для y1:

1

eip R 1y1

2 y1D1

p2 D1

1

eip R 1pD1

" 2

"

p2 = e 2

(p D 1)

D1 :

Z

= Z

1

1 2

1

dy1

1

1

2

d"

1

2

В результате произведение интегралов равно:

n

2 p R k Dk p R k = exp

2 p R D~

RT p :

k=1 exp

Y

1

1

Умножив ~

T

T

~

R

T D. = R

D R слева на R, а справа на R

, получим D =

R D

Матрица R, диагонализирующая D, позволяет записать решение си-

стемы линейных уравнений в следующем виде ( l H36):

x (t) = x (t) + S (t) " ;

S

= R

0

pD2

0

1

RT : (32)

0

1

pD

0

0

@

p

A

0

0

D3

Столбики матрицы R = u( ) равны собственным векторам ( l H37), à

Di собственные значения матрицы дисперсий D u( ) = d^u( ).

H: Помощь

343

H36 Волатильность решения системы линейных уравнений .

Проще всего проверить соотношение (32), ñòð. 342, вычислив дисперсию решения:

D = SiSj h"i"ji = SiSi;

поэтому: D = S S						T	~				T	= D; где учтено, что
							= R D R
0		pD2		0			1 0					pD2		0		1 = 0 01 D2			0 1	= D~ :
	0 1								0 1
pD		0		0				pD		0				0			D	0	0
@ 0				p				A @ 0						p			A @ 0		D3A
		0			D3							0			D3			0

H37 Матрица ортогонального преобразования .

Рассмотрим действительную симметричную матрицу D. Запишем урав-

нение на собственные значения D u( ) = d^ u( ) и условие ортогонально-

сти собственных векторов u( ) u( ) = . Шляпка над индексом означа-

ет, что, несмотря на то, что он повторяется, по нему нет суммирования. Рассмотрим матрицу R = u( ), составленную из столбиков собствен-

ных векторов. Для не¼ справедливо соотношение:

RiDijRj = u(i )Diju(j ) = d^u(i )u(i )

= d^ :

Поэтому матрица RT D R является диагональной. На е¼ диагоналях находятся собственные значения матрицы D.

H38 Уравнение для волатильности.

Воспользуемся уравнением уравнения для средних (6.17), ñòð. 159:

hx _x i = hx A x + x A x + B B i :

Учитывая hx_ i = A hx i, несложно записать дифференциальное уравнение для симметричной матрицы D = hx x i hx i hx i:

D_ = A D + D AT + B BT :

Его решение ищется в виде D(t) = eAtS(t)eAT t, что приводит к (6.28).

H39 Автоковариация линейного процесса . Запишем решение относительно момента t:

x (t + ) = eA x(t) + i( )"i:

Чтобы получить ковариацию, вычисляем средние и вычитаем их:

hx (t)x (t + )i = eA hx (t)x (t)i ;

hx (t)i hx (t + )i = eA hx (t)i hx (t)i :

344

H40 Связь двух площадей под винеровской траекторией . Пусть n = t= s, m = = s, тогда:

St+ =	["1 + ("1 + "2) + ::: + ("1 + ::: + "n)] ( s)3=2
+	[("1 + ::: + "n + "n+1) + ::: + ("1 + ::: + "n+m)] ( s)3=2:

Сверн¼м сумму в первой строке в St, а во второй строке вынесем сумму "1 + ::: + "n которая встречается m раз:

St+ = St +m ("1 +:::+"n) ( s)3=2 +["n+1 +:::+("n+1 +:::+"n+m)] ( s)3=2:

~

Вводя Wt и независимый от St è Wt процесс S , окончательно получаем:

~

St+ = St + Wt + S :

H41 Обнуление стохастической части леммы Ито . Уравнение для F (x; W ):

b(x)

@F

+

@F

= 0:

@x

@W

легко решается методом характеристик стр. 316:

dx

dW

Z

dx

=

=>

W = C = const:

b(x)

1

b(x)

Поэтому общее решение равно:

Z b(x) W

;

F (x; W ) = f

dx

где f произвольная функция. Если мы учитываем зависимость от времени, функцию F (t; x; W ) можно представить в виде:

F (t; x; W ) = f	t; Z b(x) W		:
		dx

H: Помощь

345

H42 Уравнения для g(x; t) и Фоккера-Планка.

Среднее от произвольной функции можно вычислить как при помощи плотности вероятности P (x; t) = P (x0; t0 ) x; t), так и усредняя по " с

плотностью P ("):

Z	F (x)P (x; t)dx = Z	F (f(t; ")) P (") d" = Z	F (x) P (g) @x dx;
				@g

где в последнем равенстве сделана замена " = g(x; t) и f(t; g(x; t)) = x. Поэтому плотность вероятности равна:

P (x; t) = P (g)g0(x; t):

Подставляя это соотношение в уравнение Фоккера-Планка:

P_ + (aP )0 12(DP )00 = 0;

получаем уравнение для g:

	g0 gg0 + a0g0 ag02 + ag00
	1		D00g0 + D0g02	D0g00	D	(	2	0)g03 3g00g0 + g000 = 0:
		2			2

Воспользуемся уравнением для g:

g = 12D0g0 ag0 D2 (g) g02 g00 :

Возьм¼м производную по x

	D00		D0		D0			D
g0 =		g0 +		g00 a0g0 ag00		[	g02 g00]		[	0g03 + 2 g0g00 g000]:
	2		2		2			2

Подставляя два последних соотношения в уравнение Фоккера-Планка, приходим к тождеству.

346

H43 Перемножение матриц стохастического осциллятора.

@2F	Fxx	Fxp		0 0 0		1x Fxp	2 pFxp	3 Fxp
	b = Fpx	Fpp		1x 2p 3		= 1x Fpp	2 pFpp	3 Fpp
@x2

Произведение матриц

b

@2F

b =

0

0

1x

1

x F p F F

T

@x2

0

2

1x Fpp

2p Fpp

3

Fpp

@

0

p

A

3

да¼т матрицу 3x3 с диагональными элементами 12x2 Fpp, 22p2 Fpp, 32 Fpp, сумма которых является следом.

H44 Решение уравнений для средних стохастического осциллятора

(

_

=

p

x

2 p :

p_

=

x

_

Возьм¼м производную первого уравнения по времени и подставим

p

из второго уравнения, а

p

=

_

выразим из первого. В

результате

x

получим уравнение

второго порядка:

x• + 2 x_ + x = 0:

Ищем решение в виде

x

= e t. Для получаем квадратное уравнение

2

решением

{p1

2

+ 2 + 1 = 0 ñ

=

, если < 1. Общее

решение будет суммой двух независимых частных с произвольными коэффициентами. Так как по формуле Эйлера e{ = cos + { sin , имеем:

x = A cos(!t) + B sin(!t) e t;

p

ãäå ! = 1 2. Начальное условие для x0 = x(0) äà¼ò A = x0. Найд¼м теперь среднее значение импульса:

p = x_ = (B! A ) cos(!t) (A! + B ) sin(!t) e t:

Òàê êàê p0 = p(0), получаем значение второй константы B! A = p0.

H: Помощь

347

H45 Матрица дисперсий колебательного контура . Явный вид для матрицы дисперсии при произвольном t:

DQQ =

2

1

e 2 t

2 cos(2!t) + ! sin(2!t)

4

!2

DII =

2

1

e 2 t

2 cos(2!t) ! sin(2!t)

4

!2

2

e 2 t sin2(!t):

DQI = DIQ

=

2!2

При t ! 1 дисперсии стремятся к (7:10), ñòð. 196.

H46 Ковариация и спектральная функция колебательного контура . Уравнения (7.7), ñòð. 195, äàþò íàì eAt. С его помощью запишем ав-

токовариационную матрицу процесса (6.30), ñòð. 167, в стационарном режиме:

	T		2 e		! cos !t + sin !t	sin !t
cov( ) = D eA		=			sin !t	! cos !t sin !t :
			4

Спектральная функция, например, для тока равна:

	2	1		2		2
S( ) =		Z0	cov22( ) cos( )d =				:
						( 2 )2 + 4 2 2

p p

Она достигает максимума при резонансной частоте = = 1= LC, и тем уже, чем меньше параметр (сопротивление).

348

H47 Варьирование функционала по !k(t).

Вычислим сначала вариацию по скалярной функции !(t) от:

ZR

I = A( )e0 B(!( 1))d 1 d = A2eB1 + A3eB1+B2 + A4eB1+B2+B3 + :::

0

Интегральные суммы представлены в символическом виде, и индекс соответствует моменту времени. Возьм¼м производную, например, по !(t3):

@I		= hA4eB1+B2+B3 + A5eB1+B2+B3+B4 + :::i	@B3	:
@!(t3)			@!(t3)

Поэтому вариация этого функционала равна:

w(t) =	@!		T		d :
			Zt	A( )eR
I	@B(!)			0	B(!( 1))d 1

В нашем случае:

T		T	e U d ;
wk(t) Z0	e U d = @!k(t) Zt
		@S

ãäå

"

n

i

i

2

n

i

ij

j

#

S =

Xi

!

(t)

c(t)

X

w

(t)D

w

(t) :

=1

i;j=1

Равная нулю вариация всех тр¼х слагаемых приводит к:

@S

@!k(t)

(t) (t) = 0;

где (t) содержит интегралы, зависящие от !. Так как в методе Лагранжа независимая от ! функция, введя новую независимую переменную= = , получаем необходимое уравнение.

H: Помощь	349
H48 Варьирование функционала по c(t).

Взятие вариации по c(t) проводится аналогично предыдущей задаче.

Обратим внимание на второе слагаемое результата, в котором нижний предел интеграла равен t. Для него вариация произведения равна

T

e

c(t)

T

e

c

c(t)

# d :

Z0

eR

d + Z0

"eR

c ( )

S( 1)d 1

S( 1)d 1

0

0

Второе слагаемое имеет вид:

T

e

c

c(t)

T

e

T

e

U d

Z0

"eR

# d = @c(t) Zt

U d = Zt

S( 1)d 1

@S

0

Варьирование можно проводить и при помощи дельта-функции Дирака:c( )= c(t) = ( t) и ступеньки ( t) (функция Хэвисайда) для

устранения зависимости от времени в пределах интегрирования.

H49 Формула Блэка-Шоулза.

Средняя цена call-опциона в момент истечения равна:

hCi =	Z (x xs) exp	2 2		)2	x p2 :
	1	(ln(x=x0)				dx

xs

Сделаем замену " = [ln(x=x0) ]= , d" = dx=x.

hCi =	1		=2 p2 ;
	Za	(x0e + " xs)e "
		2		d"

ãäå a = [ln(xs=x0) ]= . Разобь¼м интеграл на два. Второе слагаемое равно интегральному гауссовому распределению:

1

Z

e "2=2 pd" = 1 F (a) = F ( a);

2

a

a	e "	=2	p2 :
F (a) = Z
	2		d"
1

Первое слагаемое сводится также к интегральному распределению после выделения полного квадрата " "2=2 = (" )2=2+ 2=2. В результате:

hCi = x0e + 2=2F ( a + ) xsF ( a):

Учитыâая, что для логарифмического блуждания среднее значение цены равно x = x0e + 2=2, получаем соотношение (8.15), ñòð. 224.

350

H50 Решение уравнения Блэка-Шоулза для европейского опциона . Решим уравнение Блэка-Шоулза

@C		2	x2	@2C	@C
	+ rC =				+ rx
		2		@x2		@x
@

для опционов европейского типа. Начальные условия при = 0 (точнее,конечные в момент истечения) имеют вид:

C(x; 0) = max(x xs; 0):

(33)

Прежде всего избавимся в уравнении от множителей x при производных. Для этого перейд¼м к новой переменной y = ln(x), x = ey:

@C	+ rC =	2 @2C			+ R	@C	;
@		2 @y2				@y

ãäå R = r 2=2. Следующей заменой избавимся от члена с первой производной по y. Для этого введ¼м новую функцию C = ey+ U(y; ), где и некоторые константы:

@U	+ U + rU =	2		@2U	+ 2	@U	+ 2U	+ R	@U	+ U :
@		2		@y2		@y			@y

Выберем = R= 2, = r R2=2 2 так, чтобы слагаемые, содержащие первую производную по y и член, пропорциональный U, сократились. В результате получаем уравнение теплопроводности:

@U	=	2 @2U			:
@		2 @y2

Мы видели (стр. 108), что его частным решением является гауссиана:

P (y; ; y	) =	1			exp	(y y0)2	:
0		p2				2 2

Так как уравнение линейное, то его общее решение получается в виде суммы частных решений, соответствующих различным значениям y0:

			1
			U(y; ) = Z		u(y0)P (y; ; y0)dy0:
			1
Функция P (y; ;			y0) имеет единственный максимум в точке y = y0. Åãî
значение	P (y0		p			стремится к бесконечности при		.
		; ; y0) = 1= 2						! 0

Ширина колокола P (y; ; y0) при этом стремится к нулю ( - функция Дирака, стр. 315).

H: Помощь

351

Следовательно, общее решение в начальный момент (при = 0) совпадает с функцией u(y):

1

Z

U(y; 0) = u(y0) (y y0)dy0 = u(y):

1

Поэтому u(y) имеет смысл начального значения функции U(y; = 0). С уч¼том проделанных нами замен: U(y; ) = e y C(ey; ) началь-

ные условия (33) выглядят следующим образом:

u(y) = U(y; 0) = e y max(ey xs; 0):

Поэтому общее решение равно:

1

(ey0

e y0

(y y0)2

U(y; ) =

x

)

exp

dy

:

Z

s

p2

2 2

0

ln xs

Нижний предел да¼т функция max, отличная от нуля при ey0 > xs èëè p

y0 > ln xs. Сделаем замену z = (y0 y)= :

1

e z2=2

Z

h

e(1 )(y+ p

z) xse (y+ p

z)

i

U(y; ) =

p

dz:

2

(ln xs

y)= p

В показателе экспоненты возникают выражения вида z2=2 + az, которые можно преобразовать к эквивалентному виду (z a)2=2 + a2=2. После замены z ! z a интеграл становится равным:

U(y; ) = e(1 )y+(1 )2 2 =2F (d1) xse y+ 2 2 =2F (d2) ;

ãäå:

y ln xs

) p

;

1

e z2=2

dz = F (

d

=

(1

x):

1;2

p

Zx

p2

Учитывая сделанные замены C(x; ) = e y+ U(y; ) è y = ex, ìû ïî-

лучим формулу Блэка-Шоулза. Для премии put-опциона всегда можно воспользоваться соотношением call-put паритета P = C x0 + xse r .

352