lec_termod_kv_mech

Сте ана Больцмана Re
		Сте ана Больцмана,
			Re	= σT	4
ìÁîстьльцмана. Закон			Âò/(ì	2 · K4	) постояннаяпределяяСтезависиана
ãäå σ	= 5, 67 · 10−8
ñÿ	Re
							-
							-
						сительнораспределениетеласмещаетнеравно.темпеспек
					отчтоповышениякоторыйявляется
					черного
мернымэнергиитралИзвсторонуэкспериментальныхноговспектреявноотсоставаболеетемпературы,выраженнымабсолютноизлучениякороткихданныхневолнмаксимумом,черногоабсолютнодаетследует,поответамеретела

ратуры. вывелСогласнонияраспределениезависимости2.абсолютноВ.(1893)Вин,законуотопираясьзаконплотностичерноготемпературыраспределенияизлучениянателаэнергиизаконы(или,.Винатермоиначеравновесногоэнергииэнерг-говорэлектродинамики,яизлучения,спектрея,спектральноеизлучения)излучеприв--

ходящаясятемпературына инт рвал частот dω, зависèт от частоты ω è T ñëåдующим образом:

ãäå u(ω, T )dω = ω3f (ω / T )dω, (1)

Òåìfсамым(ω / T )определениеновая универсальнаяуниверсальнойункцияункцииаргумента ω / T .

аргументовункции сведенотолькза	че нах ждения универсальнойu(ω, T ) двух
		-
ойеслищьюдругойизвестноормулыпритемпературекакойоспектральное(1)дного-можнолибоаргументпроизвольнойнайтираспределениеэтораспределение.температуре,Отсюдавравносле
притовесномдует,всякпомчтоизлученииf (ω / T )	ω / T

102 T .

åò âèä	dλ
5	ϕ(λT )dλ.
При иксированнойu(λ, T )dλ = λ−
температуре

вится ункциеймонотонно,толькдлины волныT величина u(λ, T ) стано чежетинтегральнаявозрастать плотность аизлучениядолж а λиметь.(Эт максимумункция не.Инам-

R ∞

нме моглаобозначимбыоставаться конечной. Дл нуu волны= uâ(λмаксиму)T= onstdλ)-

0

определения макλ симума,введемполучимобознауравнениечение x = λT . Тогда для
m
dϕ	dϕ	dϕ
приТакимодномобразом,итоìïðæåè=всеарT ãóõ темпмент= 0å,ратурах. . ìаксимум= 0.			получается
dλ	dx	dx
	x,	. å.

При повышении температурыλ T = b максимум= onst. ункции

m

смещаетсясоответствующаясторонуболеены оротких волн, тчению. . длинаu(λT )âîëT= onst-

тимости(и,темλ ,самым, максимальномумаксимальномузначениюэнергетическойзнаu(λ,ñâåT ),

m

нальнапостоянтермодиназываютние закономr(λ, Tîé) абсолютноВинасмещенияическойчерногоВинатемпературе.Эктела)сперимент.обраЭто ноальноерезупропорциотатзначена-

(например,−3

красноеноволновоерыЗаконнагретыхприВинаизлучениеостыванииотелобъясняет,вхbспектре=металла)2почему9 · 10все.присильнеепереходм·Kпонижении.преобладаетбелоготемператукалениядлинв-

этапом3. ЗаконывисторииВ наоткрытияСтеаназаконов103 Больцманаравновесногоявилисьизлученияважным

чего не могли сказать конкретном характере распределения
спектральнойЭ		плотностиизлученðàâ овесногозамкнутойизлученияполости.	ïðåä
ставляетромагнитноесобой сист му стоячих волн. Такое электромагнит
íîå	может быть заменено набором		îñ

циллят ров поля. Каждой стоячей волне эквивалентныхполости соответ-

ствуетполялнîстиФормуламерномэлейполебудеттеоремусцилляторираспределенииДжинсравнаэлеяклассическприсумДжинсачастотойìåнилиэнергийэнергииойстатистическойкωравновесномуосцилляторовпоэнергиейстепеняεìизлучен(ω,еханик.свободыT ). Энергияèю.овравпо-

	ω2		ω2
Соответственно r(ω, T ) =		ε¯ =		kT.
	2		2
	2πc		2πc
	ω2		ω2
Здесь,степенямсогласнопоческственнойизике,свободы,законуu(ω, Tâûâî)Больцмана= äèìîìóε¯ = âî êëðàассическойспределенииkT. стэнергиитити(2)
	π2c3		π2c3

частотойε¯ = kT средняя энергия осцилляторà ñ ñîá- монотонночтонос экспериментомФормулыбольшихспектральнаярастеттемпературэлеятолькосплотнωростДжинса. .îвКромемстьобласчастотыуизлучендовлетворительнотого,низких.Однакяэтихвзамкнутойчастэтоîðìóтневозможнсогласуютсяилдостаточследует,полости-,

ак как тогда интегральная плотность энергии была бы беск - åчной при любой температуре. Закон равномерного распре д ления энергии при его применении к проблеме теплового

104

лучилосриментомопытом,названиекобластикоторому"ультрабольшихпривелаиолетовойчастот. Вопиющееатастроая противоречиеатистика,ы". по-
Анал гичное положение былоклассическпо ытками классич ск
еории объясн ть природу атомных спектров и явлени		îé
òоэ екта (эти вопросы мы р ссмотрим далее). Ведущие и
зики подспудно стали осознавать, что	науку о природе дол
жен быть введен какой-то совершенно	новый взгляд на ве-

щи. Честь этого революционного шага, сделанного в 1900 г., принадлежит М. Планку. Его открытие, по большому счету определило развитие изики и смежных областей науки всего XX в.

2.4ществомСогласноэнергию. ипотезаЗаконнепроисхгипотезенепрерывно,ПланкаизлучениядитквантамиПланка,несостоитнепрерывно,определеннымиПланкаатомныетом, чтоосцилляторыконечнымиизлучениепорциямипорциямиизлучаютсветаа квантве--.

тами света или	энергии, причем энергия							à
пропорциональна частоте	олебаний.			я от установивше-
Тем самым Планку пришлось отк
гос положения классической			изики,азатьсогласно к
энергия любой	жет изменяться непрерывоторому, . е.
может приниматьсистемылюб е оль угодно близкие значеíèÿ.
По Планку энергия гармоническ				осциллятора				может
принимать не		а толького избранные значения,
ленная величина, зависящая			0, ε◦, 2ε◦, . . .		,	ãäå	ε◦
образующие дискретныйпроизвольные,яд:
		только от собственной частотыопреде-
ω осциллятора.		105

поддерживаются при постоянной температуре, то наряду

излучениемрезульта еэнергиичего возбуждаютсдут происхя идитьвы шиеакты поглощ ния,

уровни. Усòановится состо

равновеñèÿ, ïðè

отором бу-

дут возбуждены все энергетичяниеские

уровни, ноэнергетическиеразличными

вероятностями.

теоремой Больцмана вероятности возбуж

В соответствии

дения энергет ческих

уровней

осциллятора

пропорцио-

нальны величинам 1, e−ε◦ / kT , e−2ε◦ / kT , . . .. Поэтому

∞

∞

n=1 nε◦e−nε◦ / kT

n=1 ne−nx

ε¯ =

P

= ε◦

P

,

определяетсг введено обозначение

∞

∞

e−nε◦ / kT

e−nx

P

P

n=0

n=0

я ормулой

x = ε◦ / kT . Значение знаменателя

∞

nx

1

X

=

1

−

e−x .

Числитель находится

äè e−

åðåíцированием этой ормулы по

n=0

x:

∞

e−x

X

−

и следовательно,

ne−nx =

(1

e−x)2

,

n=1

висимоПодставимотэлеяэто

ε

◦

ε

◦

пришелоðìó óÏëà(2.3нк.2),.Получимккоторой

íåçà-

сзначениеДжинсомâ

/ kT

1 .

ε¯ = ex

−

1

= eε◦

−

u(ω, T ) =	ω2		106	ω2			ε◦		.	(1)
	2			2 3		ε
		3 ε¯ =					/ kT
	π c			π c		e ◦		−	1

ε◦ → 0

ε / kT

eческпредельныйи ◦ýòî привеловыражение≈ 1 +переход,ε ê/великомуkTд я,аасреднейвеличинупотомуоткрытию,энергииε¯ = kT .неосциллятораПолучаетсстал произво. классиПланк,дить-

◦

ε

соотношениянамическв (2ния,.3.1),чтобыойвдим,ормулевыраженчтоэтоВèнатребование(1)(2.3довлетворяло.1). Приравняв◦ сводитсонопределилобщейвыраженияквыполнениютермодитребо(1)

Íî	1				ε◦/ω			ω
							= f		.	(2)
		π2c3 eε◦ / kT − 1						T
ìетра,жзавиесть			отсостояниесобственнойтольковеществамакроскамогочастотыиосциллятораопическогоизлучения,параимоне
æ	ε◦ определяющегозависетьхарактеристиктьтолькоттемпературы									-
Â	аком случае необх димо и достаточно, чтобыω осциллятора.

ãäå ε◦ = ~ω,

части~ соотношенияпостоянная.(2)Онастоитуниверсуниверсальная, посколькуункциявправой

аргумента						ω
	ωвпостоянной/ Tормулу.Величина(1),Планкатоhполучим=1. Åñëè2π~ =теперьормулу6, 626 10−
					f	T
подставитьназывае					34
			выражениеПланкаДж(3)
				·		·
	~ω / kT	ïолучается ормула
	~ω3	1
При низких частотах,u(ω, T )когда=		e~ω / kT	.			(4)
	π2c3		− 1

номдитслучае,вормулукогда элея Джинса (2.3.2). В другомормула предель(4)-
õ		~ω / kT 1
		107
		~ω3
1 Постоянную	u(ω, T ) =	2 3 e−~ω / kT .
		π c

~ = 1, 055 · 10−34 Äæ· называют перечеркнутой (дираковой) постоянной Планка.

произвольныхИз ормулыдопущений(4) лучаем.					ормулу для спектральной пло-
тности энергетической светèìîñти абсолютно черного тела:
			~ω3				1
Формулу Планкаr(ω,обычноT ) =				ïèøут в переменных.
			4π2c2				e~ω / kT − 1			ν, T :
а также в переменныхu(ν, T ) =			8πhν3				1		,
					c3			ehν / kT − 1
	λ, T :
			8πhc				1
						ûåктральнойнкгениальнойпопыткиполуэмпирическимплотностиобосноватьмысли(перравнопутемсâîé-
			åëüíа Пласпек
	äëÿ
ыслисногоНадоьтатсказать,излучениясвоюпривеличтоормулу. МучитсначаПланка						ehc / λkT − 1.
резувполучил	u(λ, T ) =				λ5
в квантовой теории!),						с ормулированной м в зна-
ìенитом постулате: вещество не может испускать энергию
излучения иначе как коне ными порциями, пропорциональ
ными частоте этого излу÷ения. Современники не сразу осо
нали революционность отк ытия Планка. Его гипотеза ка-
çалась просто остроумным приемом, позволяющим улучшить
теорию интересного, но частного явления, а отнюдь не гени-
альной мыслью, которая должна привести к кар
изическое явление, откр		Планкодин изикиосновных								динальномуиболее за-
изменению основных концепций								. Можно тольк			âîñ-
хищаться гениальностью							а, оторый, изуч я частное
гадочных законов природû. Даль ейшее развитие кван											âîé
теории связано с объяснением						Эйнштейном явления оòîý -
екта и успехами теории атома Бора.
					108

1. По учить закон Сте на Б льцмана, используя ор

мулуянныеПланка (2.4.4) и выразив постоянную σ через посто-

∞

h, k è c. ( Используйте результат R (ex − 1)−1x3dx =

0

4
πвыразить2/.15Вывести). постояннуюизормулы Планка закон смещения Вина и
Используйте езультатb через постоянные h, k			c. (Указание.
цендентное уравнение r(ν, T ) =	λ2	r(λ, T )	то, что транс-
	c

xex − 5(ex − 1) = 0 имеет решение xíèêютмомент=3.реликтовым)лашее4Ïî, 965иэтоприоднойначала). излучениеэтомизрасширятьсясонаиболееэлектромагнитноевременемимеетвероятныхвидначалопослетепловогоБоизтеорийстыватььшогоучениеизлученияВселенн.ВзрывВ(егонастоназыва.яящиймакВîç--

симу ом испускательной способности на длине волны λm = чения1, 074. Найтис.эКаковаергетическойнаиболеетемпературавероятнуюсветиэтогоостьюдлинуизлучения?волнывспектре излу-

5. Ìåäíый шарик радиусоì		R = 5, 7 Âò/ñì2.
ной.стеноклю поверхностьюкотороготемператураподдерпомещенживаетсоткачанныйарикаяНачальная r близк= 10
		ойммсосукабсолютномуабсолютнод,температурачерну--
время его температура уменьшится вT◦ = 300 K. Через какое
теплоемкость меди		n = 1, 5 раза? Удельная
числоуьныхПланка,Дж/(кгинтервалахнайтиK). число
нице6.Используяобъемавспектраормуc = 380	·		отонов в еди-
		(ω, ω + dω) è (λ, λ +
dλ), а также полное	отонов109	1 ñì3 ïðè T = 300 K.

ходитИзсвета2.5предполож1. . проявляютсдискретнымиПланкФотоныдолгоеения,. Фотоэлектрическийлишьпорциямичтовремяпоглощениевполагал,актахсразуизлученияжизлучениячтоследовало,эквантовыеектеготакжвеществомчтосвойствапроиссама-.
			излучения дискретна. К этому Планк не был готов,
структураак ак это противоречило волновой теории электромагнит-
ного излучения, нашедшей подтвержд ние в										закон
и весьма точных экс ериментах. Б леå							радик
ченная орма была придана квантîâîé								альнаясвет		À. Ýé
штейном в 1905 г. уководствуясь некоторымтеории теорет чески
ми предст				и экспериментальными актам , Эйн
штейн приш				к выводу, что не только излучение,						ïî-
глощен е		авлениямисвет происх дит квантами. Это,						многочисленныхв свою редь,
приводит			ê	природе свет . По представл ниям
Эйнштейна, дискретнойсвет при аспространении в пространстве âå-
дет себя подобно совокупности (мозаике) каких-то частиц.
Такие частицы получили название квантов света или ото-
íîâ.									орпускулярной
	Это не было возвратом к ньютон вской
теории свет . Нельзя смотреть на					отоны				ак на частицы,
аналогичные				частицам в классической механик и движущи
еся по определенным траекториям						пространстве. Это вид-
но уже из того, что отонам св йственны интер еренция и
			. Они обладают не тольк				корпускулярными, но
â	волновыми			. Такая особенность					отонов
				свойствамилновым дуализмом. Безнадежноназып -

дит тьетсракциякорпускулярноистолковать орпускулярно-волновой дуализм в духе

110

íàäîèâ свойствамиèëàõðóêсоздатьдствоватьсяволныобраз,. Однакобладающийе о,тем,причтоизучениидоступносвойствамизаконоввоображению,корпускуприродлы

тем, чт дают наблюде ия и опыт.

Эйнштейн, следуя гипотезе Планка, принял энергию кванта света равной ~ω: впроявляется,относительности,Еслитеорииотонотносительностиобладаетнапример,ондолжэнергией,вдавлениивыражаютсяε =обладать~ωòî,. светакакиимпульсом,того.ормуламиЭнергиятребуетикоторыйимпульстеория

		mc2			mv
Òàê êàê îòîí	движется в		вакуумеp		со скор стью света ( (1)
ε = p − v2 / c2 ,				= p1 − v2 / c2 .			v =
				соотношениемòîíà			= 0, à
cвеличины),тоиз энергииормул (1)и импульсаследует, связанычтомасса						m

ãäå	ε = pc → p = ε/c = ~ω/c = ~k,
представляетсяволновоев видесло. В векторной записи импульс
отонаk = 2π / λ	÷

ãäå

p = ~k,

направлениемотоновПричислупускаться,k . взаимоволновойне имеетпдействииглощатьсясветовойвекторместа,светаволны,ноинаправлениедолжнырассеиватьсвеществомчисленновыполнятьсякоторогоя.равныйСохранениеотонысовпадаетволновомузаконымогутчисласос--

хранения энергии и импульса111.