R: Стохастический справочник

В приложении собраны основные формулы, связанные с одномерными и многомерными стохастическими дифференциальными уравнениями. Приведены точные или асимптотически точные решения. В тех слу- чаях, когда уравнение обсуждалось в книге, делается сноска на соответствующий номер страницы.

261

262

IОсновные соотношения теории

R1: Стохастическое дифференциальное уравнение определяется функциями сноса a(x; t) и волатильности b(x; t):

dx = a(x; t) dt + b(x; t) W;

p

где W = " t винеровский шум, а " N(0; 1) гауссово случайное

число с нулевым средним и единичной дисперсией. Итерационная схема: p

xk+1 = xk + a(xk; tk) t + b(xk; tk) t "k:

Стартуем с x0 = x(t0), и далее каждый раз генерим новое, независимое гауссово случайное число "k.

R2: Дифференциал функции F = F (x; t), если x = x(t) случайный процесс, определяется леммой Ито (стр. 55):

@F

@F

2 x; t

)

@2F

dt + b(x; t)

@F

dF =

+ a(x; t)

+

b (

W:

@t

@x

2

@x2

@x

Стохастическое уравнение для F получаем после замены x = G(F; t), где G обратная к F функция.

R3: Плотность условной вероятности P = P (x0; t0 ) x; t) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка (стр. 107):

@P

@

a(x; t) P

1 @2

b2(x; t) P = 0

+

@t

@x

2 @x2

и первому уравнению Колмогорова (стр. 105):

@P

@P

1

@2P

+ a(x0; t0)

+

b2(x0

; t0)

= 0:

@x0

@x02

@t0

2

Уравнению Фоккера-Планка можно придать форму закона сохранения:

	@t +	@x = 0;	J(x; t) = a P 2	@x	:
	@P	@J	1	@ b2 P
Возможны следующие граничные условия (стр. 110):
reflecting :			J(a; t) = 0
absorbing :			P (a; t) = 0
periodic :			J(a; t) = J(b; t); P (a; t) = P (b; t):

Если начальное условие x0 задано точно, то P (x0; t0 ) x; t0) = (x x0).

R: Стохастический справочник

263

R4: Среднее от функции F = F (x; t) удовлетворяет уравнению (стр. 78):

	d hF i	=	@F		+ a(x; t)	@F	+	b2(x; t)		@2F	:
			@t			@x		2 @x2
	dt
В случае F = x и F = x2:					hx_2i = 2xa(x; t) + b2(x; t) ;
hx_ i = ha(x; t)i ;

где точка производная среднего по времени. Для линейного по x сноса уравнение для среднего hxi совпадает с детерминированным.

R5: Важный класс точных решений можно найти (стр. 57), если уда¼тся подобрать функцию s(t), удовлетворяющую тождеству:

1 @ s(t)

s(t) @t b(x; t)

Тогда, решая уравнения:

	@F	=		s(t)	;
	@x		b(x; t)

	1 @2b(x; t)					@	a(x; t)
=									:
	2 @x2					@x		b(x; t)

@t	+ s(t)	b(x; t)		2	@x		= f(t)
@F			a(x; t)	1	@b(x; t)

находим F (x; t) и f(t), при помощи которых записываем решение:

t

2 t

31=2

ZZ

F x(t); t = F x(t0); t0 + t0	f( ) d +	t0	s2( ) d	5	":
		4

R6: Решение x = f(t; "), выраженное через случайную переменную ", удовлетворяет уравнению (стр. 120):

f_

= a(f; t)

D0

(f; t)

+

D(f; t)

(")

+

f00

;

2

2

f0

f02

ãäå (") = P 0(")=P ("), и P (") плотность вероятности для ", точка производная по времени, штрих по ", а D = b2, D0 = @D=@x. В случае

гауссового распределения					(") = ". Начальные условия x0 = f(t0; ").
Уравнение для обратной функции " = g(x; t):
g =	1 @D(x; t)			g0	a(x; t)g0	D(x; t)		(g) g02 g00 :
	2		@x			2

Штрих теперь производная по x.

264

R7: Система стохастических уравнений n x m относительно переменных состояния x = fx1; :::; xng имеет вид:

dx = a (x; t) dt + b(x; t) W :

По повторяющемуся индексу, если иное не оговp îрено, предполагается суммирование. Стохастический шум W = " dt выражается через m

нескоррелированных гауссовых чисел: " = f"1; :::; "mg.

R8

: Лемма Ито (стр. 157) для функции n + 1 переменных F = F (x; t):

@F

@F

1 @2F

@F

dF =

+

ai +

bi bj dt +

bi W :

@t

@xi

2

@xi@xj

@xi

Матричная форма (bT транспонирование, Tr след матрицы):

@F

@F

1

@2F

@F

dF =

+

a +

Tr bT

b dt +

b W;

@t

@x

2

@x2

@x

R9

: Уравнение Фоккера - Планка (стр. 158) äëÿ P = P (x0; t0 ) x; t):

@P

@(a P )

1 @2

hbi bj P i = 0:

+

i

@t

@xi

2

@xi@xj

Функции сноса и волатильности зависят от текущего значения x и вре-

ìåí: ai = ai(x; t), bi = bi (x; t).

Первое уравнение Колмогорова для P = P (x0; t0 ) x; t):

@P		@P		bi bj		@2P
	+ ai		+				= 0:
				2
@t		@x0i				@x0i@x0j

ãäå x0 = fx01; :::; x0ng переменные начального условия, в которых вы- числены снос и волатильность ai = ai(x0; t0), bi = bi (x0; t0)

R10: Уравнение Фоккера-Планка имеет вид закона сохранения:

@P	+		@Ji	= 0;	Ji = aiP	1 @			hbi bj P i:
@t		@xi				2		@xj

Вероятность p(t) нахождения в объ¼ме V , окруженном поверхностью S:

p(t) = Z	P (x; t)dV;	dt	= Z	JdS:
		dp
V			S

Элемент площади dS перпендикулярен поверхности и направлен наружу. Вероятность p(t) уменьшается, если положителен поток из объ¼ма.

R: Стохастический справочник											265
R11: Динамические уравнения для средних (стр. 159):										@xj
	dt		=	@t		+ ai @xi		+ 2 bibj	@xi		:
	d F x(t); t				@F		@F	1	@2F

В частности, для среднего значения:

hx_ i = ha(x; t)i

и среднего квадрата:

hx _x i = hx a + x a + b b i :

Св¼ртка по индексам:

hx_2i = 2 hx ai + Tr b bT :

R12: Как и в одномерном случае, некоторую систему стохастических уравнений можно попытаться свести к простому нестационарному слу- чаю (стр. 174), найдя матрицу sk(t), удовлетворяющую уравнению:

@t sk(t) bi1			+ sk(t) @xi b 1 a		2 @xj	bj = 0:
@			@		1 @b

Тогда, найдя F (x; t) из уравнения:

@Fk

= sk(t) b 1

@xi

i

и нестационарный снос:

f

t

@Fk

s

b 1 a

1

s

b 1

@b

b

;

k(

) =

@t

+

k

2

k

@xj

j

решение запишем в следующем виде:

t

Fk(x(t); t) = Fk(x0; t0) +

Z fk( ) d + Si(t) " ;

t0

ãäå " нормированные независимые гауссовы случайные числа, а

	t
Si(t) Sj(t) =	Z si( )sj( ) d :
	t0

266

II Процесс Винера

R13: Винеровское блуждание является непрерывным пределом дискретной модели суммы n независимых нормально распредел¼нных слу-

чайных величин. Если, начиная со значения W (0) = 0, в течение времени t произошло n гауссовых изменений и t = t=n, то при n ! 1:

p p p

Wt = ("1 + "2 + ::: + "n) t = " n t = " t:

Таким образом, в момент времени t процесс имеет гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией, равной t: Wt N(0; t)

R14: Средние винеровского процесса.

D

p

E

hf(Wt)i = f " t

,

, ... независимые

p

p

p

hf(Wt1

; Wt2 )i = f "1 t1; "1 t1 + "2 t2 t1

;

ãäå

"1

"2

гауссовы числа, а

t1

.

< t2 < t3 < ::

В общем случае (t0 = 0, W (0) = 0):

+

hf(Wt1

; ::; Wtn)i =

*f "1pt1;

"1pt1 + "2pt2 t1

; :::;

n

"k

tk

tk 1

:

Xk

p

=1

R15: Производящие функции для средних (t1 < t2 < t3 < ::).

ep Wt

= e21 p2t

ep1 Wt1 +p2 Wt2

= e21 (p12t1+p22t2+2p1p2t1)

ep1 Wt1 +p2 Wt2 +p3 Wt3

= e21 (p12t1+p22t2+p32t3+2p1(p2+p3)t1+2p2p3t2)

ep1 Wt1 +p2 Wt2 +p3 Wt3 +p4 Wt4

= e21 (p12t1+p22t2+p32t3+p42t4)

e21 (2p1(p2+p3+p4)t1+2p2(p3+p4)t2+2p3p4t3)

R16: Некоторые средние значения (t1 < t2 < t3 < ::).

Wt2n = 1 3 5 ::: (2n 1) tn;

Wt2n+1 = 0:

двуточечные:

hWt1 Wt2 i = t1;

2

2

2

+ t1t2;

3

3

3

2

Wt1 Wt2

= 2t1

Wt1 Wt2

= 6t1

+ 9t1t2

Если сумма степеней неч¼тна, то:

n m

n + m = 1; 3; 5; 7; :::

Wt1 Wt2 = 0;

R: Стохастический справочник

267

R17: Разложение Палея-Винера (на интервале t = [0::T ]):

t

p

1

sin( k t=T )

W (t) = "0 pT

+ 2T

"k

k

:

=1

Xk

R18: Разложение Кархунена-Лоэва (на интервале t = [0::T ]):

1

"k

sin

k + 1=2) t=T

:

W (t) = p2T k=0

((k + 1=2)

X

R19: Винеровское блуждание со сносом (стр. 48):

dx = dt + W

является базовым процессом, имеющим постоянные снос и волатиль-

ность . Его решение с начальными условиями x0 = x(t0) имеет вид:

p

x(t) = x0 + (t t0) + " t t0:

Среднее значение и волатильность x2 = (x x)2 :p

x(t) = x0 + (t t0);

x(t) = t t0:

Автоковариация:

cov(t; t + ) = h(xt xt)(xt+

xt+ )i = 2 (t t0):

Условная плотность вероятности:

P (x

; t

)

x; t) =

1

t0)

exp

(x

x0

(t t0))2

:

0

0

2 (t

2 2 (t

t0)

вероятности при

,

в различные мо-

Эволюция плотностиp

= 1 = 1

менты времени:

0.4

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

0

-10

-5

0

5

10

15

20

268

III Уравнения с линейным по x сносом, n = 1

Если снос и волатильность не зависят от времени, то решение не изменится при сдвиге начального момента. Поэтому ниже t0 = 0, и для его восстановления необходимо t ! t t0. Везде " гауссова случайная величина с h"i = 0, "2 = 1. Начальное условие x0 = x(t0). Если решение выражается через процесс Винера Wt, это указывается явным образом.

R20: Логарифмическое блуждание (стр. 58):

dx = x dt + x W:

Решение:

x(t) = x0 e( 2=2)t+ Wt:

Среднее значение и волатильность:

p

x(t) = x0 et; x(t) = x(t) e 2t 1:

Автоковариация:

h i cov(t; t + ) = x20e (2t+ ) e 2t 1 :

R21: Процесс Орнштейна - Уленбека (стр. 60):

dx = (x ) dt + W

при > 0 описывает блуждание с притяжением к уровню . Решение уравнения:

x(t) = + x0 e t +

p

p1 e 2t ":

2

Среднее значение и волатильность:

x(t) = + x0 e t;

x(t) =

p

p1

e 2t:

2

Автоковариация:

cov(t; t + ) = x2(t) e :

При > 0 в стационарном пределе t ! 1 спектральная функция:

2=

S(!) = !2 + 2 :

Стационарное распределение для x имеет гауссову форму со средним p

значением x = и волатильностью = 2 .

R: Стохастический справочник

269

R22: Процесс Винера с линейной волатильностью :

dx = dt + x W:

Среднее значение:

x(t) = x0 + t

Дисперсия ( = = 2):

x2(t) = h(x0 + )2 + 2i e 2t 1 2 (x0 + ) t 2 t2:

Процесс

y = F (t; x; W ) = x e

2

t Wt

удовлетворяет стохастическому

2

уравнению dy

= e

2

t Wt dt; потому интегральное представление ре-

2

шения x(t) имеет вид:

x(t) = e

2

t+ Wt

2x0 + Zt e

2

s Wsds3

:

2

2

p

4

0

5

Åñëè

Wt

, то при малых

äëÿ

y

справедливо разложение:

= "1

t

t3=2

2

x(t) = x0 + t (p3"1 + "2)

2p

+ ::: e 2

t+ "1pt;

3

ãäå "1, "2 независимые гауссовы числа.

R23: Феллеровское блуждание с постоянным сносом (стр. 87):

dx = dt + p

W:

x

Решение:

x(t) = x0 + p

" +

2t

u;

x0 t

2

где производящая функция для ", u равна (см. R69):

ek "+ p u =

1

exp

k2=2

:

(1 p)2 = 2

1 p

Среднее значение и дисперсия процесса:

x(t) = x0 + a t;

x2(t) = 2 x0 t +

a t2

:

2

270

R24: Процесс Феллера (стр. 82, 168):

p

dx = (x ) dt + x W

c начальным условием x0 = x(0) è = 2=2 имеет решение:

x(t) = x0e t + q

" + 1 e t u;

2x0 e t (1 e t)

где производящая функция для " и u имеет вид (см. R69):

ek "+ p u

=

1

exp

k2=2

:

(1

p) =

1

p

Среднее значение и дисперсия процесса:

x(t) = + x0 e t;

x2(t) = 1 e t 2 + 2x0 1 e t e t:

Автоковариационная и спектральная (при t ! 1) функции:

cov(t; t + ) = x2(t) e ;

S(!) =

2=

:

!2 + 2

Производящая функция для x:

1 p1f3

;

hep xi = (1 p f3) exp

1

p f

ãäå f1 = x0e t, f3 = (1 e t), à = = = 2 = 2

При > 0 существует стационарная плотность вероятности:

1

x

1

e x= :

P (x) =

( )

Плотность вероятности при произвольном t:

P (x0; 0 ) x; t) = e f3

I 1

2

f1

1

f3

1

e x=f3

;

f1=f3

pxf

x

2

ãäå Iq(z) модифицированная функция Бесселя:

1

(z=2)2k+q

Xk

k! (k + 1 + q);

Iq(z) =

=0

удовлетворяющая уравнению: z2Iq00(z) + zIq0(z) (z2 + q2)Iq(z) = 0:

R: Стохастический справочник

271

R25: Процесс Орнштейна-Уленбека с линейной волатильностью :

dx = (x ) dt + x W:

Среднее значение:

x(t) = + x0 e t:

Дисперсия:

2(t) =

2 2

+

2 2(x0 )

e t

(x

0

)2 e 2 t

2 2

x

2 2

2

2(x0

)

2

+

x02

+

e( 2 +

)t:

2

2

2

При > 0 стремится к стационарному распределению с плотностью:

P (x) x 2 exp =x ;		=	2
			2
Интегральное представление решения:
x(t) = e ( + 2=2)t+ Wt 2x0 + Zt e( + 2=2)s Wsds3					:
4	0		5

R26: Линейный снос и волатильность (стр. 331):

dx = ( + x) dt + ( + x) W:

Среднее значение:

x(t) =

+ x0 +

e t:

Среднее квадрата ( ~ = + , n = n + 2):

2~ 2

2~( + x0)

e t + x2

2~x0

+

2~ + 1 2

e 2t;

x2(t) =

+

2

1 2

1

0

1

R27: Броуновская ловушка (стр. 327):

dx = (x ) dt + (x ) W:

Решение: p x = + (x0 ) e ( + 2=2) t+ t":

Среднее значение и волатильность:

p

x(t) = + (x0 ) e t; x(t) = jx0 j e t e 2t 1:

272

R28: Отсутствие зависимости от x (стр. 56):

dx = f(t) dt + s(t) W:

Решение:

t

2 t

31=2

ZZ

x(t) = x(t0) + f( ) d + 4 s2( ) d 5 ":

t0 t0

Среднее значение и дисперсия:

t	t
x(t) = x(t0) + Z f( ) d ;	x2(t) = Z s2( ) d :
t0	t0

R29: Броуновский мост (стр. 63):

x

dx = T t dt + W:

Решение с x0 = x(t0):

T t x(t) = + (x0 ) T t0

Среднее значение и дисперсия:

T t x(t) = + (x0 ) T t0 ;

+ s		(t T0)( t0	)		":
		t T t

2(t) = 2 (t t0)(T t): x T t0

R30: Степенной броуновский мост (стр. 63):

x

dx = T t dt + W:

Решение с x0 = x(t0):

x0

(T t)

(T t)2 1

1=2

x(t) = +

(T

t) +

1

":

T

2 1

T 2 1

R: Стохастический справочник

273

R31: Нестационарное логарифмическое блуждание

dx = a(t) x dt + b(t) x W:

Решение:

x(t) = x0

exp

8 t

a( )

1 b2

( )

d +

2Z

t

b2( ) d

1=2

"9

:

>Z

2

3

>

<0

0

5

=

Среднее значение:>

4

>

:

t

;

x(t) = x0 exp Z0

a( ) d :

274

IV Уравнения с нелинейным по x сносом, n = 1

R32: Логарифмический процесс Орнштейна-Уленбека (стр. 327): x

dx = x ln 1 dt + x W:

Решение:

x(t)

2

x

2

ln

= 1

+ ln

0

1 +

e t +

p

p1 e 2t ":

2

2

2

Среднее значение:

2

x

2

2

x(t) = exp 1

+ ln

0

1 +

e t +

1 e 2t :

2

2

4

R33: Логистическое уравнение x (стр. 89):

dx = ( x x2) dt + x W

удобно рассматривать в безразмерном виде:

где = =2 . Переход к исходному

p

dx = x (1

x) dt + 2 x W;

2

уравнению осуществляется замена-

ìè t ! t, x ! ( = )x, x0 ! ( = )x0. Разложение в ряд по t среднего:

	x		=	1 + 1 x0 t + 1 (3 + 2 )x0 + 2x02	t2
	x0				2!		t3
			+	1 (7 + 10 + 4 2) x0 + (12 + 16 ) x02 6x03				+ ::
							3!

При ; > 0 существует стационарное распределение ( t ! 1) с плотностью вероятности:

P (x) = 1 x 1 e x=

( )

где = (1 )= . Средние значения и волатильность в асимптотическом пределе t ! 1:

hxi = 1 ;		x2		= hxi ;	x2 = (1 ) :
Решение можно выразить через				стохастический интеграл:
x(t) = x0 e(1 ) t+p		Wt	21 + x0 Zt		e(1 ) +p		W d	3 1	:
	2					2
			4					5

0

R: Стохастический справочник

275

R34: Рэлеевский процесс

dx = x x dt + W:

Среднее квадрата:

			2 + 2	1 e 2 t :
	x2(t) = x02 e 2 t +
			2

Стационарная плотность вероятности ( = ( = 2) + 1=2):

P(x) = 2( = 2) x2 = 2 e x2= 2 :

( )

Асимптотически стационарные средние:

			( + 1=2)							2 + 2
								x2 =
		=	p				;				:
	x
						( )				2

p

R35: Нелинейный снос с волатильностью x

2

dx =

+ px + 2 x dt + px W:

4

Решение с x0 = x(0), > 0:

px0 e t + 2

e t 1 + p8 p

"

2

x(t) =

e2 t 1

:

R36: Степенное уравнение

dx = m2 2 x2k 1 dt + xk W:

Если m и k целые числа, то уравнение для средних:

	x_n		=	n(n m 1) 2				xn+2k 2
	m
ïðè n = m + 1: x				2
	+1			m+1			= x0):
			= x0 . Например, (

dx = 2 x3 dt + x2 W dx = 2 2 x3 dt + x2 W dx = 3 2 x3 dt + x2 W

=>	hxi	= x0	1		2 2 t + 3 4 t2
=>	x	= x0	1		2 t
=>	hxi	= x0	1		3 2 t + 9 4 t2		15 6 t3
	h i

Квадратичная волатильность x2 слишком сильная, и решение не удерживается у равновесного в детерминированном случае уровня x = 0.

276

R37: Деформация винеровского процесса

Для дифференцируемой функции G(x) (штрих производная по x):

	1		2	1		0
dx =		+					dt +			W:
	G0(x)		2		G0(x)			G0(x)

p

Решение c x0 = x(0), Wt = " t:

G(x) = G(x0) + t + Wt:

Решения в R38 R43 получаются или при помощи алгоритма со стр. 57, или при соответствующем выборе функции G(x).

R38: Степенные снос и волатильность с 6= 1

dx = h x + 2 2 x2 1i dt + x W:

p

Решение с x0 = x(0), Wt = " t:

x(t) = x10 + (1 ) ( t + Wt) 1=(1 ) :

В частности:

dx = 3 x1=3 dt + 3 x2=3 W:

имеет решение:

x(t) = hx01=3 + Wti	3
	:

и средние ( = t=x20=3):

x

= x0 1 + 3

+ 378

+

=

0

1 + 36

x2

= x02

1 + 15 + 45 2

+ 15 3

+

x3

=

0

1 + 66

+ 1485

+ 13860

x4

x4

2

2

3

3

4

x

51975 4 + 62370 5

+ 10395 6

:

Ïðè x0 = 1 è t = 1:

x = 4,

= 76,

x = 2620,

x

= 140152.

R39: Квадрат винеровского блуждания

p p

dx = (2 x + 2) dt + 2 x W:

Решение

x = (x10=2 + t + Wt)2:

x0

2

2

x0

R: Стохастический справочник

277

R40: Снос, пропорциональный волатильности

dx = ( 2 x) ( 2 x2) dt + ( 2 x2) W:

p

Решение с x0 = x(0), Wt = " t:

x = th ath x0 + ( t + Wt) ;

где ath гиперболический арктангенс.

R41: Снос, пропорциональный волатильности-2

dx = ( + 2 x) ( 2 + x2) dt + ( 2 + x2) W:

p

Решение с x0 = x(0), Wt = " t:

x = tg arctg + ( t + Wt) ;

R42: Cèíóñ

p p

dx = 2 x2 x dt + 2 x2 W:

p

Решение с x0 = x(0), Wt = " t:

x = sin arcsin + ( t + Wt) ;

R43: Гиперболический синус

						2
dx = p 2 + x2 +								x dt + p 2 + x2 W:
						2
Решение с x0 = x(0), Wt = "p				:
		t
					x
x = sh ash					0		+ ( t + Wt) ;

где ash(x)-гиперболический арксинус.

278

R44: Асимптотический Коши
Среднее значение и дисперсия:		p
				+	x2 W:
	dx =	2
x = x0;	x2(t) = ( 2 + x02) e 2 t 1 :

При t ! 1 плотность вероятности стремится к распределению Коши:

= P (x) = 2 + x2 :