Линейная алгебра и аналитическая геометрия

базиса {	,	};	λ1	λ2		λ3		— координа-
ты вектора		относительно базиса {				,	, }.
При этом векторы λ1					λ2	λ3	называются компонентами
вектора	относительно базиса.
Пример 1.
V1:				; V2:				;
V3:					.

Теорема (линейные действия с векторами в координатах).

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число; при сложении (вычитании) векторов их соответст-

вующие координаты складываются (вычитаются):
λ			;					,
							,			.
Доказательство.
Пусть	,		тогда							λ
										λ
.
Пусть			,					, тогда
,								;
									;
2 + + 1 2 + 1 2									1 2; 1	2; 1 2.
Теорема доказана.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме
Теорема. Векторы								и	коллинеарны то-
гда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
									rang	;

83

=	rang	.

Доказательство. По теореме 2 (см. раздел 2.1.3) необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является равенство нулевому вектору некоторой нетривиальной линейной комбинации этих векторов:

										.
		Пусть векторы					из пространства V3.
		Тогда
											.
		Для того чтобы однородная система линейных уравнений отно-
сительно неизвестных							и	(	) имела ненулевое		решение
					, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был
меньше числа неизвестных								(раздел 1.3.6):
rang						. Это неравенство, в свою очередь, равносильно:
rang
						. Теорема доказана.
Пример 2.
,							; rang			;
,							; rang				.
Пример 3.

84

Доказать, что — базис на плоскости и разложить вектор по этому базису: , , . Построить задан-

ные векторы в ортонормированном базисе (рис. 2.21).

				— базис на плоскости.
λ1	λ2		λ1	λ2
2	1+	2=13 1 2	1	35 2=15	= 35 +

.

-

-

Рис. 2.21. Разложение
векторов ,	,	по
ОН на плоскости
Условие компланарности векторов в координатной форме
Теорема. Векторы	,	и

компланарны тогда и только тогда, когда определитель матрицы,

строки которой	из координат этих векторов, равен нулю:
,	,	— компланарны
		.

Доказательство. По теореме 4 (см. раздел 2.1.3) необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство

85

нулевому вектору некоторой нетривиальной линейной комбинации этих векторов:

—			.
	. Для того чтобы однородная система линей-
ных уравнений относительно неизвестных		(	) имела нену-
левое решение	, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы был меньше числа неизвестных		(раздел 1.3.6):
rang	. Это равносильно условию:		.

Теорема доказана. Пример 4. Доказать, что

жить вектор по этому базису:

,

в пространстве.
λ1	λ2	λ3
λ2		λ3
	{	}

— базис в пространстве и разло-

,	,	.
		— базис

λ1

{ ; ; }

				2		3		1		.

86

2.2. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

2.2.1. Проекция вектора на ось и ее свойства

Опр. Ось — это прямая, на которой:

а) задан орт (т. е. указано направление и выбран масштаб), б) отмечено начало отсчета (точка О).

						1
				1
	1
	1
	Рис. 2.22. Проекция вектора на ось
Пусть точка A1 — проекция точки A на ось						, B1 — проекция
точки B на ось (основания перпендикуляров, опущенных соответст-
венно из точек A и B на ось		).
Опр.	Компонентой вектора		вдоль оси			называется вектор
, где A1 — проекция точки A на ось				, B1 — проекция точки B на
ось (рис. 2.22).
Опр. Проекцией вектора			на ось	называется число, равное
, взятому со знаком « », если компонента одинаково направле-
на с ортом	и взятому со знаком « », если компонента противопо-
ложно направлена с ортом		(рис. 2.22):
						.
Из этого определения следует равенство:							.
Теорема. Пусть		,	— угол между вектором и осью .
Тогда	.

87

Доказательство. Возможны 3 случая: — острый угол; — тупой угол; — прямой угол (см. рис. 2.23).

				2
	2
				1
		1	1	1
	1	1
	Рис. 2.23. К доказательству теоремы
Если	—	острый угол,	то
		.
Если	—	тупой угол, то
				.
Если	— прямой угол, то обе части равенства равны нулю:
				. Тео-

рема доказана.

Следствие. Если векторы равны, то их проекции на одну и ту же ось тоже равны.

Это следует из того, что равные векторы имеют, во-первых, равные модули и, во-вторых, равные углы с одной и той же осью.

Свойства проекций векторов:
1.	)		;
	2.	λ	.

Упр. 5. Доказать свойства проекций векторов.

88

2.2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства

Опр. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (рис. 2.24). Обозначение: .

cos

Рис. 2.24. Скалярное произведение векторов

Геометрический смысл скалярного произведения:

; , (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Геометрический смысл скалярного произведения

Если — орт некоторой оси , то . Проекция векто-

ра на ось равна скалярному произведению этого вектора на орт этой оси.

Физический смысл скалярного произведения. Работа A, совершаемая постоянной силой при прямолинейном движении материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения (рис. 2.26).

89

				Рис. 2.26. Физический
				смысл скалярного про-
					изведения
Свойства скалярного произведения:
1.		(коммутативность).
2. (λ )		λ (		) (ассоциативность относительно умножения
на число).
3.	(	)			(дистрибутивность).
4.		(скалярный квадрат).
5.				(условие ортогональности векторов).
6.			— острый угол;					— тупой угол.
Доказательство.
1.			cos	;		cos	;
	.
2.	(λ	)
λ ( ).
3.	(	)
						.
4.			cos			.
5.				cos	cos			(если	)
		;	если			,	то		, а
нулевой вектор можно считать ортогональным любому вектору.
6.						— острый		угол;

— тупой угол. Свойства доказаны.

Рассмотрим скалярное произведение векторов	из ОН
в пространстве:

90

			;			;
			;			;
Результаты занесем в «таблицу скалярного умножения»:
		1		0		0
		0		1		0
		0		0		1

Пример 1.				Найти модуль вектора ,						если известно:								2		,
,				,	,							,						,				.
				(2	) (2					)		4		2				2	2
				2					4	4		4		2						=
4 2 2			4 2 3			4 2 4 0			2 3 4					4 4				16	12	0
													3 3
12			9	16	53 12									.

Пример 2. Найти длины диагоналей d1				и d2 параллелограмма, постро-
енного на векторах			и , если	3 ,	2	,
		(см. рис. 2.27).

d1

d2

			Рис. 2.27. К решению примера 2
d1		, d2	;			3 2 ,		4 ;
d12	(3	2 ) (	) 9			12	4	9 2 2
12 2 3 0,5 4 3 3			36 d1			6.
d22	(	4 ) (	)			8	16	2 2 8 2 3 0,5
		172 d2
+16 3 3			.

91

Теорема косинусов. В произвольном треугольнике квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2	b2	c2	2b c	cos	A;
b2	a2	c2	2a c	cos	B;
c2	a2	b2	2a b cos		C.

Доказательство (см. рис. 2.28).
,	,		;
a	, b	, c	.

Рис. 2.28. К доказательству теоремы косинусов

a2	2		(	)	(	)		2
	2	2		cos	A	2 b2	c2	2b c cos A.
	Аналогично выводятся остальные формулы. Теорема доказана.
Если треугольник — прямоугольный ( C							), то получаем тео-

рему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c2 a2 b2.
2.2.3. Векторное произведение векторов и его свойства
Ориентация тройки векторов (см. рис. 2.29).
Опр. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,	,

имеющих общее начало, называется правой тройкой, если поворот от

92