140 |
Глава 5. |
5.4Интегрирование стохастических уравнений
Стохастические интегралы являются традиционным способом запи-
си решения стохастических дифференциальных уравнений. Проинтегрировав уравнение
dx = a(x; t) dt + b(x; t) W;
можно записать:
t |
a(x( ); ) d + Z |
t |
|
x(t) = x(t0) + Z |
b(x( ); ) W : |
(5.22) |
|
t0 |
t0 |
|
|
Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы автоматиче- ски выполнялось начальное условие x0 = x(t0). На самом деле (5.22), конечно, не решение, а интегральное уравнение, которое обычно решить сложнее, чем исходное дифференциальное.
При формальном обосновании стохастических уравнений сначала определяется стохастическое интегрирование, затем записывается интегральное уравнение, и только после этого рассматриваются дифференциальные уравнения. Мы в этой книге приняли обратную форму изложения.
Если снос и волатильность не зависят от x, то интегральное уравнение оказывается решением нестационарного винеровского блуждания:
t |
t |
ZZ
x(t) = x(t0) + a( ) d + b( ) W :
t0 t0
Как мы знаем из (5.12), этот интеграл выражается через скалярную гауссову величину " N(0; 1):
t |
2 t |
31=2 |
ZZ
x(t) = x(t0) + t0 |
a( ) d + 4t0 |
b2( )5 "; |
и, следовательно, сводится к обычным детерминированным интегралам. Естественно, чтобы вычислить, например, корреляцию с порождающим винеровским блужданием, необходимо учесть, что в данном случае:
t
Z
hx(t) Wti = b( ) d :
t0
p
Поэтому " в решении и в записи винеровского процесса Wt = " t являются различными скоррелированными случайными числами.
Стохастические интегралы |
141 |
Иногда простыми заменами можно устранить зависимость в уравнении от x, тем самым превратив интегральное уравнение в решение зада- чи. Рассмотрим в качестве примера уравнение Орнштейна-Уленбека:
dx = (x ) dt + W:
Сделаем в н¼м замену переменных y = et (x ). В силу леммы Ито новый процесс y удовлетворяет следующему уравнению:
|
|
y(t) = y(0) + Z0 |
t |
dy = et W |
=> |
e W : |
Отсюда решение исходного уравнения имеет вид:
t
Z
x(t) = + (x0 ) e t + e (t ) W :
0
Обычно это решение в таком виде и оста¼тся, а вычисление средних проводится по формулам, подобным (5.13). Так как среднее стохастического интеграла по W равно нулю, то для среднего значения процесса Орн-
штейна - Уленбека имеем:
hx(t)i = + (x0 ) e t:
Дисперсия процесса x2(t) = |
(x t |
x)2 равняется: |
|
||
x2(t) = |
D |
Z |
e (t ) W |
E |
|
|
|
|
2 |
||
|
0 |
|
|
||
Для вычисления среднего необходимо воспользоваться (5.13), ñòð. 132:
t
x2(t) = 2 Z |
e 2 (t s) ds = |
2 |
|
1 e 2t |
: |
2 |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
Удобнее, конечно, при помощи (5.12) сразу записать решение через гауссову переменную ", а затем вычислять средние.
В следующей главе (стр. 168) при помощи многомерной версии леммы Ито мы получим интегральное представление решения логистического уравнения и уравнения с линейным по x сносом и волатильностью.
Стохастические интегралы это очень изящная математическая конструкция. Однако до сих пор в этих лекциях мы их не использовали, получая решения уравнений другими методами. ( l C24).
142 |
Глава 5. |
5.5Единственность решений
Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику некоторой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно вста¼т перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейд¼м к их стохастическому аналогу. Однако сна- чала вспомним некоторые утверждения из анализа.
Мы называем функцию f(x) непрерывной в точке x = c, если пределы при стремлении к ней слева x ! c 0 и справа x ! c + 0 существуют и равны друг другу. Так, f(x) = 1=x непрерывна во всех точках, кроме x = 0. Разность f(x + 0) f(x 0) называется разрывом функции. Для f(x) = 1=x в x = 0 он равен бесконечности.
Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное M, что
|
6 M ; |
6 x 6 : |
|
f(x) |
(5.23) |
Это неравенство, например, не выполняется для функций f(x) = 1=x, f(x) = tg(x) на интервале 2 6 x 6 2.
Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (если имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечного разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения.
Теорема Ролля утверждает, что, если f( ) = f( ) и в интервале [ ::: ] производная f0(x) непрерывна, то всегда существует такая точ- ка : 6 6 , в которой f0( ) = 0. Интуитивно это понятно. Если
функция не постоянная и f( ) = f( ), то внутри [ ::: ] она всегда до-
стигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок):
Важно существование на 6 x 6 конечной производной. Например, для f(x) = 1 x2=3 (рисунок справа) выполняется f( 1) = f(1). Однако f0(x) = (2=3)=x1=3 нигде в интервале [ 1:::1] в ноль не обращается.
Стохастические интегралы |
143 |
Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если f( ) 6= f( ), то для F (x) = f(x) + x всегда можно подобрать такое , что:
F ( ) = F ( ) |
=> = |
|
f( ) f( ) |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому по теореме Ролля существует такое , что F 0( ) = f0( )+ = 0, и, следовательно:
f( ) f( ) = ( ) f0( ) ; 6 6 : (5.24)
Естественно, такая точка может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка [ ::: ].
Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант A, B > 0 на [ ::: ]
справедливо первое неравенство (5.25), то тогда выполняется и второе:
x |
|
|
|
f(x) 6 A + B Z |
f(s) ds |
=> |
f(x) 6 A eB (x ) : (5.25) |
Для доказательства введ¼м функцию: |
|
||
x |
|
|
|
g(x) = Z f(s) ds |
=> |
g0(x) 6 A + B g(x); |
|
где мы взяли производную от g(x) и воспользовались первым неравенством (5.25). Неравенство, которому удовлетворяет g(x), похоже на неод-
нородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию C(x), имеем:
g(x) = C(x) eBx => C0(x) 6 A e B x:
Интегрируя его от до x и учитывая, что g( ) = 0 и C( ) = 0, получаем:
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
||
C(x) 6 |
|
|
e B e Bx |
=> |
g(x) 6 |
|
eB(x ) 1 : |
|
|||
B |
B |
|
|||||||||
Дифференцируя |
последнее |
|
|
g0 |
, мы приходим к |
||||||
|
|
|
|
|
неравенство |
(x) = f(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5.25). В частном случае A = 0 имеем такую форму леммы: |
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) 6 B Z |
f(s) ds |
|
=> |
|
f(x) 6 0 : |
(5.26) |
|||||
Поэтому, если f(x) > 0 и она удовлетворяет первому неравенству (5.26), то это означает, что функция равна нулю: f(x) = 0.
144 |
Глава 5. |
Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение:
dx |
= a(x; t): |
(5.27) |
|
dt |
|||
|
|
Для него справедлива теорема о существовании и единственности:
Если в открытой области G на плоскости (x; t) функция a(x; t)
непрерывна и имеет непрерывную производную по x, то через любую точку G проходит одно и только одно решение (5.27).
Если производная непрерывна, то в соответствии с (5.23) она ограниче- на: j@a=@xj 6 M, и по формуле конечных приращений (5.24) мы имеем
неравенство Липшица:
ja(y; t) a(x; t)j 6 M jy xj; |
(5.28) |
Оно является непосредственным следствием непрерывности |
@a(x; t)=@x. |
Докажем единственность решения (5.27), представив его в форме интегрального уравнения:
x(t) = x0 + Z |
t |
|
a x( ); |
dt: |
|
t0 |
|
|
Пусть на интервале [t0 ::: t] существуют два решения x(t) и y(t) с одинаковым начальным условием x(t0) = y(t0) = x0. Запишем их в интегральной форме и вычтем:
|
|
|
t |
a y( ); a x( ); dt: |
|||
y(t) x(t) = Z |
|||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем: |
|||||||
jy(t) x(t)j 6 Z |
t |
|
|
|
|
dt 6 M Z |
t |
|
a y( ); |
|
a x( ); |
|
jy( ) x( )j dt; |
||
t0 |
|
|
t0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица (5.28). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана (5.26), из этого неравенства следует, что jy(t) x(t)j = 0, и, следовательно, решения совпадают.
Подобное доказательство от противного типично для многих неконструктивных рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная a(x; t) по x непрерывна, то решение единственно.
Для разрывной производной может появиться более одного решения.
146 |
Глава 5. |
Перейд¼м теперь к стохастическим дифференциальным уравнениям.
Так как мы работаем со случайными процессами, различные реализации траектории x(t) могут отличаться сколь угодно сильно. Говоря о
единственности решения, мы подразумеваем единственность плотности вероятности P (x0; t0 ) x; t), которая влеч¼т за собой единственность среднего значения, волатильности, автоковариационной функции и т.д.
Докажем, что для уравнения
dx = a(x; t) dt + b(x; t) W
решение будет единственным, если производные по x сноса a(x; t) и волатильности b(x; t) непрерывны. Непрерывность означает, что производные ограничены (нигде не обращаются в бесконечность):
|
@x |
|
6 Ma; |
|
@x |
|
6 Mb: |
|
@a(x; t) |
|
|
|
@b(x; t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в силу формулы Лагранжа каждая из них удовлетворяет неравенству Липшица:
ja(y; t) a(x; t)j |
6 |
Ma jy xj; |
(5.30) |
jb(y; t) b(x; t)j |
6 Mb jy xj: |
|
|
Будем действовать так же, как и в детерминированном случае. Перейд¼м к интегральному уравнению:
t t
x(t) = x0 + Z a x(s); s ds + Z b x(s); s Ws: |
|||||
t0 |
|
|
t0 |
|
|
Пусть существуют две разные случайные функции xt = x(t) è yt = y(t) с одинаковым начальным условием x(t0) = y(t0) = x0, которые удовле- творяют этому уравнению. Найд¼м дисперсию их разности:
2 t |
t |
32 |
|
Z |
Z |
byx(s) Ws5 E; |
|
|
(yt xt)2 = D4t0 |
ayx(s) ds + t0 |
|
|||
сти сноса или |
|
|
|
|
|
ãäå ayx(s) = a y(s); s |
a x(s); s , byx(s) = b y(s); s |
b x(s); s |
- разно- |
||
волатильности, вычисленные для каждого решения.
Стохастические интегралы |
147 |
Для двух n - мерных векторов f 1; :::; ng è f 1; :::; ng скалярное произведение всегда меньше, чем произведение их длин (косинус угла между ними меньше единицы). Поэтому справедливо неравенство Коши - Буняковского:
( 1 1 + ::: + n n)2 6 ( 12 + ::: + n2 ) ( 12 + ::: + n2):
Åñëè âñå i = 1, имеем такой вариант этого неравенства:
( 1 + ::: + n)2 6 n ( 12 + ::: + n2 ):
В нашем случае n = 2, поэтому:
(yt xt)2 |
6 2 |
2Zt ayx(s) ds32 + 2 2Zt byx(s) Ws |
32 |
: |
|
|
|
D4t0 |
5 E D4t0 |
5 E |
|
Для первого интеграла (точнее, его интегральной суммы) снова применим неравенство Коши-Буняковского c n = (t t0)= s. Среднее значение
квадрата стохастического интеграла по W можно записать через среднее от обычного интеграла по времени (5.13), ñòð. 132, поэтому:
|
|
|
6 2(t t0) Z |
t |
|
ds + 2 Z |
t |
|
|
(yt xt)2 |
|
D |
ayx2 (s) |
D |
byx2 (s) ds: |
||
|
t0 |
E |
t0 |
E |
Воспользуемся теперь неравенствами Липшица (5.30), возведя их в квадрат. В результате:
|
|
6 M Z |
t |
|
|
|
|
|
(yt xt)2 |
|
|
(yt xt)2 |
ds; |
|
|
||
|
t0 |
|
|
|
Гронуолла |
|
||
это обычная функция времени, поэтому, применяя лемму |
|
|||||||
ãäå M = 2(t t0)Ma2 + 2Mb2. Среднее разности решений |
(yt xt)2 |
|
||||||
Беллмана (5.26), приходим к выводу, что |
(yt xt)2 = 0. |
|
|
|||||
Среднее является интегралом с положительной плотностью вероят- ности. Величина (yt xt)2 также положительна. Интеграл от положи-
тельной функции может быть равен нулю, только когда она равна нулю. В результате мы приходим к выводу, что x(t) = y(t), и решение един-
ственно.