lec_termod_kv_mech

воляетатов	âвообщепринципевсякоговычислитьизмерениявероятности(не обязательноразличныхизмерениярезуль
координат), . е. статистически		редсказывать значения вели
чин, которые наблюдаются эк		ïериментально и потому име-
ют реальный изический смысл.
В случае плоской волны де Бройля 3
ùåéñ	Ψ (r, t) Ψ(r, t) = Ψ◦ Ψ◦ =		,	-
странства.ущественноедн.равновероятнояродностьючастицы.Всякийв течениепространствадругойобнаружитьбесконечногорезуль. частицуатдлявремеonstравлюбомíомерноинеместесовместимдвижупро

	Сп собны ли инт р ерировать волны де Бройля, если они
ñ		комплексны? Пусть две волны де Бройля пред-
	авляются выражениями
			i(kr ωt)		,	i(kr ωt δ(r))		,
ружить.е.мжду		волнамиΨ = e		−		Ψ = e	− −
		1				2
нало ении пол чается во на								δ(r). Ïðè èõ
			каком-либоΨ = Ψ1				+ Ψ2
порциональначастицó â						месте пространства. Вероятностьбудетобнапро-

Ψ Ψ = (Ψ1 + Ψ2)(Ψ1 + Ψ2) = (Ψ1Ψ1 + Ψ2Ψ2) + (Ψ2Ψ1 + Ψ1Ψ2) =

iδ −iδ

членВыражение для= âåðî2 + (ятностиe + e содержит) = 2(1 + cosинтерδ). еренционный

симости2 cosîòδ(разностиr), меняющийсаз в пространстве от −2 äî 2 в зави- у 3волн де Бройля будет наблюдатьсяδ(r). Таким образом,. интер еренция

Ψ ункция, комплексно сопряженная с Ψ142.

циямичемус самойже вункциейквантовойнепосредственнΨ(r,теорииt), а ееперируютмодулем Ψ(волновымиr, t) Ψ(r, t).ункПо-

Ψ, анеоб	истолкнаблюдаемыми величинами
Ψ Ψ
позициизом,михОнавеществади?волновыхдостигпринимаетракцииЭто.Делоаетволнполейвключенияхобстоитсправедливостьдимо.Так,длянеак,латовихтеориюкинтенсиакантовойпринципавоованиявсякойяностейлениймехволновыханиксуперпозволновойи,нтере, аквкачествееренциимсвтеорииобрйствсà-.
дного из	посту	принимается принцип суп р-
â ëíîâных ункций, заключающийся в					следующем.
Пусть в состоянии частицыдостоверностьюволновойун			öèåé			Ψ1
ðезультатуое измерениерезульприводитату 1, а		состоянии	ê
				определенномунекото-

2. Тогда принимается, что всякая линейнаяΨкомбинацияк результат
							2
									Ψ1 è
		яние,у результаткцияввидакотором2. Илито пожедругому:измерениепостоянныееслидаетлибо,
Ψописываетрезуль, . .атвсякая1,состолибо			c	Ψ +c		Ψ (c , c		2	)
2			1	1	2	2	1
	Обобщая,								Ψ1(r, t)
2			ь частиц) мож т нах диться в
(частица		или овокупнос
öèÿíΨ	r t)
ñостоункциюяннымиесостояний.яниятойчастицы,кволновыеоэжñледующимможемчастицы,ициенттовсякаясункциамиормуобразом:описывающуюпредставляетихлировать,описывающиелинейнаяес какаяпринципкакоекомбинациятакже-либокакие-тосуперпозиволнеесистема-то вуюстодвапо--
изически различных состояниях, описываемых
ÿíèè,			Ψ такой, что
Ψ Ψ определяемой, . . . , Ψ , . . ., онаункциейможет быть обнаружена ункциямивсосто-
1	2	n

X

Ψ = 143 cnΨn,

n

числаc	,(òàêc , . . .называемые амплитуды частных состояний
1		2
		-.
ΨстваплитудвияхосновнойПринцип, Ψпринципк,интерволн. . .)положительный. суперпозицииСв еренционнымсовершеннооптике,ормулированныйприводящемусостоянийаналогиченпринципкартинамв видепри(волновых.квантовойзаконупредыдущегоопределенныхсложенияункций)механикиравенуслоам
1	2

Из него следует, частности, что все уравнения, которым
удовлетворяют волновые	ункции, должны быть линей-
	азой, ункпре
деляемойциинымиПосвязандчеркнемпоΨмнимой.особо,толькочастьючтоее изическиймодулем,ункцииносмыслЕсли ееволнов
относиэòельниосущественнойсостопр йисхянияразностьюдит.ихволновая.интераз волновыхеренция,природачьидет вещеаоункона---
ства?ций,определяетсяложении2. Когдаописывающихсостояний,становится	Ψ

ивойполучаетслитки, скажем

икроба, около 10−15

кг, и скорость с

í

Если взять массу

ëÿ

я равной 10 см/день, то длина волны де Брîé-

h

6, 62 10−34

Äæì/ñåê

13

3 A

åньшейделамиèöà,

какдвижущаясямеханическойатомнойотон с э

образомстколькторуюжемиллионовикороткуюможноявляющаясянайтиэлекдли

нузанаимЧастпрволны,λ = =

·

ергиейявляетсподобнымсстемой,имеетнеск

= 6

10− .

10 15

10

íèçèê·

= 6

·

10−

·

-

p

êã

·

−

4

−

трон-вольт. Такой ото

я ядерным гамма-лучом,

его длина волны составляет одну миллионную

длины

волны видимого света. Но даже для видимого светчастьволновые

144

лижения. Ядерный гамма-луч значительно более "лучеподо
òåðí".еренцииНайти егопочтиволновыеневозможносвойства. Аналогичнопутем ди ракцдвèжущийсèëè èíÿ-
микроб с акой же длиной волны проявляет только обычные
св йства		частицы	(корпускулярные св йства). Обнаружить
åãî	волновую природу невозможно. Его изическое поведе
ие по ностью описывается ньютоновской							еханикой. Обыч-
íîå òåëî,		вро утбольного мяча, имеет ìассу примерно
	оростибольшдвижениепонадобилось.понять,Остается.Безнадежноограничиваетединственноечемуаквыявидлямногоòькрытиявремениегоактичесбратьволновыеволновой.êакиосуществиможноприробо--
мыедычто14Тепловвеществапозволяетразск								свойства,
10		äå
ëåå	лые массы частиц вещества. Наименьшими массами
атомы, а омныечастицы, ядерные частицы; их длины волн могут
облад ют			из которых состоит вещество: молекулы,
áûòü äîñòаточно велики для того, чтобы наблюдать от них
		картины.						около
диТак,ракционныеэл рон, движущийся с кинетической
волны де Бройля îêîëî					10	6 м/сек,относитс. . его длина
90 эВ, имеет скор сть равную 5, 6							энергией
тическойатомных размеровэнергией. Достаточно медленныйм,что·							электроня сбластикине-
			1, 3 ·	10−10
			акимисущественэВалые.движетсяволныПоследнийэлектронамипрепятствияэнергиейыоколовсотехпримерскоростью10волныслучаях,атомныхдляпоказывает,могутакихвкогдадесятьразмеровлегкэлектроэлекчтоди--.
	í. овыеСвязпредстсвойстванныеимеетнаавляютсатомахдлину
меньшейрагировать
новАтомы			1
âîë
òðî	с малой кинетическ й					äâ æåòñ		внутри или
вблизи атома. Здесь ньютîновская механèê							непригодна.
				145

нов. Длина волны про она или нейтрона с к етической энер

по сравнению размерами ядер,м. Такаядиаметрдлинакоторыхволны великна
ãèåé 100 эВ составляет 3	·	10−12	-
лионовкоторомясьили кменьшеядру,электронипроизойдетнайдет.Следо-вольт

âательно,лицедиимеютракцияэтогоподобныйдлинуядра.Нейтроныволнымалоенейтрон,впрепсдесяткприближствие,ом−ìèë14 ì

10

					-
		мо. гонейтроныжечастьюилименьшегосядра,так5ойд м,лженэнергиейразмера,сравнипри
этомпопадаютмуюНейтрон,симетьразмеромпрямоСледявляющийсяинувнутрьядравательно,волны.Поэтомуядрасоставнойак			10−14
÷òî è ÿäðî.		жно ож дать, что нейтроны и
атомапиклмирсущественна,или	îбладаюткакпроследприонописатьдвижутскинетическизакихèтьки.энергияхвопомощьюАтомныевремявнутримиэнергиямиволноваяихпростыхчастицыядраполета.АтприромпринцивнутриделемныйМэВда-
протоныльноссическойбольшенельзяневозможновядрах.полностьюНо("старой")акдаже					10
. Частицы при		пов нуютс законам, которым сле
дуют волны. Вероятноеэтоместонахождение частиц определяет-
ся волнами. Там, где амплитуда волны велика,				ам частицу
ожно найти	большой веро		àì, ã		амплитуда
ìала, там частицу можно найтиятностью;редк . Но					можно
только вероя ность. Нельзя предсказать точно,пределитьг именно в
атоме окажутся электроны. Внутри атома мы должны быть
готовы к именению новой (квантовой) механики, объеди
няющей определенные		части ньютоновской механики мате-

риальной точки с э ектами волновой природы материи.

146

.

пределениэкркристаллащийаправивномн,собой. закоторомассмотрим.щельюидеализПредстпучокпрорезанысплошномавимэлектроновцмысленныйю себеопытдвенепроницаемыйэкраненащелиэлектроннойэксперимент,экран,нек.Закрывоторуюполучимдлядипредставляюднукартинуэлектронракциейнаизпостщелейрас
	1										îââò-
			я ин енсивности. Таким ж					образом получим дру
ãóþ êàðòèíó,				òкрывая первую щель и закрывая вторую. На-
блюдая же прох					дение пучк		через обе открытые щели, мы,
казалось бы,				должны наблюдать картину, являющуюся про-
стым наложением об их								каждый
двигаясь по своей траåктории,предыдущих,про дит через дну электрон,из щелей
	оказывая никакого влияния на электроны, прох дящие че
нез другую щель					4. В действительности же мы					получим ди-
				картину, которая отнюдь не сво							я к сумме
ракционнуюдав емых к						из щелей		отдельно			. Ýòîò ðå-
зульартин,ат никак не					аждойет быть с вмещен				с предсдитсавлением о
движении электронмов по трае							ðèÿì.
	Таким образом, механика,						оторой подчиняются атомные
ÿâ åíèÿ, àê						квантовая		или в лновая механика,
äîëæíà			быть основананазываемаяпредставлениях о движении, прин
ц пиально отличных от							авлений классической механи-
êè. В квантовой механикпредстне существует понятия
ч стиц. Это обстоятельство составляет содержан траекторииак назы-
ваемого			принципа неопределенностей						дного	èç
принципов квантовой механики, открытого ейзенбергомосновных
1927 ã.		5
4	Пучок			ется настольк		ðàç åæ	что взаимо		йствие частиц нем не
никакой роли.

5	Интер сн , что математический аппа ат ква товой механики был создан Э. Шредингеромиграет
В. ейзенбåргпредполагм в 1925 1926 гг. до открытия енным,при ципа неопределенностей, раскрывающего изи-
	147

динатуонняютусловия,ординаты2ставилнахэлектрона,благоприятныемысленныеждениеим ульсаимпульса,нужноэкэлектрона,сперименты:дляосветитьизмерениянаоборотпришелегочтобыи. Дляположения,посмотрк опредзаключению,доказательствалить"микзатрудоорчто-

ïðîрядкаскоп". длиныТакой способволны дает неопределенно ть координаты q
волныволныиспользованногопорядкемусвет.электронаМинимальныйимпульс,.Номпульсаприволныкоторыйнадосветвзаимодействиидногоабратьпередаваемыйрастетвозможотона,. прис-
электрономДляменьшуюуточненияимпульссветдлинудлиныпередаетположениябудетуменьшенииэлектрону λ	q λ

импульс отона pγ связан с го дл ной						соотношением:
pγ = 2π~/λ	.				åò:деленность	импульса электрона
		Поэтому неопр
p > 2π~/λ. Отсюда следу
				придтипоограниченинеопределенностейобныхк заключению,экспериментовимпуоторое природачтоейзенбергас речьт м наклажздесь.ре--
идетзультатом,ЭтоПроделавиоестьпринципиальномсоотношениенельзямножествоне					q pq > 2π~.
дывает на по ятия координаты						льса частицы. Этого
ограничения не знала классическая						а, оно не вносит
изменения в				макрообъектов изик-за малой величины
постоянной Планкописание.
Мгновенное состояние микрочастицы нельзя характери-
зовать точными заданиями ее положения и им ульса, так
как это означало			áû		движение частицы по определенной
траектории. Можно сказать, что координаты и скорость ча-
ческое содержание этого аппарата.					148

чина этого том, что всякая микрочастица проявляет как
"длинакорпускулярные,в даннойòàê è точк а такжесвойства"частот. Выражволновогоåíèÿ æå
процессаволныданный моментволновыевр мени" не имеют	äëè
на волны не является ункцией координат, а частотсмысла унк-
цией времени.

ëèøü3. Вопорядоквсехпринципиальных вопросах существенно знать

чение. Оценку величины				q	pq	> 2π~, а не ее точное			-
âèäå			q		pq	> 2π~ можно представить в
пределЭто соотношениееточнос йопределяетq pqдопустимый& ~.							принципиальный
	арактеризовать			классически,оторыми. состояниее.координатойчасти-
цы можно х			q	pq
и импульсом									q
èзяхмеетСоотношениетолковать			ëе,нностейчтокоорузнатьейзенбергчастдинатысцакоимбольшейактви.Истинныйимпульса,каждыйобразомточностью,моментсмыслнельмы-
принципиальноэтоопределенпозволяетв.томнеопредеыесоотношениенезначениясмысможем
÷åì	pq
соотноше ия ейзенберг отражает тот								, что в природе
объективно не существует со тояний частиц с точно опреде-
ленными значениями импуль					î	координаты.
Из сказанного вытекает,						змерения в квантовой обла-
ñòè	òå		отличаютс			от классических измерений.
Конечно,		другие измерения сопровождаю ся ошибка
ми. Однакпринципиально			ая изика считала, что пуòем улучше-
ния методики		техники				ошибки в		ì ãóò
быть сделаныклассическоль угод о малыми. Сог								принципеж квантовой

изике существует приизмеренийципиальный пределасноточности из-

149

в ойден никаким совершенствованием приборов техники
èçмеренийаких пределов. Соотношения.		ейзенберга устанавливают дин
Отметим некоторые выводы, вытекающие из соотношения
ейзенберга. Прежде всего видно, что			яние, когда ча-
стица находится	полном п кое, невозможнсосто. Невозможно и
измерение	скорости частицы		ìå-
		классическимивыполняют
предельныйтодами, когдамгновеннойперехнахдятчастное (x2 −x1) / t2			−t1)
точного измерения t2 → t1. Предельный перех д требуе

x è x

существеннояющлятьчастицыквантовойэлектрическомпоакимсказываетсяразности.Импульсизмереннойопредрости) -либо1 поле,дпотенциалов,2.намикрочастицыАракционнымилиимпульсеточноедлинеопределениепройденных(и,устройствомможно,волнытемсамым,декоординанапример,еюБройля,.вускск--

энергияЭнергияýтихнергииКак4. ВвеличинпоказалбезнадолжнакинетделениязавНопределяться.èситБор,ческуюмехнаотаниканалогичноекинетическуюимпульса,епотенциальную,теряетизмерятьссоотношениесмыслдругпотенциальнуюаялишьтакделениеотксуществуеткакакоорполнойполнаяднадинат.из.

тадлявзаимодействиянеопределенности энергии		ε	неопределенности момен-
	t объект	с измерительным прибором:
				-
òьнаблюонокакогоэнергиидения,-говоритлибоэтоготемсостосостоянияменьшейтом,яниячтоилиопределеннос.чемЕсливремя,корочесостояниевреòüþ
можноденноемяПоследнеесуществованияговоридляегосоотношение t ·		ε &	~.
стаци нарно, о	может существовать бесконечно долго.
	150

имеет вп лне определенное значение.
торыеКвантоваявопросы,механëèøüíåпредсказываетдает однозначноговероятностьответа òíàãîíåêèëè
иного результат .	àÿ	а не знала неопреде-
ленности. Если задатьКлассическоординатыизикскорости м ханической
системы,В то ж вреìя, как следует из соотношения неопределен				-
то ожно однозначно предсказать все			поведе	èå.
ункцию системы. Квантовая механикчальныйпозволяет найтиволновуюåå
стей, задать координаты и скорости всех частиц			евозмож	î,
есть возможность лишь задать в на		момент
любой следующий момент.
Особенность квантовой механики состоит в ом, что свой-
с ва микроскопических объектов нельзя изучать,			отвлекаясь
от способа наблюдения. В зависимости от него			ïðî-
являет себя либо как волна, либо как час ица, либоэлектронак нечто
промежуточное. Конечно, существуют		свойства,	не завися-

зависетькиеНощиеПринципиальнаявсследствиеотякийличины,способаотраз,способапримêобъектовогдаакнаблюдения:координатынаблюдениянениянеопределенностьмызахотимклассическихмасса,.иодновскорость,заряд,спиннекоторыхеменнопонятийрезульизмеритьдетчастицыкописаниюатвеличинбуа-.
åñòü						. . .
неклассических			.
			Упражнение 4
1. Получить соотношения, связывающие длину волны де
Бройля а) с массой			оростью релятивистской час иц , б)
с ее полной (	ε	) и кинетической (		εk		выраом-
					нерелятивистск. Получи ь
приближениедляениидебройлевской. длины151 )волныэнергиейв