lec_termod_kv_mech

mнетической3=. ВычислитьОценить,10−6 кгэнергиейдвижущуюсядебройлевскуюсооростьюдлину волныv = 1электронам/ .						ñ êè-
			2
èю свяосновногоç.уяиэлектронаиспользуясоотношениесостояниявсоотношениеосновномэВнеопределенностей,дномерного( состояниигармоническогоМэВ)атомаядра. оценитеводо-
энергосциллятораэнергию54.Исполь		εk = 150	mec	= 0 51
				неопределенностей,
ðîäà	соответствующее расстояние электрона от				.
ЛЕКЦИЯ 6
2.13 .	Уравнение Шредингера

уравнение,связанныхсловияхравномерномуовойиии.механикисПлоскаяопределеннымниминаличиииз тдеимпуескихвчастицыБройлянахсиловыхльсомследствийждении.соотвОсновнаяполейопрволновыхåделенномтствуетНьютона.самыхНадожбыqлоразнообраззадачасвободномунапраункцийнайтиволлеи-
1		придвижениюволнасосто			-
	которое,			добно уравнениям	èëè Ìàêñ-
велла, было бы				для решения всевозможных
задач, а	только д я			екоторых частных	. Такое вол-
новое уравнение быприспособленоайдено Э. Шредингеромслучаев 1926 г. Это
основное				нерелятивистской квантовой механики,
			случае движений, медленных по сравнению
ñправедливоескоростьюуравнениесвет вакууме.
Уясним, какими свойствами должно обладать уравнение
Шредингера.		уравнение Шредингера должно быть
Âî-

сальнымпервых,том смысле, что любое состояние частицыуниверлю-

152

âäñ	äòüрешенисиловыхзначениям этогополейпараметровуравненияи пр.), выделяющи(на. Поэтомучальныеâчастныеусловия,íåãî íå âèäûдолжныконкретныйâõ
ния. В него могут входить мировые константы, массыдвижим-
пульсы частиц, но численные значения последних не должны
áûòü ê			.
ñò	Во-вторых,онкретизированыобщем случае это уравнение должно п ед
		собой уравнение в частных производных по коорди-
н авлятьам времени, так как оно должно описыв ть состояние
÷àстицы, изменяющееся во времени и в пространстве.
	В-третьих, надо			уравнение Шрединге

раИбылонаконец,дилинейноперпозиции,циейуравнениемракциейнеобходимостьв-четвертых,иоднороднопотребовать,волн веществакоторогооноΨчтобыдолжно,.диктуетсяобеспечитбытьсовместныминтерпринциперенсус-

2

связывающима,чтовизвестныхчастицаполнуюэнергиямиситуациях.потенциальнойклассическая εэнергию= .pÝòî/ (2условиеmмикрочастицачастицы) + U,вытекаетсеекинетическойведетизтогосебяаки-

вдольянийщая,ниемимпульсом2. Попытаемсêчастицыосиоторогокбыло.Вявляетсусвобопранснастейшемдноечалавленояплоскаядвижениеустановитьранее,случае,волнаднокогдаспостояннымидевидизБройля,возможныхчастицауравнения,описываюдвижетсэнергиейсосторешеяние-

задается

Заметим,

положительном направлении, акое
волнойOx
÷òî äè Ψ = Ψ◦e	i	(px	εt)	.
		−
еренцирование~			этой ункции

состо

ïî (1)

153

x ïðè-

сводится к ум	жению на ip / ~				t
					2
íåíèкотороеея, наводитдолжнонаавтоматическисодержатьмысль,−÷òîiεпервую/ ýòî~ñëå. Ñîäоватьитношениепроизвоеренциальноеискомогоднуюε = p ïî/ (2óðàâm)-,
вторую по					t è
x:				∂2Ψ
	∂Ψ
етсяПодстановкарешением(1)уравнения(2)поêàç(2)ывает,= ïðèγ чтовыборе. волнапостояннойдеБройля явля(2)
	∂t			∂x2
íîé					γ, ðàâ-
свобоТаким	γ = i~ε / p	2	= i~ / (2m).		(3)
днойбразом,частицымыс установилимассой довлетвордномерное					уравнение для

численнымпредставитьвышевидетребованиямm.,Согласноу (2)яющееи(3) еговсемможнопере-

	∂Ψ		~2 ∂2Ψ
óðàâ âненияиде			волнуд	обнаы де тем,Бройлячто леваяприподстчасть-
стновкеТакаяановитсорманегояравнойрешениязаписиi~	∂t	= −2m ∂x2 .			(4)

2

ваетстрУравнениехяизмеренункцией(4)й, когдаочевиднымεΨ, асостояниеправаяобразомсвободной[p /обобщается(2m)]Ψчастицы.на случайописы-

Легко видеть, что эта Ψункция= Ψ e			i		(pr εt)		.	решением уравнения
					−
		◦	~является
	∂Ψ			~2
в котором символом i~		= −				Ψ,		(5)
	∂t				2m

обозначен154 ди еренциальный опера-

∂2		∂2		∂2
силовыхиногдаПопытаемсяУравнениеназываетсяполей(5). обобщитьполученоуравíåíэтонамиием		уравненШредля свободнойдиние нагераслучайв частицыотсутствиидвижения. Оно
= ∂x2	+	∂y2	+	∂z2 .
в силовых лях. В случае				находящейся поле

потенциальнсвязаныразмерностьраве йствомэнергией U (rчастицы,, t) энергия и пульс частицы

èìåютет величины				2
			энергииε = p /. Значит,(2m)+Uодинак.Заметèìвуюеще,размерносчто~ / ∂tü
уравнение		i~ (∂Ψ / ∂t) è U (r, t)Ψ. Можно думать, чòî
			∂Ψ	~2
òправильноь,накоторымсостооснояниеучитыватьмычастâíîепришлиуравнениеèöûвлияние.кЭтоуравнениюквантовойипотенциальногоестьобщееШредингера,механикиуравнениесилово6. не-
ШредингерагобудетПуполя		i~	∂t	= −2m Ψ + U (r, t)Ψ		(6)
мо е , конечно, служить доказательством этого уравнения.
Èçëî	енные выше рассуждения следует рассматривать к
соображения, по					становление этого	àê
íå àê åãî âû		д.ясняющиеКак все			альные уравнения,и		-
çèêè,	îíî íå âыводится, но ундаментанавливается. Его					праведл
в ь следует		из внутренней			непротиворечивости всей теории,
пост оенной на его основе,					, что самое главное, из совпаде
íèÿ ðезуль атов этой теори					всех выводимых из нее след-
ствий	экспериментальными данными.
Нер лятивистская квантовая механика, построенная на со

2

Нобелевскойотнош6 За созданиениипремииволновойε.= pмеханики/ (2mчастиц) + UЭ,. Шредингерявляется155 (вместесвоейП. Дираком)областив 1933примег. удостоен-

ìåõсправедливоíèê . Êàêâ и механик Ньютона,ой области,уравнение. . приШредингераñê ÿõ

частицлено2.14 окончательноv c, ерелятивистск. этой области применимости оно уоростанов-

. КвантованиеСтационарное Уравнение Шредингера.

	êцияиевеличины.Этосостосостонеяниямеия,яюимеютвсякоторыхсоособоевременемвсезначение.наблюдаемыеСамавволнокван-
товойизичесвая1. Стунмеханикационарные
	отстоянияхврем.ни,кпоòтаким.енциальная.величинамэнергия.Онанеприндол--
ципиальноВстационарныхявнозавинежна Ψнаблюдаемаетьнесотноситс
энергия	U = U (r). Ïîë ÿ æå

зависящихдингерапотенциальномεможнопредсттолькополеискатьавляетот.Вэтомвинтегралвидеслучаепроизведениядвижреше уравнениядвухстациоункций,íàШрерном-

менных)унОказывается,ция.может бытьчтоrвпредститолькоационарныхавленаотtв(метовидесостоянияхразделенияволноваяпере-

Для определения ункцииΨ(r, t) = ψ(r) e−~i εt.

подставляеминахпоследнеедимдингера выражениеψ(r) в стационарныхвобщееуравнениесостоянияхШре-

~2

Этоем Шредингерауравнение ндåëÿñодержитстационарныхψ(r) + времени(156ε − Uсостояний)ψ(rназывается) = 0. . Это уравнение-

2m

Z

ñтранствеогласно которомуравнаединицевероятностьΨ.(r) Ψ(rнайти)dV =частицу1, ãäå-ëèáî â ïðî-

бримеетограничения2нных.ШредингеНарешение,вол(дискретных). овыеПривообщеа,этихналагаютсункции,значенияхограниченияхговоря,являющиеснеопределенныепараметраприуравнениевсех,ярешениемтолькоестественныеШредингерауравнеприиз--

анакимибакодываетсíàЕстествлогичноцовструныэтияизбраннымицелоеиях нныетому,счислозакрепленнымичточастотами,имеетполуволнпредставляютместо.концамичтовзадаченасобойдлине.Изостоячиесвободныхколебания -εза.струныДелозакрепволныобстоитуклаколеенияс--

ограничения, налагаемые на решение уравнениякповтенциальнойеерхностях)чны,первыеШроднозначныдингера,прострункцииконечногосостоятанственни непрерывныазрыватом,производныечто(разрывадажелноваяточкахпервогодолжныункция(линияхðîäà)áûòüψïîrè)-

гииогранянийдля которых(величиныèчениям,етрешение,уравнениеназываютсядовлетворUØð(r).собственнымидингераИзбранныеяющеедляперечислензнастзначениямиционарченияпараметра,íûх состовышеэнер--

Симбсрешениявенные значениясобственнымиε) для энергииэтогоуравнения,ункциями атогос ответствующиежуравнения. дискретный,тервалмогуСтационарноенепрерывно.Впервомуравнениевторомслучаезаполнятьговорят,непрерывныйШредингера157конеε могут÷тоныйэнергетическийбытьилиприменимо,(сплошной)бескдискронеч.íûвспектрйчастми,ина--

2

демПодставивная энергияволновуюееэлектронав уравнениеункцию Шредингераункция координат:решивU (åãî,r) =ìû−eíàé/r.

ключаетсятолько при определенныхтом, что уравнениеψ(значенияхx, y, zШредингер). Самое замечательноеимеет решениеза-

чениям соответствуют совершенно определенныеε , ε , . . . этимункциизна-

1 2

ψследниикаждому,Полученныеψуравнеют, . .èç.знатеориииячениюШредингеразначенияБорадляэнергиинетстацниксовпадаютонарныхакихорбиторбитс.теми,Вместо.Нокоторыеятностиворбреше-

1 2

		εi соответствует своя волновая ункц
ψi(x, y, z)	. Функция		ψi	описывает распределение веро
электрона для
		i-го состояния, плотность вероятности равна
dPсоответствуi/dV = ψi(r)ψi (r)							âèå-
					артиныпредставитьсостояний.ранстваностиПриэтомнахождения.атомасебеплотностьводородараспределенэлектронаоблаковв
				ïðîñ
дев томроятностиМожнооблаков,акимлиобразом,дляетокруждругдляплнаглядноститностимàвместоющихзличных.веядро
Ò				ê		атома, предст	-
ся, по Бору в виде ядра и электронов, вращающихсавляющейвокруг
него по разным орбитам, мы представляем атом как ядро,
окутанное "облаком вероятности".
			Упражнение 5				íà
1. Какие реше ия временн го уравнения
çûâ	стациоíарными?				Показать, что так решения по-

ëó÷2.аютсяКак изм,когданитсяU неволноваязависит явункцияо от временШредингера. стационарные состояния, если158изменитьΨ(началоx, t), описывающаяотсчетпо-

3 Найти решение временного уравнения Шредингера для

тельномсвободной. направлениичастицы, движущейсяоси с импульсом p в положи-

4 Показать, что точке,Oxãäå.

ной,перваят. епроизводная.волновая ункцияволновойостаетсяU (ункцииx) имеетгладкойостаетсяконечный.непреразðûâ-,

159

ðå,1â. .Уяснимкоторомсодержаниепотенциальнаяпредыдущегоункция парагра а на приме

метричнойнциальная"потенциальнойункция			ямы" прямоугольнойU (x) имеетормывид .симПо
òåрвале	U (x) в этом слу ае принимает на ин
ведениеВновелучить	−a < x < +a	постоянное зна÷åíèå		−U◦	лавноеего попос--.

етсярядерассмотретьнульточноепотенциальнойслучаев,внерешениеэтогоособенноквантованиеинтервалауравненияункцииядернойэнергии.неизвестноВШредингераэтом.изике,Нослучае.Аппроксимируянеистинноеэтоиможнонагобраща

Uконечнойòà(тыких2x.) потенциальнойоценочногослучаяхассмотрглубèкнымчественныехарактераслучай.Внутриямойсимметричнойпрямоугольной.ямыидажеколичественныепрямоугольнойормы, получаютрезульв-

U (x) = U◦ < 0, âíå ÿìû

Uримтельна,(x)сначала= причем0. Заслучай,начало координаткогдаполнаяпримемэнергияцентрчастицыямы. отрицаассмот-

U◦ < ε < 0. Введем обозначения

2		2
Шредингера внутри ямы запишется в виде
Уравнениеk = + p2m(ε − U◦) / ~	,	α = + p−2mε / ~ .	(1)

	à âíå ÿìû		d2ψ	+ k2ψ = 0,		(2)
			dx2
		d2ψ		2	ψ = 0.	(3)
	Общее	решение уравнеdx2		− α
		íèÿ (2) имеет вид

ψ = A cos kx160+ B sin kx.

такимойзнак, чтобы решение			обращалось в нуль при
				e±αx	x = ±∞.
Ò	образом, вне ямы должно быть
	αx			αx			a.
	ψ = Ce−	симметрииприx > a,плотностьψ = De вероятностиприx <
Из соображений					−
жна быть симметричной ункцией						|ψ|2 äîë
ординат. Следовательно,				x относительноднаячала к -
		C2 = D2, т. . возможны			â		случая:
Còàê,=чтобыD è Cíà=краях−Dямы.Постоункцянные A, B, C, D íà					о выбрать
были непрерывны. Это дает прè				ψ и ее произво			dψ / dx
ветственно				x = +a ïðè x = −a ñîîò-

A cos ka+B sin ka = Ce−αa, −kA sin ka+kB cos ka = −αCe−αa

ОтсюдаA cos ka −получаемB sin ka = De−αa, kA sin ka + kB cos ka = αDe−αa.

2A cos ka = (C + D)e−αa,

Åñëè2kA sin ka = α (C + D)e−αa,

A 6= 0 è C = D, òî

2B sin ka = (C − D)e−αa,

2kB cos ka = −α (C − D)e−αa.

Åñëè æå		k tg (kα) = α.						(4)
B 6= 0 è C = −D, òî
	неследоваломогутбытьk tg (удовлеравенсkα) = −α.						одновременно, так(5)
какЭти изусловияэтого			161	òâîðåíû
				A = 0, B 6= 0, C = −D.
можно ввиду вещественности				k	2	=		образом,2 это невоз
								−α
								-
волновойные решенияункцией,разделяютсяункцией,огданаkдваиαкласса:.Такимрешения свозможчетой
с нечетной волновой		A =когда0, B = 0, C = D, è ðåøåíèÿ