168

Глава 6.

6.5Многомерие помогает одномерию

Рассмотрим построение решения одномерного уравнения при помо-

щи стохастического интеграла. Пусть у нас есть система уравнений n x 1 с одинаковым шумом dx = a dt + b W . Для произвольной функции F = F (t; x) в этом случае справедлива следующая версия леммы Ито (6.12), ñòð. 157 (суммирование по повторяющимся индексам):

dF =

@F

@F

b

b

@2F

dt + b

@F

+ a

+

W:

@t

@x

2

@x @x

@x

Пусть x = fx; W g, где x = x(t) решение некоторого одномерного стохастического уравнения dx = a(x) dt + b(x) W , а W порождающий

винеровский процесс с нулевым сносом и единичной волатильностью. В этом случае лемма Ито для функции F = F (t; x; W ) имеет вид:

@F

@F

b2 @2F

@2F

1 @2F

@F @F

dF =

+ a

+

+ b

+

dt+ b

+

W:

@t

@x

2

@x2

@x@W

2

@W 2

@x

@W

Всегда подходящим выбором F :

t; Z b(x) W

F (t; x; W ) = f(t; z) = f

dx

можно (l H41) волатильность (множителя при W ) сделать равной нулю. Подставляя F = f(t; z) в лемму Ито, получаем:

df =	@t		+	b(x)	0 2	@z dt:
		@f		a(x)	b (x)		@f

Если выбором функции f уда¼тся добиться, чтобы множитель при dt зависел только от t и W , то это уравнение можно проинтегрировать,

выразив решение в явном виде через порождающий винеровский процесс Wt. Так как множитель при dt не должен зависеть от x, то частная производная по x равна нулю, и мы получаем следующее уравнение:

@2f

a(x)

b (x) @2f

a(x)

b (x)

0

@f

+

0

+ b(x)

0

= 0:

@t@z

b(x)

2

@z2

b(x)

2

@z

Это уравнение допускает разделение переменных f(t; z) = et f(z):

+

a(x)

b (x)

+ b(x)

a(x)

b (x)

0

0

0

= 0;

b(x)

2

b(x)

2

где , некоторые константы, которые необходимо подобрать так, чтобы это соотношение обращалось в тождество. Тогда f(t; z) = e t+ z.

Системы уравнений

169

Рассмотрим в качестве примера логистическое уравнение (стр. 88):

=

2

=p

2 x W:

dx = x (1 x) dt +

(6.31)

Несложно проверить, что

p ,

1 , F = e(1

) t+ 2 Wt=x,

p

dF = e(1 ) t+p2 Wt dt

=>

F = x0 + Z0

t

e(1 ) +p2 W d ;

1

где при интегрировании учтено начальное условие F0 = F (0) = 1=x0, è x0 = x(0). Поэтому решение (6.31) можно записать в следующем виде:

x(t) = x0 e(1 ) t+p		Wt	21 + x0	Zt e(1 ) +p		W d	3 1	:
	2				2				(6.32)
			4				5

0

Замкнутая форма (6.32) может быть полезна при построении приближ¼нных методов, однако, к сожалению, получить с е¼ помощью конкретные результаты (например, среднее x(t)), вообще говоря, не просто.

Простое интегральное представление для решения имеет также линейное по x стохастическое уравнение:

dx = ( + x) dt + x W:

В этом случае = , = ( 2=2) , и для процесса y = x e ( 2=2) t Wt получаем уравнение:

dy = e ( 2=2)t Wt dt:

Поэтому решение выражается через стохастический интеграл:

x(t) = e( 2=2)t+ Wt 2x0 + Zt e ( 2=2)s Wsds3			;
4	0	5

который позволяет вычислять средние:

x(t) = x0	e( 2	=2)t+ "pt			+ e( 2		t
						=2)t+ Wt Z e ( 2=2)s Wsds :
	D			E	D	0	E

Первое среднее вычисляется обычным образом, а для второго необходимо использовать формулу (5.7), ñòð. 129:

x(t)

= x0 e t + Z

t

e( 2

=2)t+ ("1ps+"2pt s) e ( 2

=2)s "1ps

ds;

0

D

E

: Заметим, что

x(t)

èëè

x(t)

= x0 e t +

e t 1

в данном случае

проще найти при помощи динамических уравнений для средних.

170

Глава 6.

Иногда многомерные системы позволяют находить точные реше-

ния одномерных стохастических уравнений. Рассмотрим блуждание в n-мерном пространстве, считая, что по каждой координате реализуется

процесс Орнштейна-Уленбека с нулевым равновесным уровнем и одинаковым притяжением к нему:

dxi =
		xi dt +		Wi:
	2		2

Блуждания предполагаются нескоррелированными, с одной волатильно-

стью шума. Рассмотрим случайный процесс, равный квадрату радиус- вектора y(t) = x21 + ::: + x2n. Найд¼м стохастическое уравнение, которому

он подчиняется. В данном случае ai = xi=2, bij = ij=2. Производные от y равны @y=@xi = 2xi, @2y=@xi@xj = 2 ij, и по лемме Ито (6.12), ñòð. 157 имеем следующее уравнение:

n 2

dy = y 4 dt + xi Wi:

Сумму стохастических членов в этом уравнении можно выразить через единственную винеровскую переменную:

pp

!i Wi = !i "i dt = " dt = W;

ãäå !i = xi=py. Действительно, сумма гауссовых чисел снова да¼т гауссово число, и, так как !12 + ::: + !n2 = 1, оно имеет единичную дисперсию. Вообще говоря, величины !i(t) являются случайными функциями. Однако на каждом шаге итерационного решения они принимают определ¼нное значение, но так, что сумма их квадратов всегда равна единице. Поэтому мы и переходим в уравнении к скалярной винеровской переменной W .

В результате получается одномерное уравнение Феллера:

dy = (y ) dt + py W;

с равновесным уровнем, равным = n 2=4 . Его решение выражается через известные нам случайные процессы Орнштейна-Уленбека (стр. 60):

xi(t) = x0i e t=2 +	2p		p1		e t "i

и n независимых гауссовых величин f"1; :::; "ng.

Системы уравнений

171

Решение одномерного уравнения должно зависеть от одной константы начального условия y0 = y(0). В полученное решение входит n незави- симых констант x0i, соответствующих начальным условиям по каждой

координате. Покажем, что они, тем не менее, сворачиваются в един- ственную константу y0 = x201 + ::: + x20n. Для этого запишем решение в

следующем виде:

n		1				2
Xi								p
y(t) =		x0i (t) + p		s(t)"i			= y0 2	(t) + 2y0 s(t) (t) " + s2(t) u;
			2
=1

p

ãäå (t) = e t=2, s(t) = (1 e t), = 2=2 и введены две новые случайные величины " и u:

" =	n	!i"i;	u = 1			n	"2;	n	!2 = 1:
	X					Xi	i	X	i
	i=1		2			=1		i=1

Сумма квадратов весов !i = x0i=py0 равна единице. Поэтому вели- чина " имеет гауссово распределение с нулевым средним и единичной дисперсией, а u подчиняется 2-распределению с n степенями свободы (l C26). Так как обе эти величины зависят от одних и тех же гауссовых чисел "1; :::; "n, они не являются независимыми. Однако их совместная плотность вероятностей не зависит от весов !i, и, следовательно, от констант начального условия x0i. Действительно, найд¼м производящую функцию:

n

1

2

2

k2=2

d"

e 1 p

Z

"i

"i

(k; p) = ek "+ p u

= i=1

ek !i"i+p

p

i

=

: (6.33)

2

2

(1

p)n=2

2

Y1

Введение мнимой единицы k ! {k, p ! {p превращает производящую

функцию в характеристическую, фурье-интеграл от которой равен плотности вероятности P ("; u). Разложение в ряд по k и p производящей

функции позволяет легко найти различные средние для случайных величин " и u.

Подобное представление было получено в третьей главе при изучении процесса Феллера (стр. 82). Несмотря на то, что мы начали с n процес-

сов Орнштейна-Уленбека, целочисленный параметр n в решении можно аналитически продолжить в область непрерывных значений n = 2 = .

Таким образом, процесс y(t) зависит от единственной константы на-

чального условия y0 = y(0) и двух случайных величин " и u, имеющих совместное распределение (6.33).

172

Глава 6.

6.6Некоторые точные решения

Рассмотрим нестационарное многомерное стохастическое уравнение:

dxi = fi(t) dt + si (t) W :

(6.34)

При его решении итерациями получатся ряды следующего вида:

h i h ip xi(t) = xi(t0)+ fi(t0)+fi(t1)+::: t+ si (t0)" (t0)+si (t1)" (t1)+::: t:

Последний член является суммой независимых гауссовых случайных чи- сел. Поэтому решение (6.34) можно записать следующим образом:

xi(t) = xi(t)	+ Si (t) " ;	(6.35)
где по по-прежнему производится суммирование, и
t		t
xi(t) = xi(t0) + Z fi( ) d ;	Dij = Si Sj = Z si ( )sj ( ) d :
t0	t0

Явный вид матричной функции Si (t) обычно не требуется. Нестационарное гауссово блуждание полностью определяется вектором средних значений xi(t) и симметричной матрицей дисперсий:

t	t
D = Dij = h(xi xi)(xj xj)i = Z	si ( )sj ( ) d = Z s( ) sT ( ) d :
t0	t0

Через них выражается производящая функция для средних (действительный аналог характеристической функции):

(p) = hep xi = ep x ep S = ep x+12 p D p:

Усреднение проводится покомпонентно для каждого гауссового числа = f"1; :::; "ng при помощи формулы (1.11), ñòð. 16.

Моменты произвольного порядка находятся взятием частных производных от (p). Например, для:

@ (p) eijkl = h(xi xi)(xj xj)(xk xk)(xl xl)i = @pi@pj@pk@pl p=0

получаем:

eijkl = DijDkl + DikDjl + DilDjk:

Заметим, что это выражение автоматически симметрично по всем четырем индексам.

Системы уравнений

173

Изменения цен различных финансовых инструментов (например, ак-

ций) обычно скоррелированы друг с другом. Простейшей моделью является многомерное логарифмическое блуждание. В этом случае относительное изменение цены это n-мерный винеровский процесс:

	dxi	n
		Xj
	xi	= i dt + ij Wj:
		=1

(!) Сейчас мы используем явное обозначение для суммы, а не соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Дисперсия относительных изменений двух акций выражается через

матрицу ij. Действительно, для небольшого интервала времени t, пред-
		p		, имеем:
ставив Wj = "j			t
xi i i t xj j j t					n	n
					= k;l=1 ik jl h"k"li t = k=1 ik jk t:
	x		x		X	X

Для получения решения перейд¼м, как и в одномерном случае, к на- туральному логарифму от xi. Тогда по лемме Ито имеем:

d ln xi = i 2		ij2	! dt + ij Wj:
1	n		n
	X		Xj
	j=1		=1

Решение этого уравнения с начальным условием x0i = xi(0), выраженное через гауссовы переменные, имеет вид:

xi(t) = x0i exp	( i 2				ij2	! t + ij"j pt)	:
	1			n		n
				X		Xj
				j=1		=1

Среднее значение экспоненциально изменяется со скоростью, определяемой параметром i:

hxi(t)i = x0i e it:

Аналогично, среднее значение квадрата имеет вид:

xi2(t)	= x02i	exp	(2 it + ij2	t):
			n
			Xj
			=1

Более подробно к вопросу стохастического описания финансовых рынков мы верн¼мся в восьмой главе.

174

Глава 6.

Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических урав-

нений можно попытаться свести к простому нестационарному случаю. Для этого подбер¼м такую векторную функцию F = Fk(x; t), котораяубирает x из уравнения (по повторяющимся индексам снова предполагается суммирование):

dFk =	@F		@Fk		1			@2Fk	bi bj dt +	@Fk
	k	+		a +							bi W :
	@t		@x		2 @xi@xj					@xi

Пусть

1

ê bi

матрица. Тогда для

функций|

{zволатильности}

bi обратная|

{z

}

sk(t)

fk(t)

sk (t) можно записать:

@Fk

bi = sk (t)

=>

@Fk

= sk (t) b 1

:

(6.36)

@xi

@xi

i

Для нестационарного сноса fk(t):

f

t

@Fk

s

b 1 a

1

s

b 1

@b

b

;

(6.37)

k(

) =

@t

+

k

2

k

@xj

j

где мы подставили (6.36) и воспользовались соотношением:

@b 1

@b

= b 1

b 1

@xj

@xj

которое получается дифференцированием b 1 b = 1 ïî xj.

Возьм¼м производную выражения (6.36) по t и производную по xi îò (6.37). Вычитая их, получаем условие совместности в следующем виде:

@		sk (t) b i1 + sk (t)	@	b 1	a	1 @b			bj = 0:	(6.38)
@t			@xi			2 @xj

Как и в одномерном случае, если при данных ai(x; t) è bij(x; t) уда¼тся подобрать такие функции времени sk (t), ÷òî (6.38) обращается в тождество, то решение стохастического уравнения записывается в неявном виде:

		Z	t
Fk(x(t); t) = Fk(x0; t0)	+		fk( ) d + Si (t) " ;	(6.39)
		t0
ãäå " нормированные независимые гауссовы случайные числа, а
		t
Si (t) Sj (t) =	Z si ( )sj ( ) d :
	t0

Привед¼м пример использования этого алгоритма.

необхо-

_ (t) =

Системы уравнений

175

Для системы линейных уравнений с постоянной матрицей A и зависящими от времени вектором c(t) и матрицей B(t):

			dxi = Aijxj + cj(t) dt + Bij(t) Wj;
условие совместности (6.38) и его решение имеют вид:
	d		(s B 1) = (s B 1) A =>	s(t) = s(t0) B 1(t0) e A t B(t):
dt

При использовании алгоритма поиска точного решения нам достаточно найти частное решение условия совместности, так как фактически мы ищем наиболее простую замену F(x; t), приводящую исходное уравне-

ние к нестационарному винеровскому процессу (6.34). Поэтому выберем начальное условие для матрицы s в следующем виде s(t0) = B(t0) и, следовательно:

s(t) = e A t B(t):

В результате функции замены F(x; t) (6.36) и сноса f(t) (6.37) равны:

F(x; t) = e A t x; f(t) = e A t c(t):

Окончательное решение является нестационарным гауссовым процессом:

x(t) = eA (t t0)x0 + Z	t
	eA (t ) c( ) d + G ;
t0

ãäå x0 = x(t0) начальное условие. Матрица G = eA t S(t) удовлетворяет соотношению, определяющему матрицу дисперсии процесса:

t t

Z Z

D = G GT = eAt ssT d eAT t = eA(t ) B( )BT ( ) eAT (t ) d :

t0 t0

Если c = 0, а B является постоянной матрицей, то эти формулы совпадают с результатами, полученными в предыдущем разделе.

В случае, когда матрица A зависит от времени, вместо e At димо использовать матрицу (t), удовлетворяющую уравнению

(t) A(t). Явный вид (t) можно выразить через A(t), однако для

этого необходимы специальные обозначения, упорядочивающие матрицы, так как интеграл от матрицы A( ) по интервалу [t0; :::; t] в общем случая не коммутирует с матрицей A(t) в момент времени t.